Introduction à l'analyse numérique
Introduction
L'analyse numérique est la branche des mathématiques qui étudie les algorithmes permettant de résoudre des problèmes mathématiques de façon approchée, en utilisant des calculs sur des nombres finis. Elle constitue le pont entre les mathématiques théoriques et leur application concrète sur ordinateur.
Contrairement aux mathématiques « pures » qui cherchent des solutions exactes et symboliques, l'analyse numérique produit des solutions approchées avec une précision contrôlée et mesurable.
Note terminologique
On dit "solution approchée" et non "solution approximative". Le terme "approché" implique un calcul rigoureux avec une erreur maîtrisée, tandis que "approximatif" suggère un manque de précision.
Deux types d'erreurs à distinguer
Avant d'aller plus loin, il est crucial de distinguer deux familles d'erreurs qui interviennent dans tout calcul numérique. Cette distinction est fondamentale car ces erreurs ont des origines différentes et se propagent différemment.
Erreurs d'analyse numérique (erreurs de méthode)
Ces erreurs proviennent du choix de la méthode mathématique utilisée pour résoudre le problème :
| Type d'erreur | Origine | Exemple |
|---|---|---|
| Erreur de troncature | On tronque une série infinie après un nombre fini de termes | au lieu de la série complète |
| Erreur de discrétisation | On remplace un continuum par un nombre fini de points | Intégrale somme de rectangles |
| Erreur de convergence | On arrête un algorithme itératif avant la convergence exacte | Méthode de Newton après 5 itérations |
Ces erreurs existent même avec une arithmétique parfaite. Elles sont inhérentes à la méthode choisie.
Erreurs de digitalisation (erreurs machine)
Ces erreurs proviennent de la représentation des nombres sur un ordinateur :
| Type d'erreur | Origine | Exemple |
|---|---|---|
| Erreur d'arrondi | Les nombres réels sont stockés avec un nombre fini de bits | devient |
| Dépassement de capacité | Le nombre est trop grand ou trop petit pour être représenté | dépasse le format float64 |
| Perte de précision | Soustraction de nombres proches (annulation catastrophique) |
Ces erreurs existent même avec un algorithme mathématiquement exact. Elles sont inhérentes à l'ordinateur.
Pourquoi cette distinction est cruciale
Propagation différente
- Les erreurs de méthode diminuent généralement quand on raffine la discrétisation (plus de points, plus d'itérations)
- Les erreurs machine peuvent au contraire s'accumuler avec plus de calculs
Il existe souvent un point optimal : trop peu de calculs → erreur de méthode dominante ; trop de calculs → erreur machine dominante.
Dans ce cours, nous étudierons principalement les erreurs de méthode. Les erreurs machine seront abordées au chapitre 1 (arithmétique des ordinateurs).
Domaines d'application
L'analyse numérique intervient dès qu'un problème mathématique ne peut pas être résolu exactement, ou lorsque le calcul exact serait trop coûteux. Voici des problèmes concrets où elle est indispensable :
Traitement d'images
| Problème | Description | Méthodes numériques |
|---|---|---|
| Débruitage (denoising) | Supprimer le bruit d'une image tout en préservant les contours | Filtrage, minimisation de la variation totale, transformées en ondelettes |
| Recalage (image registration) | Aligner deux images (ex: IRM avant/après traitement) | Optimisation, interpolation, transformations géométriques |
| Segmentation | Délimiter des régions d'intérêt (tumeurs, organes) | Level-sets, contours actifs, clustering |
| Compression | Réduire la taille des fichiers (JPEG, JPEG2000) | Transformée de Fourier, ondelettes, DCT |
| Super-résolution | Augmenter la résolution d'une image | Interpolation, apprentissage, régularisation |
| Reconstruction tomographique | Reconstruire une image 3D à partir de projections 2D (scanner, IRM) | Transformée de Radon inverse, rétroprojection filtrée |
| Déconvolution (deblurring) | Corriger le flou d'une image | Régularisation, filtrage inverse |
Le débruitage, par exemple, revient à résoudre un problème d'optimisation :
où est l'image bruitée, l'image restaurée, et la variation totale qui préserve les contours.
Simulation physique
| Problème | Description | Méthodes numériques |
|---|---|---|
| Mécanique des fluides (CFD) | Écoulement d'air autour d'une aile d'avion | Volumes finis, éléments finis, Navier-Stokes |
| Transfert thermique | Diffusion de chaleur dans un matériau | Différences finies (FDM), éléments finis (FEM) |
| Électromagnétisme | Propagation d'ondes, conception d'antennes | FDTD (Finite-Difference Time-Domain) |
| Mécanique des structures | Déformation d'un pont sous charge | Éléments finis (FEM), analyse modale |
| Acoustique | Simulation de salles de concert | Éléments finis de frontière (BEM) |
L'équation de la chaleur, par exemple :
n'a de solution analytique que pour des géométries très simples. Pour un radiateur de forme complexe, seule l'approche numérique fonctionne.
Finance et économie
| Problème | Description | Méthodes numériques |
|---|---|---|
| Pricing d'options | Évaluer le prix d'une option financière | Monte-Carlo, différences finies, arbres binomiaux |
| Gestion des risques | Calculer la VaR (Value at Risk) | Simulation Monte-Carlo, bootstrap |
| Optimisation de portefeuille | Maximiser le rendement pour un risque donné | Programmation quadratique, algorithmes génétiques |
Le modèle de Black-Scholes pour une option européenne :
Pour des options exotiques (asiatiques, américaines), aucune formule fermée n'existe.
Sciences de la vie
| Problème | Description | Méthodes numériques |
|---|---|---|
| Reconstruction tomographique | Reconstruire une image 3D à partir de radiographies | Transformée de Radon inverse, rétroprojection filtrée |
| Dynamique moléculaire | Simuler le repliement de protéines | Intégration de Verlet, méthodes symplectiques |
| Modélisation épidémiologique | Prédire la propagation d'une maladie | Résolution de systèmes d'EDO (SIR, SEIR) |
| Électrophysiologie cardiaque | Simuler la propagation de l'influx nerveux | Équations de réaction-diffusion |
Intelligence Artificielle et Machine Learning
| Problème | Description | Méthodes numériques |
|---|---|---|
| Entraînement de réseaux | Minimiser la fonction de perte | Descente de gradient, Adam, SGD |
| Régularisation | Éviter le surapprentissage | Norme , , dropout |
| Réduction de dimension | Visualiser des données haute dimension | SVD, PCA, t-SNE |
L'entraînement d'un réseau de neurones revient à résoudre :
Autres domaines
| Domaine | Problème concret | Méthode numérique |
|---|---|---|
| Robotique | Cinématique inverse (positionner un bras robot) | Optimisation non-linéaire, Newton-Raphson |
| Géophysique | Inversion sismique (trouver les couches du sous-sol) | Problèmes inverses, régularisation |
| Cryptographie | Factorisation de grands nombres | Algorithmes de crible, méthodes probabilistes |
| Météorologie | Prévisions numériques du temps | Résolution d'équations primitives atmosphériques |
| Astronomie | Calcul d'orbites planétaires | Intégration symplectique, problème des N-corps |
| Chimie quantique | Calcul de structures électroniques | Méthodes Hartree-Fock, DFT |
| Télécommunications | Compression de signal, codage | Transformées (FFT, DCT), optimisation convexe |
À retenir
| Point clé | Détail |
|---|---|
| Objectif | Résoudre des problèmes impossibles analytiquement |
| Méthode | Transformer le problème continu en problème discret (fini) |
| Résultat | Solution approchée (≠ approximative) avec erreur contrôlée |
| Deux types d'erreurs | Erreurs de méthode (algorithme) vs erreurs machine (représentation) |
| Compromis | Précision ↔ Coût de calcul |
Pour aller plus loin
Dans la prochaine leçon, nous verrons un exemple concret de problème insoluble analytiquement : une intégrale d'apparence simple qui ne possède aucune primitive en forme close. Nous découvrirons pourquoi certaines intégrales sont « impossibles » (théorème de Liouville) et comment l'analyse numérique permet malgré tout de les calculer.
Dans la suite du cours, nous étudierons les méthodes fondamentales :
- Chapitre 1 : Erreurs et arithmétique des ordinateurs
- Chapitre 2 : Résolution d'équations non linéaires
- Chapitres suivants : Interpolation, intégration numérique, systèmes linéaires, équations différentielles
Vocabulaire technique (EN ↔ FR)
| Anglais | Français |
|---|---|
| Numerical analysis | Analyse numérique |
| Approximate solution | Solution approchée (≠ approximative) |
| Discretization | Discrétisation |
| Truncation error | Erreur de troncature |
| Round-off error | Erreur d'arrondi |
| Convergence | Convergence |
| Numerical stability | Stabilité numérique |
| Finite difference method (FDM) | Méthode des différences finies (MDF) |
| Finite element method (FEM) | Méthode des éléments finis (MEF) |
| Image registration | Recalage d'images |
| Denoising | Débruitage |
| Interpolation | Interpolation |
| Quadrature | Quadrature |
📖 Voir le glossaire complet pour plus de termes et les sources.