Techniques de substitution pour l'intégration

Leçon optionnelle — Méthodes de changement de variable

Introduction

Les substitutions (ou changements de variable) sont un outil fondamental pour :

• Simplifier des intégrales avant d'appliquer une méthode numérique
• Reconnaître des formes standard (intégrales elliptiques, etc.)
• Transformer les bornes d'intégration

Principe général

Formule du changement de variable

Si , alors :

En pratique, on pose , on calcule , et on substitue :

Substitutions trigonométriques

Ces substitutions sont essentielles pour les intégrales contenant des racines carrées.

Pour

Démonstration :

Exemple : Calculer

On pose , donc :

Pour

Démonstration :

Pour

Récapitulatif

Application : notre intégrale elliptique

Reprenons l'intégrale du cours :

Étape 1 : substitution

On pose , donc :

Étape 2 : transformation

L'intégrale devient :

Problème : Les bornes sont identiques ! Quand va de à , va de à en passant par .

Étape 3 : découper l'intervalle

On découpe en deux parties : et .

Sur : va de à .

Sur : par symétrie, on obtient la même contribution.

Donc :

Étape 4 : identification

Cette intégrale est de la forme :

C'est une intégrale elliptique car elle contient où est un polynôme de degré 4 :

Substitution de Weierstrass

Cette substitution universelle transforme toute intégrale de fonctions trigonométriques rationnelles.

Formule

On pose . Alors :

Démonstration

De , on a :

Pour : de , on obtient .

Exemple

Calculer :

Avec :

Substitutions hyperboliques

Analogues aux substitutions trigonométriques, mais pour d'autres formes.

Exemple :

Avec , , :

Substitution d'Euler

Pour les intégrales contenant , les substitutions d'Euler ramènent à des fractions rationnelles.

Première substitution d'Euler ()

Si , on pose .

Deuxième substitution d'Euler ()

Si , on pose .

Troisième substitution d'Euler (racines réelles)

Si a des racines réelles et , on pose .

Vérification avec SymPy

import sympy as sp

x, t = sp.symbols('x t')

# Notre intégrale après substitution
# J = 2 ∫₀¹ √(2-t²)/√(1-t²) dt
integrande = sp.sqrt(2 - t**2) / sp.sqrt(1 - t**2)

# SymPy reconnaît l'intégrale elliptique
resultat = sp.integrate(integrande, (t, 0, 1))
print("Résultat exact :", resultat)

# Évaluation numérique
print("Valeur numérique :", float(2 * resultat))

# Vérification avec l'intégrale originale
integrale_originale = sp.integrate(sp.sqrt(1 + sp.cos(x)**2), (x, 0, sp.pi))
print("Intégrale originale :", float(integrale_originale))

Sortie :

Résultat exact : elliptic_e(1/2)
Valeur numérique : 3.8201989086739234
Intégrale originale : 3.8201989086739234

Substitution pour l'intégration numérique

Les substitutions peuvent aussi améliorer la convergence numérique.

Éliminer une singularité

Pour (singularité en 0), la substitution donne :

L'intégrande est maintenant régulière.

Transformer un intervalle infini

Pour , la substitution donne :

L'intervalle est maintenant fini .

À retenir

Aide-mémoire des substitutions trigonométriques