Application numérique : la méthode des trapèzes

Leçon optionnelle — Illustration concrète de l'intégration numérique

Contexte

Dans la leçon précédente, nous avons vu que l'intégrale

n'admet aucune primitive en forme close. C'est une intégrale elliptique, prouvablement non élémentaire par le théorème de Liouville.

Pourtant, cette intégrale existe bel et bien — c'est l'aire sous une courbe parfaitement définie. Comment la calculer? C'est ici qu'intervient l'analyse numérique.

La méthode des trapèzes

Idée géométrique

La méthode des trapèzes approche l'aire sous la courbe par une somme d'aires de trapèzes. Sur chaque sous-intervalle, on relie les deux points de la courbe par un segment de droite.

Formule

On découpe l'intervalle en sous-intervalles de largeur . Les points de subdivision sont :

L'approximation de l'intégrale est alors :

Ou, sous forme compacte :

Implémentation

import numpy as np

def f(x):
  """Notre intégrale elliptique."""
  return np.sqrt(1 + np.cos(x)**2)

def trapezes(a, b, n):
  """
  Méthode des trapèzes avec n subdivisions.

  Paramètres :
      a, b : bornes de l'intervalle
      n    : nombre de subdivisions

  Retourne :
      Approximation de l'intégrale
  """
  h = (b - a) / n
  x = np.linspace(a, b, n + 1)
  y = f(x)

  # Formule des trapèzes
  return h * (0.5 * y[0] + np.sum(y[1:-1]) + 0.5 * y[-1])

# Calcul pour différentes valeurs de n
print("Méthode des trapèzes pour J = ∫₀^π √(1 + cos²(x)) dx")
print("-" * 50)

for n in [10, 100, 1000, 10000]:
  I = trapezes(0, np.pi, n)
  print(f"n = {n:5d} : I ≈ {I:.10f}")

Résultats

Analyse de la convergence

Ordre de convergence

On observe que lorsqu'on multiplie par 10 (donc qu'on divise par 10), l'erreur est divisée par environ 100.

C'est la signature d'une convergence quadratique en :

Borne théorique de l'erreur

Pour une fonction deux fois dérivable, l'erreur de la méthode des trapèzes est bornée par :

Cette borne confirme la convergence en : doubler divise l'erreur par 4.

Ce que montre cet exemple

Lien avec les fonctions spéciales

Cette valeur correspond exactement à :

où est l'intégrale elliptique complète de seconde espèce :

Les tables de fonctions spéciales (comme le Handbook of Mathematical Functions d'Abramowitz et Stegun) donnent .

Pour aller plus loin

La méthode des trapèzes est la plus simple des méthodes d'intégration numérique, mais pas la plus efficace. Dans les chapitres suivants, nous verrons :

• La méthode de Simpson (convergence en )
• Les méthodes de Gauss (précision optimale pour un nombre donné d'évaluations)
• Les méthodes adaptatives (qui ajustent automatiquement le pas)