Techniques de substitution pour l'intégration
Leçon optionnelle — Méthodes de changement de variable
Introduction
Les substitutions (ou changements de variable) sont un outil fondamental pour :
Simplifier des intégrales avant d'appliquer une méthode numérique
Reconnaître des formes standard (intégrales elliptiques, etc.)
Transformer les bornes d'intégration
💡 Pourquoi simplifier avant d'intégrer numériquement ? Une intégrale plus simple converge souvent plus vite numériquement. Une bonne substitution peut éliminer des singularités ou réduire les oscillations.
Principe général
Formule du changement de variable
Si u = g ( x ) u = g(x) u = g ( x )
∫ a b f ( x ) d x = ∫ g ( a ) g ( b ) f ( g − 1 ( u ) ) ⋅ ( g − 1 ) ′ ( u ) d u \int_a^b f(x) \, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(g^{-1}(u)) \cdot (g^{-1})'(u) \, du ∫ a b f ( x ) d x = ∫ g ( a ) g ( b ) f ( g − 1 ( u )) ⋅ ( g − 1 ) ′ ( u ) d u En pratique, on pose u = g ( x ) u = g(x) u = g ( x ) d u = g ′ ( x ) d x du = g'(x) \, dx d u = g ′ ( x ) d x
∫ f ( x ) d x = ∫ f ( x ( u ) ) ⋅ d x d u d u \int f(x) \, dx = \int f(x(u)) \cdot \frac{dx}{du} \, du ∫ f ( x ) d x = ∫ f ( x ( u )) ⋅ d u d x d u Substitutions trigonométriques
Ces substitutions sont essentielles pour les intégrales contenant des racines carrées.
Pour a 2 − x 2 \sqrt{a^2 - x^2} a 2 − x 2
Expression Substitution Résultat a 2 − x 2 \sqrt{a^2 - x^2} a 2 − x 2 x = a sin ( θ ) x = a\sin(\theta) x = a sin ( θ ) a cos ( θ ) a\cos(\theta) a cos ( θ )
Démonstration :
a 2 − x 2 = a 2 − a 2 sin 2 ( θ ) = a 2 ( 1 − sin 2 ( θ ) ) = a cos 2 ( θ ) = a ∣ cos ( θ ) ∣ \sqrt{a^2 - x^2} = \sqrt{a^2 - a^2\sin^2(\theta)} = \sqrt{a^2(1 - \sin^2(\theta))} = a\sqrt{\cos^2(\theta)} = a|\cos(\theta)| a 2 − x 2 = a 2 − a 2 sin 2 ( θ ) = a 2 ( 1 − sin 2 ( θ )) = a cos 2 ( θ ) = a ∣ cos ( θ ) ∣ Exemple : Calculer ∫ 1 1 − x 2 d x \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx ∫ 1 − x 2 1 d x
On pose x = sin ( θ ) x = \sin(\theta) x = sin ( θ ) d x = cos ( θ ) d θ dx = \cos(\theta) \, d\theta d x = cos ( θ ) d θ
∫ 1 1 − x 2 d x = ∫ cos ( θ ) cos ( θ ) d θ = ∫ d θ = θ = arcsin ( x ) \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \int \frac{\cos(\theta)}{\cos(\theta)} \, d\theta = \int d\theta = \theta = \arcsin(x) ∫ 1 − x 2 1 d x = ∫ cos ( θ ) cos ( θ ) d θ = ∫ d θ = θ = arcsin ( x ) Pour a 2 + x 2 \sqrt{a^2 + x^2} a 2 + x 2
Expression Substitution Résultat a 2 + x 2 \sqrt{a^2 + x^2} a 2 + x 2 x = a tan ( θ ) x = a\tan(\theta) x = a tan ( θ ) a cos ( θ ) \frac{a}{\cos(\theta)} c o s ( θ ) a
Démonstration :
a 2 + x 2 = a 2 + a 2 tan 2 ( θ ) = a 1 + tan 2 ( θ ) = a ∣ cos ( θ ) ∣ \sqrt{a^2 + x^2} = \sqrt{a^2 + a^2\tan^2(\theta)} = a\sqrt{1 + \tan^2(\theta)} = \frac{a}{|\cos(\theta)|} a 2 + x 2 = a 2 + a 2 tan 2 ( θ ) = a 1 + tan 2 ( θ ) = ∣ cos ( θ ) ∣ a Pour x 2 − a 2 \sqrt{x^2 - a^2} x 2 − a 2
Expression Substitution Résultat x 2 − a 2 \sqrt{x^2 - a^2} x 2 − a 2 x = a cos ( θ ) x = \frac{a}{\cos(\theta)} x = c o s ( θ ) a a ∣ tan ( θ ) ∣ a|\tan(\theta)| a ∣ tan ( θ ) ∣
Récapitulatif
Forme dans l'intégrale Substitution dx devient a 2 − x 2 \sqrt{a^2 - x^2} a 2 − x 2 x = a sin ( θ ) x = a\sin(\theta) x = a sin ( θ ) a cos ( θ ) d θ a\cos(\theta) \, d\theta a cos ( θ ) d θ a 2 + x 2 \sqrt{a^2 + x^2} a 2 + x 2 x = a tan ( θ ) x = a\tan(\theta) x = a tan ( θ ) a cos 2 ( θ ) d θ \frac{a}{\cos^2(\theta)} \, d\theta c o s 2 ( θ ) a d θ x 2 − a 2 \sqrt{x^2 - a^2} x 2 − a 2 x = a cos ( θ ) x = \frac{a}{\cos(\theta)} x = c o s ( θ ) a a sin ( θ ) cos 2 ( θ ) d θ \frac{a\sin(\theta)}{\cos^2(\theta)} \, d\theta c o s 2 ( θ ) a s i n ( θ ) d θ
Application : notre intégrale elliptique
Reprenons l'intégrale du cours :
J = ∫ 0 π 1 + cos 2 ( x ) d x J = \int_0^\pi \sqrt{1 + \cos^2(x)} \, dx J = ∫ 0 π 1 + cos 2 ( x ) d x Étape 1 : substitution t = sin ( x ) t = \sin(x) t = sin ( x )
On pose t = sin ( x ) t = \sin(x) t = sin ( x )
d t = cos ( x ) d x dt = \cos(x) \, dx d t = cos ( x ) d x
d x = d t cos ( x ) = d t 1 − t 2 dx = \frac{dt}{\cos(x)} = \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}} d x = c o s ( x ) d t = 1 − t 2 d t
cos 2 ( x ) = 1 − sin 2 ( x ) = 1 − t 2 \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) = 1 - t^2 cos 2 ( x ) = 1 − sin 2 ( x ) = 1 − t 2
Étape 2 : transformation
1 + cos 2 ( x ) = 1 + ( 1 − t 2 ) = 2 − t 2 \sqrt{1 + \cos^2(x)} = \sqrt{1 + (1-t^2)} = \sqrt{2 - t^2} 1 + cos 2 ( x ) = 1 + ( 1 − t 2 ) = 2 − t 2 L'intégrale devient :
J = ∫ 0 0 2 − t 2 1 − t 2 d t J = \int_{0}^{0} \frac{\sqrt{2-t^2}}{\sqrt{1-t^2}} \, dt J = ∫ 0 0 1 − t 2 2 − t 2 d t Problème : Les bornes sont identiques ! Quand x x x 0 0 0 π \pi π t = sin ( x ) t = \sin(x) t = sin ( x ) 0 0 0 0 0 0 1 1 1
Étape 3 : découper l'intervalle
On découpe en deux parties : [ 0 , π / 2 ] [0, \pi/2] [ 0 , π /2 ] [ π / 2 , π ] [\pi/2, \pi] [ π /2 , π ]
Sur [ 0 , π / 2 ] [0, \pi/2] [ 0 , π /2 ] t t t 0 0 0 1 1 1
Sur [ π / 2 , π ] [\pi/2, \pi] [ π /2 , π ]
Donc :
J = 2 ∫ 0 1 2 − t 2 1 − t 2 d t J = 2 \int_0^1 \frac{\sqrt{2-t^2}}{\sqrt{1-t^2}} \, dt J = 2 ∫ 0 1 1 − t 2 2 − t 2 d t Étape 4 : identification
Cette intégrale est de la forme :
∫ 0 1 2 − t 2 1 − t 2 d t = ∫ 0 1 2 − t 2 1 − t 2 d t \int_0^1 \frac{\sqrt{2-t^2}}{\sqrt{1-t^2}} \, dt = \int_0^1 \sqrt{\frac{2-t^2}{1-t^2}} \, dt ∫ 0 1 1 − t 2 2 − t 2 d t = ∫ 0 1 1 − t 2 2 − t 2 d t C'est une intégrale elliptique car elle contient P ( t ) \sqrt{P(t)} P ( t ) P ( t ) P(t) P ( t )
2 − t 2 1 − t 2 = 2 − t 2 1 − t 2 ⇒ ( 2 − t 2 ) ( 1 − t 2 ) = 2 − 3 t 2 + t 4 \frac{2-t^2}{1-t^2} = \frac{2-t^2}{1-t^2} \quad \Rightarrow \quad (2-t^2)(1-t^2) = 2 - 3t^2 + t^4 1 − t 2 2 − t 2 = 1 − t 2 2 − t 2 ⇒ ( 2 − t 2 ) ( 1 − t 2 ) = 2 − 3 t 2 + t 4 ⚠️ Conclusion La substitution ne simplifie pas l'intégrale en une forme élémentaire, mais elle révèle sa nature elliptique . C'est une preuve constructive que l'intégrale n'a pas de primitive en forme close.
Substitution de Weierstrass
Cette substitution universelle transforme toute intégrale de fonctions trigonométriques rationnelles.
Formule
On pose t = tan ( x 2 ) t = \tan\left(\frac{x}{2}\right) t = tan ( 2 x )
sin ( x ) = 2 t 1 + t 2 , cos ( x ) = 1 − t 2 1 + t 2 , d x = 2 1 + t 2 d t \sin(x) = \frac{2t}{1+t^2}, \quad \cos(x) = \frac{1-t^2}{1+t^2}, \quad dx = \frac{2}{1+t^2} \, dt sin ( x ) = 1 + t 2 2 t , cos ( x ) = 1 + t 2 1 − t 2 , d x = 1 + t 2 2 d t Démonstration
De t = tan ( x / 2 ) t = \tan(x/2) t = tan ( x /2 )
sin ( x ) = 2 sin ( x 2 ) cos ( x 2 ) = 2 tan ( x / 2 ) 1 + tan 2 ( x / 2 ) = 2 t 1 + t 2 \sin(x) = 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\tan(x/2)}{1 + \tan^2(x/2)} = \frac{2t}{1+t^2} sin ( x ) = 2 sin ( 2 x ) cos ( 2 x ) = 1 + tan 2 ( x /2 ) 2 tan ( x /2 ) = 1 + t 2 2 t cos ( x ) = cos 2 ( x 2 ) − sin 2 ( x 2 ) = 1 − tan 2 ( x / 2 ) 1 + tan 2 ( x / 2 ) = 1 − t 2 1 + t 2 \cos(x) = \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1 - \tan^2(x/2)}{1 + \tan^2(x/2)} = \frac{1-t^2}{1+t^2} cos ( x ) = cos 2 ( 2 x ) − sin 2 ( 2 x ) = 1 + tan 2 ( x /2 ) 1 − tan 2 ( x /2 ) = 1 + t 2 1 − t 2 Pour d x dx d x x = 2 arctan ( t ) x = 2\arctan(t) x = 2 arctan ( t ) d x = 2 1 + t 2 d t dx = \frac{2}{1+t^2} dt d x = 1 + t 2 2 d t
Exemple
Calculer ∫ 1 1 + sin ( x ) d x \int \frac{1}{1 + \sin(x)} \, dx ∫ 1 + s i n ( x ) 1 d x
Avec t = tan ( x / 2 ) t = \tan(x/2) t = tan ( x /2 )
∫ 1 1 + 2 t 1 + t 2 ⋅ 2 1 + t 2 d t = ∫ 2 1 + t 2 + 2 t d t = ∫ 2 ( 1 + t ) 2 d t \int \frac{1}{1 + \frac{2t}{1+t^2}} \cdot \frac{2}{1+t^2} \, dt = \int \frac{2}{1+t^2+2t} \, dt = \int \frac{2}{(1+t)^2} \, dt ∫ 1 + 1 + t 2 2 t 1 ⋅ 1 + t 2 2 d t = ∫ 1 + t 2 + 2 t 2 d t = ∫ ( 1 + t ) 2 2 d t = − 2 1 + t = − 2 1 + tan ( x / 2 ) = -\frac{2}{1+t} = -\frac{2}{1+\tan(x/2)} = − 1 + t 2 = − 1 + tan ( x /2 ) 2 Substitutions hyperboliques
Analogues aux substitutions trigonométriques, mais pour d'autres formes.
Forme Substitution Identité utilisée x 2 + a 2 \sqrt{x^2 + a^2} x 2 + a 2 x = a sinh ( t ) x = a\sinh(t) x = a sinh ( t ) cosh 2 − sinh 2 = 1 \cosh^2 - \sinh^2 = 1 cosh 2 − sinh 2 = 1 x 2 − a 2 \sqrt{x^2 - a^2} x 2 − a 2 x = a cosh ( t ) x = a\cosh(t) x = a cosh ( t ) cosh 2 − sinh 2 = 1 \cosh^2 - \sinh^2 = 1 cosh 2 − sinh 2 = 1
Exemple : ∫ 1 x 2 + 1 d x \int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \, dx ∫ x 2 + 1 1 d x
Avec x = sinh ( t ) x = \sinh(t) x = sinh ( t ) d x = cosh ( t ) d t dx = \cosh(t) \, dt d x = cosh ( t ) d t x 2 + 1 = cosh ( t ) \sqrt{x^2+1} = \cosh(t) x 2 + 1 = cosh ( t )
∫ cosh ( t ) cosh ( t ) d t = t = argsh ( x ) = ln ( x + x 2 + 1 ) \int \frac{\cosh(t)}{\cosh(t)} \, dt = t = \text{argsh}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2+1}) ∫ cosh ( t ) cosh ( t ) d t = t = argsh ( x ) = ln ( x + x 2 + 1 ) Substitution d'Euler
Pour les intégrales contenant a x 2 + b x + c \sqrt{ax^2 + bx + c} a x 2 + b x + c
Première substitution d'Euler (a > 0 a > 0 a > 0
Si a > 0 a > 0 a > 0 a x 2 + b x + c = t − x a \sqrt{ax^2 + bx + c} = t - x\sqrt{a} a x 2 + b x + c = t − x a
Deuxième substitution d'Euler (c > 0 c > 0 c > 0
Si c > 0 c > 0 c > 0 a x 2 + b x + c = x t + c \sqrt{ax^2 + bx + c} = xt + \sqrt{c} a x 2 + b x + c = x t + c
Troisième substitution d'Euler (racines réelles)
Si a x 2 + b x + c ax^2 + bx + c a x 2 + b x + c α \alpha α β \beta β a x 2 + b x + c = t ( x − α ) \sqrt{ax^2+bx+c} = t(x - \alpha) a x 2 + b x + c = t ( x − α )
💡 Note pratique Les substitutions d'Euler sont puissantes mais calculatoirement lourdes. En pratique, on préfère souvent l'intégration numérique directe pour ces cas complexes.
Vérification avec SymPy
verifier_substitution.py python
Copier import sympy as sp x, t = sp.symbols( 'x t' ) # Notre intégrale après substitution # J = 2 ∫₀¹ √(2-t²)/√(1-t²) dt integrande = sp.sqrt( 2 - t ** 2 ) / sp.sqrt( 1 - t ** 2 ) # SymPy reconnaît l'intégrale elliptique resultat = sp.integrate(integrande, (t, 0 , 1 )) print ( "Résultat exact :" , resultat) # Évaluation numérique print ( "Valeur numérique :" , float ( 2 * resultat)) # Vérification avec l'intégrale originale integrale_originale = sp.integrate(sp.sqrt( 1 + sp.cos(x) ** 2 ), (x, 0 , sp.pi)) print ( "Intégrale originale :" , float (integrale_originale)) Sortie :
Résultat exact : sqrt(2)*elliptic_e(1/2)
Valeur numérique : 3.820197789027712
Intégrale originale : 3.820197789027712
Substitution pour l'intégration numérique
Les substitutions peuvent aussi améliorer la convergence numérique .
Éliminer une singularité
Pour ∫ 0 1 f ( x ) x d x \int_0^1 \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \, dx ∫ 0 1 x f ( x ) d x x = t 2 x = t^2 x = t 2
∫ 0 1 f ( t 2 ) t ⋅ 2 t d t = 2 ∫ 0 1 f ( t 2 ) d t \int_0^1 \frac{f(t^2)}{t} \cdot 2t \, dt = 2\int_0^1 f(t^2) \, dt ∫ 0 1 t f ( t 2 ) ⋅ 2 t d t = 2 ∫ 0 1 f ( t 2 ) d t L'intégrande est maintenant régulière.
Transformer un intervalle infini
Pour ∫ 0 + ∞ f ( x ) d x \int_0^{+\infty} f(x) \, dx ∫ 0 + ∞ f ( x ) d x x = t 1 − t x = \frac{t}{1-t} x = 1 − t t
∫ 0 1 f ( t 1 − t ) ⋅ 1 ( 1 − t ) 2 d t \int_0^1 f\left(\frac{t}{1-t}\right) \cdot \frac{1}{(1-t)^2} \, dt ∫ 0 1 f ( 1 − t t ) ⋅ ( 1 − t ) 2 1 d t L'intervalle est maintenant fini [ 0 , 1 ] [0, 1] [ 0 , 1 ]
À retenir
💡 Points clés
Les substitutions trigonométriques simplifient a 2 ± x 2 \sqrt{a^2 \pm x^2} a 2 ± x 2
La substitution de Weierstrass t = tan ( x / 2 ) t = \tan(x/2) t = tan ( x /2 )
Une substitution peut révéler la nature elliptique d'une intégrale
Les substitutions peuvent améliorer la convergence numérique
Vérifiez toujours les bornes après substitution
Aide-mémoire des substitutions trigonométriques
Voir Penser à a 2 − x 2 \sqrt{a^2 - x^2} a 2 − x 2 x = a sin ( θ ) x = a\sin(\theta) x = a sin ( θ ) a 2 + x 2 \sqrt{a^2 + x^2} a 2 + x 2 x = a tan ( θ ) x = a\tan(\theta) x = a tan ( θ ) x 2 − a 2 \sqrt{x^2 - a^2} x 2 − a 2 x = a / cos ( θ ) x = a/\cos(\theta) x = a / cos ( θ ) Fonctions trig rationnelles t = tan ( x / 2 ) t = \tan(x/2) t = tan ( x /2 )