Chiffres significatifs exacts

Dans les leçons précédentes, nous avons vu que les calculs numériques introduisent inévitablement des erreurs. Mais comment quantifier ces erreurs ? Et surtout, comment savoir quels chiffres d'un résultat sont fiables ? Cette leçon introduit les outils fondamentaux pour répondre à ces questions.

Valeur exacte et valeur approchée

Commençons par établir un vocabulaire précis.

Valeur exacte (notée $Q$ ) : C'est la « vraie » valeur, celle qu'on cherche à calculer. Elle peut être connue théoriquement (comme $\pi$ ) ou inconnue (comme la solution d'une équation complexe).

Valeur approchée (notée $Q^*$ ) : C'est l'approximation que nous utilisons en pratique. Elle provient d'une mesure, d'un calcul numérique, ou d'une troncature.

Exemple :

Valeur exacte : $\pi = 3{,}14159265358979...$ (infinité de décimales)
Valeur approchée : $\pi^* = 3{,}14$ (deux décimales)

La question centrale est : quelle est la différence entre $Q$ et $Q^*$ , et comment l'exprimer ?

L'erreur absolue

Définition

L'erreur absolue mesure l'écart entre la valeur exacte et la valeur approchée :

\Delta Q = |Q - Q^*|

Les barres de valeur absolue garantissent que l'erreur est toujours positive (ou nulle).

Exemples concrets

Exemple 1 : Approximation de π

Q = \pi = 3{,}14159265...

Q^* = 3{,}14

\Delta Q = |3{,}14159265... - 3{,}14| = 0{,}00159265... \approx 0{,}0016

L'erreur absolue est d'environ $0{,}0016$ .

Exemple 2 : Mesure de température

Un thermomètre affiche $Q^* = 23{,}4$ °C. Si la température réelle est $Q = 23{,}47$ °C :

\Delta Q = |23{,}47 - 23{,}4| = 0{,}07 \text{ °C}

Exemple 3 : Grande valeur

Une distance est estimée à $Q^* = 1500$ m alors que la valeur exacte est $Q = 1523$ m :

\Delta Q = |1523 - 1500| = 23 \text{ m}

Limitation de l'erreur absolue

L'erreur absolue seule ne suffit pas toujours. Comparons deux situations :

Situation	Valeur exacte	Valeur approchée	Erreur absolue
A	100 m	99 m	1 m
B	1 000 000 m	999 999 m	1 m

Les deux erreurs absolues sont identiques (1 m), mais intuitivement, l'erreur en situation A semble plus « grave » : elle représente 1% de la valeur, contre 0,0001% en situation B.

C'est pourquoi nous avons besoin de l'erreur relative.

L'erreur relative

Définition

L'erreur relative rapporte l'erreur absolue à la grandeur de la valeur :

\text{Erreur relative} = \frac{|Q - Q^*|}{|Q|} = \frac{\Delta Q}{|Q|}

Elle s'exprime souvent en pourcentage.

Problème pratique

Cette définition pose un problème : elle utilise $Q$ , la valeur exacte, qui est souvent inconnue ! En pratique, on utilise plutôt :

E_r(Q) = \frac{|Q - Q^*|}{|Q^*|} = \frac{\Delta Q}{|Q^*|}

Quand $Q^*$ est une bonne approximation de $Q$ , cette formule donne un résultat très proche.

Exemples avec erreur relative

Reprenons les exemples précédents :

Exemple 1 : Approximation de π

E_r = \frac{0{,}0016}{3{,}14} \approx 0{,}00051 = 0{,}051\%

Exemple 2 : Mesure de température

E_r = \frac{0{,}07}{23{,}4} \approx 0{,}003 = 0{,}3\%

Exemple 3 : Grande distance

E_r = \frac{23}{1500} \approx 0{,}0153 = 1{,}53\%

Comparaison des deux types d'erreurs

Caractéristique	Erreur absolue	Erreur relative
Formule	$\Delta Q = \|Q - Q^*\|$	$E_r = \frac{\Delta Q}{\|Q^*\|}$
Unité	Même unité que Q	Sans unité (ou en %)
Interprétation	Écart en valeur	Écart proportionnel
Utilité	Comparer des erreurs sur des grandeurs similaires	Comparer des erreurs sur des grandeurs différentes

💡

Quelle erreur utiliser ?

L'erreur absolue est utile quand on compare des grandeurs du même ordre. L'erreur relative est préférable pour comparer la qualité d'approximations sur des grandeurs d'ordres différents, ou pour exprimer une précision indépendante de l'échelle.

L'intervalle de confiance

Quand on écrit $Q^* \pm \Delta Q$ , on définit un intervalle de confiance : un intervalle dans lequel la vraie valeur $Q$ se trouve.

Q \in [Q^* - \Delta Q, \; Q^* + \Delta Q]

Exemple : Si $Q^* = 3{,}2189$ avec une erreur $\Delta Q = 0{,}0003$ , alors :

Q \in [3{,}2186, \; 3{,}2192]

La valeur exacte se situe quelque part dans cet intervalle de largeur $2 \times 0{,}0003 = 0{,}0006$ .

Le rang d'un chiffre

Avant de définir les chiffres significatifs exacts, nous devons comprendre la notion de rang.

Définition du rang

Le rang d'un chiffre est sa position par rapport à la virgule décimale :

Les chiffres à gauche de la virgule ont des rangs positifs (ou nul pour les unités)
Les chiffres à droite de la virgule ont des rangs négatifs

Exemple détaillé

Considérons le nombre $3521{,}847$ :

Chiffre	Position	Rang	Unité du rang
3	Milliers	+3	$10^3 = 1000$
5	Centaines	+2	$10^2 = 100$
2	Dizaines	+1	$10^1 = 10$
1	Unités	0	$10^0 = 1$
8	Dixièmes	-1	$10^{-1} = 0{,}1$
4	Centièmes	-2	$10^{-2} = 0{,}01$
7	Millièmes	-3	$10^{-3} = 0{,}001$

Formule générale : L'unité du rang $r$ est $10^r$ .

Chiffres significatifs exacts (CSE)

Définition

Un chiffre significatif d'une valeur approchée $Q^*$ est dit exact si l'erreur absolue sur cette valeur est inférieure ou égale à la moitié de l'unité du rang de ce chiffre.

Formellement, un chiffre de rang $r$ est un CSE si :

\Delta Q \leq \frac{1}{2} \times 10^r

Interprétation intuitive

Cette définition signifie que l'erreur est suffisamment petite pour ne pas « affecter » ce chiffre. Si l'erreur est inférieure à la moitié de l'unité du rang, alors même en arrondissant, ce chiffre ne changerait pas.

Exemple détaillé pas à pas

Question : Dans $Q^* = 3{,}2189 \pm 0{,}0003$ , le chiffre 8 est-il un CSE ?

Étape 1 : Identifier le rang du chiffre 8

Dans $3{,}2189$ , le chiffre 8 est en position des millièmes :

\text{Rang du 8} = -3

Étape 2 : Calculer l'unité du rang

\text{Unité du rang } -3 = 10^{-3} = 0{,}001

Étape 3 : Calculer la moitié de cette unité

\frac{1}{2} \times 0{,}001 = 0{,}0005

Étape 4 : Comparer avec l'erreur absolue

\Delta Q = 0{,}0003

Est-ce que $\Delta Q \leq 0{,}0005$ ?

0{,}0003 \leq 0{,}0005 \quad \checkmark \text{ Oui !}

Conclusion : Le chiffre 8 est un CSE.

Étape 5 : Le chiffre 9 est-il un CSE ?

Le 9 est au rang $-4$ . L'unité du rang est $10^{-4} = 0{,}0001$ .

La moitié de cette unité est $0{,}00005$ .

Est-ce que $0{,}0003 \leq 0{,}00005$ ?

0{,}0003 > 0{,}00005 \quad \times \text{ Non !}

Conclusion : Le chiffre 9 n'est pas un CSE.

Bilan : La valeur $3{,}2189$ possède 4 CSE : les chiffres 3, 2, 1 et 8. On peut l'écrire :

Q^* = \underline{3{,}218}9 \pm 0{,}0003

(Les chiffres soulignés sont les CSE.)

Formules pratiques

Pour les décimales (chiffres après la virgule)

La $n$ -ième décimale est exacte si et seulement si :

\Delta Q \leq 0{,}5 \times 10^{-n}

Exemple : Pour que la 3ᵉ décimale soit exacte, il faut :

\Delta Q \leq 0{,}5 \times 10^{-3} = 0{,}0005

Pour les chiffres avant la virgule

Le $n$ -ième chiffre avant la virgule (en comptant à partir des unités) est exact si :

\Delta Q \leq 0{,}5 \times 10^{n-1}

Exemple : Pour que le chiffre des dizaines (2ᵉ position avant la virgule) soit exact :

\Delta Q \leq 0{,}5 \times 10^{2-1} = 0{,}5 \times 10 = 5

Trouver le rang du dernier CSE

Pour déterminer le rang $r$ du dernier CSE, on cherche le plus petit $r$ tel que :

\Delta Q \leq 0{,}5 \times 10^{r}

Ce qui équivaut à :

r \geq \log_{10}(2 \times \Delta Q)

Le rang du dernier CSE est le plus petit entier satisfaisant cette condition.

Exemples complets

Exemple 1 : L'approximation $\frac{22}{7}$ de π

Question : Combien de CSE possède $\pi^* = \frac{22}{7}$ comme approximation de $\pi$ ?

Étape 1 : Calculer la valeur approchée

\pi^* = \frac{22}{7} = 3{,}142857142857...

Étape 2 : Calculer l'erreur absolue

\Delta Q = |\pi - \pi^*| = |3{,}14159265... - 3{,}14285714...| = 0{,}00126448...

Étape 3 : Trouver le rang du dernier CSE

Testons différents rangs :

Rang r	0,5 × 10ʳ	ΔQ ≤ 0,5 × 10ʳ ?
-1	0,05	0,00126 ≤ 0,05 ✓
-2	0,005	0,00126 ≤ 0,005 ✓
-3	0,0005	0,00126 ≤ 0,0005 ✗

Le rang du dernier CSE est -2 (centièmes).

Étape 4 : Compter les CSE

Les chiffres exacts sont : 3, 1, 4 (jusqu'au rang -2).

\pi^* = \underline{3{,}14}2857... \quad \text{(3 CSE)}

Conclusion : L'approximation $\frac{22}{7}$ donne 3 chiffres significatifs exacts.

On écrirait : $\pi \approx 3{,}14 \pm 0{,}005$

Exemple 2 : Une meilleure approximation de π

Question : Combien de CSE possède $\pi^* = 3{,}1416$ ?

Étape 1 : Calculer l'erreur absolue

\Delta Q = |\pi - 3{,}1416| = |3{,}14159265... - 3{,}1416| = 0{,}00000735...

\Delta Q \approx 0{,}73 \times 10^{-5} = 7{,}3 \times 10^{-6}

Étape 2 : Trouver le rang du dernier CSE

Rang r	0,5 × 10ʳ	ΔQ ≤ 0,5 × 10ʳ ?
-4	0,00005	0,0000073 ≤ 0,00005 ✓
-5	0,000005	0,0000073 ≤ 0,000005 ✗

Le rang du dernier CSE est -4.

Étape 3 : Compter les CSE

Les chiffres exacts sont : 3, 1, 4, 1, 6 (jusqu'au rang -4).

\pi^* = \underline{3{,}1416} \quad \text{(5 CSE)}

Conclusion : Cette approximation donne 5 chiffres significatifs exacts.

Exemple 3 : Mesure de longueur

Situation : On mesure une longueur et on obtient $L^* = 1247$ m avec une précision de $\pm 3$ m.

Question : Combien de CSE possède cette mesure ?

Étape 1 : Identifier l'erreur absolue

\Delta L = 3 \text{ m}

Étape 2 : Trouver le rang du dernier CSE

Rang r	0,5 × 10ʳ	ΔL ≤ 0,5 × 10ʳ ?
2	50	3 ≤ 50 ✓
1	5	3 ≤ 5 ✓
0	0,5	3 ≤ 0,5 ✗

Le rang du dernier CSE est 1 (les dizaines).

Étape 3 : Identifier les CSE

L^* = \underline{124}7 \text{ m} \quad \text{(3 CSE)}

Les chiffres 1, 2 et 4 sont exacts. Le 7 des unités n'est pas garanti.

Remarques importantes

⚠️

Quand l'erreur n'est pas connue

Lorsque l'erreur absolue n'est pas explicitement donnée, on suppose conventionnellement que tous les chiffres écrits sont exacts. Ainsi, si on vous donne $Q^* = 3{,}14$ sans plus de précision, on suppose que la valeur est connue à $\pm 0{,}005$ près (la moitié de l'unité du dernier chiffre affiché), ce qui fait bien du 4 un CSE.

💡

Relation inverse

Si on vous dit qu'une valeur possède $n$ CSE, alors l'erreur absolue est bornée par la moitié de l'unité du $n$ -ième chiffre significatif. Cette relation permet d'estimer l'erreur à partir du nombre de CSE annoncé.

Récapitulatif des formules

Concept	Formule
Erreur absolue	$\Delta Q = \|Q - Q^*\|$
Erreur relative	$E_r = \frac{\Delta Q}{\|Q^*\|}$
Intervalle de confiance	$Q \in [Q^* - \Delta Q, Q^* + \Delta Q]$
Unité du rang $r$	$10^r$
Condition pour CSE au rang $r$	$\Delta Q \leq 0{,}5 \times 10^r$
$n$ -ième décimale exacte	$\Delta Q \leq 0{,}5 \times 10^{-n}$

Ce qu'il faut retenir

Les chiffres significatifs exacts permettent d'exprimer la précision d'une valeur numérique de manière concrète. Plutôt que de manipuler des erreurs abstraites, on peut dire directement : « cette valeur est fiable jusqu'au 4ᵉ chiffre ».

La clé est la relation entre l'erreur absolue et le rang : un chiffre est exact si l'erreur ne dépasse pas la moitié de l'unité de son rang. Cette règle du « demi » garantit que le chiffre ne changerait pas par arrondissement.

Dans la prochaine leçon, nous verrons le cas particulier de l'annulation catastrophique, où la soustraction de nombres proches peut faire perdre brutalement plusieurs chiffres significatifs.

Exercices de réflexion

Exercice 1 : Identifier les CSE

Pour chacune des valeurs suivantes, déterminez le nombre de chiffres significatifs exacts :

$Q^* = 2{,}7183 \pm 0{,}0004$ (approximation de $e$ )
$Q^* = 1{,}414 \pm 0{,}0008$ (approximation de $\sqrt{2}$ )
$Q^* = 9{,}81 \pm 0{,}02$ (accélération gravitationnelle en m/s²)
$Q^* = 299\,792 \pm 5$ (vitesse de la lumière en km/s)

💡

Méthode

Pour chaque cas : (1) identifiez l'erreur absolue, (2) testez les rangs successifs avec la condition $\Delta Q \leq 0{,}5 \times 10^r$ , (3) le rang du dernier CSE est le plus petit rang satisfaisant la condition.

Exercice 2 : Erreur absolue vs relative

Un arpenteur mesure deux distances :

Distance A : $10{,}5 \pm 0{,}1$ m
Distance B : $1050 \pm 10$ m

Calculez l'erreur relative pour chaque mesure.
Combien de CSE possède chaque mesure ?
Laquelle des deux mesures est la plus « précise » ? Justifiez votre réponse en distinguant précision absolue et précision relative.

Exercice 3 : Du nombre de CSE à l'erreur

On vous dit qu'une mesure de masse donne $m = 45{,}67$ g avec 4 chiffres significatifs exacts.

Quel est le rang du dernier CSE ?
Quelle est la borne supérieure de l'erreur absolue ?
Écrivez cette mesure sous la forme $m = ... \pm ...$
Dans quel intervalle se trouve la vraie valeur de la masse ?

Exercice 4 : Approximations successives de π

Calculez le nombre de CSE pour chaque approximation de $\pi$ :

$\pi^* = 3$
$\pi^* = 3{,}14$
$\pi^* = \frac{355}{113}$
$\pi^* = 3{,}14159265$

Observez comment le nombre de CSE évolue avec la qualité de l'approximation.

Chiffres significatifs exacts

Valeur exacte et valeur approchée

L'erreur absolue

Définition

Exemples concrets

Limitation de l'erreur absolue

L'erreur relative

Définition

Problème pratique

Exemples avec erreur relative

Comparaison des deux types d'erreurs

Quelle erreur utiliser ?

L'intervalle de confiance

Le rang d'un chiffre

Définition du rang

Exemple détaillé

Chiffres significatifs exacts (CSE)

Définition

Interprétation intuitive

Exemple détaillé pas à pas

Formules pratiques

Pour les décimales (chiffres après la virgule)

Pour les chiffres avant la virgule

Trouver le rang du dernier CSE

Exemples complets

Exemple 1 : L'approximation 227\frac{22}{7}722​ de π

Exemple 2 : Une meilleure approximation de π

Exemple 3 : Mesure de longueur

Remarques importantes

Quand l'erreur n'est pas connue

Relation inverse

Récapitulatif des formules

Ce qu'il faut retenir

Exercices de réflexion

Exercice 1 : Identifier les CSE

Méthode

Exercice 2 : Erreur absolue vs relative

Exercice 3 : Du nombre de CSE à l'erreur

Exercice 4 : Approximations successives de π

Exemple 1 : L'approximation $\frac{22}{7}$ de π