Pourquoi certaines intégrales n'ont pas de solution analytique

Motivation : une intégrale en apparence simple

Considérons l'intégrale suivante :

J = \int_0^{\pi} \sqrt{1 + \cos^2(x)} \, dx

À première vue, cette intégrale semble tout à fait accessible. Observons la fonction $f(x) = \sqrt{1 + \cos^2(x)}$ :

La fonction est continue, lisse, bornée entre 1 et $\sqrt{2}$ , et ne présente aucune singularité. Elle ressemble à tant d'autres fonctions que nous avons intégrées au cours de notre formation en calcul différentiel et intégral.

Pourtant, cette intégrale ne possède aucune primitive exprimable en fonctions élémentaires. Autrement dit, il n'existe aucune combinaison finie d'opérations algébriques, exponentielles, logarithmiques et trigonométriques qui permette d'écrire sa primitive.

Cette observation soulève une question fondamentale : comment distinguer les intégrales qui admettent une forme close de celles qui n'en ont pas?

Types de solutions analytiques

Avant d'aller plus loin, clarifions la terminologie et la hiérarchie des fonctions mathématiques.

Fonctions rationnelles

Les fonctions rationnelles sont les quotients de deux polynômes :

f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{a_n x^n + \cdots + a_0}{b_m x^m + \cdots + b_0}

Toute fonction rationnelle admet une primitive en forme close (via la décomposition en fractions partielles).

Fonctions algébriques

Une fonction $y = f(x)$ est algébrique si elle satisfait une équation polynomiale :

P(x, y) = \sum_{i,j} a_{ij} x^i y^j = 0

Par exemple, $y = \sqrt{x}$ satisfait $y^2 - x = 0$ .

Fonctions élémentaires

Les fonctions élémentaires sont construites par composition finie à partir de :

Fonctions algébriques
Fonction exponentielle $e^x$ et logarithme $\ln(x)$
Fonctions trigonométriques $\sin, \cos, \tan$ et leurs réciproques

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Définition : Forme close

Une forme close (ou solution analytique) est une expression finie impliquant uniquement des fonctions élémentaires et les opérations arithmétiques de base.

Fonctions spéciales

Au-delà des fonctions élémentaires, les mathématiciens ont défini des fonctions spéciales pour représenter des primitives qui n'ont pas de forme close :

Fonction	Définition	Application
Fonction erreur erf(x)	$\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-t^2} dt$	Probabilités, statistiques
Sinus intégral Si(x)	$\int_0^x \frac{\sin(t)}{t} dt$	Traitement du signal
Intégrale elliptique E(k)	$\int_0^{\pi/2} \sqrt{1 - k^2 \sin^2 \theta} \, d\theta$	Géométrie, physique
Fonction Gamma Γ(x)	$\int_0^{\infty} t^{x-1} e^{-t} dt$	Combinatoire, physique

Pourquoi cette intégrale est-elle « elliptique »?

Définition formelle

Une intégrale elliptique est une intégrale de la forme :

\int R\left(x, \sqrt{P(x)}\right) dx

où $R$ est une fonction rationnelle à deux variables et $P(x)$ est un polynôme de degré 3 ou 4 sans racines multiples.

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Critère clé

C'est le degré du polynôme sous la racine qui détermine si une intégrale est elliptique. Degré 1 ou 2 → intégrable en forme close. Degré 3 ou 4 → intégrale elliptique.

Transformation de notre intégrale

Montrons que notre intégrale satisfait ce critère. Effectuons la substitution $t = \sin(x)$ :

dx = \frac{dt}{\cos(x)} = \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}

En utilisant l'identité $\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) = 1 - t^2$ :

\sqrt{1 + \cos^2(x)} = \sqrt{1 + (1-t^2)} = \sqrt{2 - t^2}

L'intégrale devient :

\int \frac{\sqrt{2 - t^2}}{\sqrt{1 - t^2}} \, dt = \int \sqrt{\frac{2 - t^2}{1 - t^2}} \, dt

Identifions le polynôme sous la racine. En combinant les deux radicaux :

P(t) = (2 - t^2)(1 - t^2) = 2 - 3t^2 + t^4

Le polynôme $P(t) = t^4 - 3t^2 + 2$ est de degré 4. Notre intégrale est donc bien une intégrale elliptique.

Lien avec l'intégrale elliptique de seconde espèce

Notre intégrale s'exprime en fonction de l'intégrale elliptique complète de seconde espèce :

E(k) = \int_0^{\pi/2} \sqrt{1 - k^2 \sin^2(\theta)} \, d\theta

Plus précisément, par symétrie :

J = \int_0^{\pi} \sqrt{1 + \cos^2(x)} \, dx = 2\sqrt{2} \cdot E\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \approx 3.8202

Origine historique du nom

Le terme « elliptique » provient du problème du périmètre d'une ellipse.

Pour une ellipse de demi-axes $a$ et $b$ , paramétrée par :

x(\theta) = a\cos(\theta), \quad y(\theta) = b\sin(\theta)

La longueur d'arc est donnée par :

L = \int_0^{2\pi} \sqrt{a^2 \sin^2(\theta) + b^2 \cos^2(\theta)} \, d\theta

Cette intégrale ne peut pas se simplifier en fonctions élémentaires, ce qui a motivé l'étude systématique de ces « intégrales elliptiques » par Euler, Legendre, Abel et Jacobi aux XVIIIᵉ et XIXᵉ siècles.

Comment prouver qu'une primitive n'existe pas?

C'est la question centrale : comment passer de « je ne trouve pas la primitive » à « la primitive n'existe pas » ? Le théorème de Liouville (1833) fournit la réponse.

Le théorème de Liouville : une contrainte structurelle

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Théorème de Liouville (1833)

Si $f(x)$ est une fonction élémentaire, alors $\int f(x) \, dx$ est élémentaire si et seulement si elle peut s'écrire sous la forme :

\int f(x) \, dx = g_0(x) + c_1 \ln(g_1(x)) + c_2 \ln(g_2(x)) + \cdots + c_n \ln(g_n(x))

où les $g_i(x)$ sont des fonctions élémentaires et les $c_i$ sont des constantes.

La beauté de cette contrainte

Ce théorème dit quelque chose de remarquable : si une primitive élémentaire existe, elle a nécessairement cette forme très particulière — une partie « algébrique » $g_0(x)$ plus une somme finie de logarithmes.

\underbrace{g_0(x)}_{\text{partie sans log}} + \underbrace{c_1 \ln(g_1) + c_2 \ln(g_2) + \cdots}_{\text{somme de logarithmes}}

Pas de $\ln(\ln(x))$ , pas de compositions complexes, pas de logarithmes imbriqués. Juste une somme.

Application : prouvons que notre intégrale n'a pas de forme close

Montrons concrètement comment utiliser ce théorème. Considérons l'intégrale :

I = \int \frac{1}{\sqrt{1-t^4}} \, dt

Étape 1 : Supposons qu'une primitive élémentaire existe.

D'après Liouville, elle s'écrirait :

I = g_0(t) + c_1 \ln(g_1(t)) + \cdots + c_n \ln(g_n(t))

Étape 2 : Dérivons les deux côtés.

\frac{1}{\sqrt{1-t^4}} = g_0'(t) + c_1 \frac{g_1'(t)}{g_1(t)} + \cdots + c_n \frac{g_n'(t)}{g_n(t)}

Étape 3 : Analysons la structure.

Le membre de gauche a une singularité en $t = \pm 1$ (racines de $1-t^4$ ). Pour que l'égalité soit possible :

Soit $g_0(t)$ contient déjà $\sqrt{1-t^4}$ (mais alors $g_0$ n'est pas élémentaire au sens strict)
Soit les $g_i(t)$ doivent « compenser » ces singularités

Étape 4 : Le critère décisif.

On peut montrer (c'est le cœur technique du théorème) que pour une intégrale de la forme $\int R(t, \sqrt{P(t)}) \, dt$ :

Degré de P(t)	Primitive élémentaire?
1 ou 2	Oui — réductible par substitution trigonométrique ou hyperbolique
3 ou 4	Non (sauf cas très particuliers) — intégrale elliptique

Notre polynôme $P(t) = 1 - t^4$ est de degré 4. Aucune combinaison de la forme Liouville ne fonctionne. CQFD.

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Ce que signifie cette preuve

Ce n'est pas que personne n'a encore trouvé la bonne astuce. C'est que mathématiquement, aucune expression finie en fonctions élémentaires ne peut représenter cette primitive. Elle n'existe pas dans cet univers.

L'algorithme de Risch : automatiser la décision

En 1969, Robert Risch a transformé ce raisonnement en un algorithme complet : étant donné n'importe quelle fonction élémentaire, on peut décider mécaniquement si sa primitive est élémentaire ou non.

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En pratique

Quand Mathematica, Maple ou SymPy « refuse » de calculer une intégrale et renvoie l'expression non évaluée, c'est souvent parce que l'algorithme de Risch a prouvé qu'aucune forme close n'existe — pas par manque de puissance de calcul.

Retour à notre intégrale elliptique

Appliquons maintenant ce raisonnement à notre intégrale initiale :

\int \sqrt{1 + \cos^2(x)} \, dx

Étape 1 : Substitution $t = \sin(x)$

On a $dt = \cos(x) \, dx$ , donc $dx = \frac{dt}{\cos(x)} = \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}$ .

De plus, $\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) = 1 - t^2$ , donc :

\sqrt{1 + \cos^2(x)} = \sqrt{1 + (1-t^2)} = \sqrt{2 - t^2}

Étape 2 : L'intégrale transformée

L'intégrale devient :

\int \sqrt{2 - t^2} \cdot \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}} = \int \frac{\sqrt{2 - t^2}}{\sqrt{1 - t^2}} \, dt

Étape 3 : Identification du polynôme

Cette intégrale est de la forme $\int R(t, \sqrt{P(t)}) \, dt$ . Pour identifier $P(t)$ , combinons les deux radicaux :

\frac{\sqrt{2 - t^2}}{\sqrt{1 - t^2}} = \sqrt{\frac{2 - t^2}{1 - t^2}}

Le polynôme « effectif » sous la racine est le produit des deux facteurs (après mise au carré du dénominateur) :

P(t) = (2 - t^2)(1 - t^2) = 2 - 3t^2 + t^4

Conclusion : degré 4 → intégrale elliptique

$P(t) = t^4 - 3t^2 + 2$ est un polynôme de degré 4. D'après le critère de Liouville, aucune primitive élémentaire n'existe.

Le verdict est sans appel : prouvablement non élémentaire.

Conclusion

L'intégrale $J = \int_0^{\pi} \sqrt{1 + \cos^2(x)} \, dx$ illustre une réalité fondamentale des mathématiques : la plupart des fonctions élémentaires n'ont pas de primitive élémentaire.

Cette observation a deux conséquences majeures :

Théorique : Les mathématiciens ont développé toute une théorie des fonctions spéciales pour étudier et tabuler ces intégrales « impossibles ».
Pratique : Les ingénieurs et scientifiques doivent recourir à l'analyse numérique pour évaluer ces intégrales — ce qui sera l'objet de notre prochaine leçon.

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À retenir

Une forme close est une expression finie en fonctions élémentaires
Le théorème de Liouville caractérise les primitives élémentaires
Les intégrales elliptiques impliquent des polynômes de degré 3 ou 4 sous une racine
L'algorithme de Risch permet de décider si une forme close existe

Références

Liouville, J. « Mémoire sur l'intégration d'une classe de fonctions transcendantes », Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1833.
Risch, R. H. « The Problem of Integration in Finite Terms », Transactions of the American Mathematical Society, 139, 1969.
Bronstein, M. Symbolic Integration I: Transcendental Functions, 2ᵉ édition, Springer, 2005.
Abramowitz, M. et Stegun, I. A. Handbook of Mathematical Functions, Dover Publications, 1965.