Propagation des erreurs

Dans les leçons précédentes, nous avons étudié les différentes sources d'erreurs en calcul numérique : erreurs de mesure, erreurs d'arrondi, erreurs de troncature. Une question fondamentale se pose maintenant : lorsqu'on effectue des calculs avec des données entachées d'erreurs, comment ces erreurs affectent-elles le résultat final ? Cette leçon développe les outils mathématiques permettant de répondre à cette question cruciale.

Position du problème

Le contexte pratique

Considérons une situation courante en ingénierie ou en sciences expérimentales. On dispose d'une grandeur mesurée $X$, connue avec une certaine incertitude :

où $X^*$ représente la valeur mesurée (ou calculée) et $\Delta X$ l'erreur absolue associée.

On souhaite calculer une fonction $F(X)$ de cette grandeur. La question est : quelle est l'incertitude sur $F(X)$ ?

Autrement dit, on cherche à déterminer $\Delta F$ tel que :

Un exemple introductif

Supposons que l'on mesure le côté d'un carré : $c = 10{,}0 \pm 0{,}1$ cm. Quelle est l'incertitude sur l'aire $A = c^2$ ?

L'aire calculée est $A^* = 100{,}0$ cm². Mais l'aire réelle pourrait être comprise entre :

L'incertitude sur l'aire est donc d'environ $\pm 2$ cm², soit 2 % — alors que l'incertitude sur le côté n'était que de 1 %. L'erreur s'est amplifiée en passant par la fonction carré.

Ce phénomène d'amplification (ou parfois d'atténuation) des erreurs est précisément ce que nous allons quantifier.

Propagation au premier ordre : une variable

Dérivation de la formule fondamentale

Soit $F$ une fonction dérivable et $X = X^* \pm \Delta X$ une grandeur connue avec incertitude. Nous cherchons l'incertitude $\Delta F$ sur $F(X)$.

L'idée clé consiste à utiliser un développement de Taylor au premier ordre. Au voisinage de $X^*$, on peut écrire :

Puisque $X$ peut s'écarter de $X^*$ d'au plus $\Delta X$, l'écart maximal sur $F$ est :

On obtient ainsi la formule de propagation des erreurs au premier ordre :

La valeur absolue garantit que l'incertitude $\Delta F$ est toujours positive.

Interprétation géométrique

Cette formule admet une interprétation géométrique élégante. La dérivée $F'(X^*)$ représente la pente de la tangente à la courbe $y = F(x)$ au point $X^*$.

• Si la pente est forte (en valeur absolue), une petite variation de $X$ entraîne une grande variation de $F$ : l'erreur est amplifiée.
• Si la pente est faible, l'erreur est atténuée. Par exemple, la fonction $\sqrt{X}$ a une dérivée $\frac{1}{2\sqrt{X}}$ qui diminue quand $X$ augmente : pour de grandes valeurs, l'erreur sur $X$ se traduit par une erreur plus petite sur $\sqrt{X}$.
• Si la pente est nulle (extremum), l'erreur est minimale au premier ordre.

Exemple détaillé : la racine carrée

Considérons la fonction $F(X) = \sqrt{X}$ avec $X^* = 1{,}234$ possédant 4 chiffres significatifs exacts.

Étape 1 : Déterminer l'erreur sur X

Avec 4 CSE, l'erreur absolue est bornée par la moitié de l'unité du dernier chiffre :

Donc $X = 1{,}234 \pm 0{,}0005$.

Étape 2 : Calculer F(X*)

Étape 3 : Calculer la dérivée de F

Étape 4 : Évaluer la dérivée en X*

Étape 5 : Calculer l'erreur propagée

Conclusion :

Le résultat possède également 4 chiffres significatifs exacts. Dans ce cas, la précision relative a été approximativement conservée.

Formule en termes d'erreurs relatives

Il est souvent utile d'exprimer la propagation en termes d'erreurs relatives. Définissons :

En partant de $\Delta F = |F'(X^*)| \cdot \Delta X$, on obtient :

Le coefficient $\frac{|X^* \cdot F'(X^*)|}{|F(X^*)|}$ est appelé coefficient d'amplification de l'erreur relative.

Exemples de coefficients d'amplification

La méthode de la fourchette

Principe

La méthode de la fourchette (ou méthode des bornes) offre une alternative à l'approche par les dérivées. Elle est particulièrement utile lorsque la fonction est monotone mais difficile à dériver, ou lorsqu'on souhaite une borne rigoureuse plutôt qu'une approximation.

Principe : Si $X \in [a, b]$ et si $F$ est continue et monotone sur $[a, b]$, alors :

Pour une fonction croissante : $F(X) \in [F(a), F(b)]$.

Pour une fonction décroissante : $F(X) \in [F(b), F(a)]$.

Exemple : reprise de la racine carrée

Reprenons l'exemple précédent avec $X = 1{,}234 \pm 0{,}0005$.

L'intervalle de confiance pour $X$ est $[1{,}2335; 1{,}2345]$.

La fonction racine carrée étant croissante sur $\mathbb{R}^+$, on calcule :

Donc $F(X) \in [1{,}11063; 1{,}11108]$.

Le milieu de cet intervalle est $1{,}11086$ et la demi-largeur est $0{,}00023$.

On obtient : $F(X) = 1{,}1109 \pm 0{,}0002$.

Remarque : Les deux méthodes donnent ici des résultats très proches ($\pm 0{,}0002$). La légère différence provient du fait que la méthode des dérivées est une approximation au premier ordre, tandis que la méthode de la fourchette donne un encadrement exact.

Comparaison des deux méthodes

Propagation à plusieurs variables

Généralisation de la formule

Dans de nombreuses situations pratiques, une grandeur dépend de plusieurs variables mesurées. Considérons une fonction $F(X, Y)$ de deux variables, où :

En utilisant un développement de Taylor à deux variables au premier ordre :

L'erreur maximale sur $F$ est obtenue lorsque les deux termes d'erreur s'additionnent (cas le plus défavorable) :

Exemple pratique : mesure d'une hauteur par triangulation

Un géomètre souhaite déterminer la hauteur $H$ d'un bâtiment. Il mesure la distance horizontale $L$ au pied du bâtiment et l'angle d'élévation $\theta$ vers le sommet.

La hauteur est donnée par :

Les mesures sont :

• $L^* = 2000$ m avec $\Delta L = 50$ m
• $\theta^* = 0{,}03636$ rad (environ 2,08°) avec $\Delta \theta = 0{,}00058$ rad

Étape 1 : Calculer H*

Étape 2 : Calculer les dérivées partielles

Étape 3 : Évaluer les dérivées partielles

Étape 4 : Calculer l'erreur propagée

Conclusion :

Le résultat ne possède que 2 chiffres significatifs, bien que les mesures initiales semblaient plus précises. Cet exemple illustre comment les erreurs se combinent et peuvent dégrader significativement la précision finale.

Analyse des contributions :

• Contribution de l'erreur sur $L$ : 1,82 m (61 %)
• Contribution de l'erreur sur $\theta$ : 1,16 m (39 %)

L'erreur sur la distance contribue davantage à l'incertitude finale. Pour améliorer la précision, il faudrait prioritairement réduire l'erreur sur $L$.

Règles pour les opérations arithmétiques

Les formules générales se simplifient considérablement pour les quatre opérations arithmétiques de base. Ces règles simplifiées sont d'usage constant en pratique.

Addition : $F = U + V$

Appliquons la formule générale avec $F(U, V) = U + V$ :

Donc :

Soustraction : $F = U - V$

Avec $F(U, V) = U - V$ :

Donc :

Multiplication : $F = U \times V$

Avec $F(U, V) = U \cdot V$ :

Donc :

En divisant par $|F^*| = |U^* \cdot V^*|$, on obtient l'erreur relative :

Division : $F = U \div V$

Avec $F(U, V) = \frac{U}{V}$ :

Donc :

En divisant par $|F^*| = \frac{|U^*|}{|V^*|}$ :

Tableau récapitulatif

Règles mnémotechniques :

• Pour l'addition et la soustraction : on additionne les erreurs absolues.
• Pour la multiplication et la division : on additionne les erreurs relatives.

L'importance de la formulation

Un exemple révélateur

Considérons le calcul de $F(X, Y) = X^2 - Y^2$ avec :

Méthode 1 : Calcul direct

Résultat : $F = 96 \pm 1{,}12$

Méthode 2 : Factorisation préalable

On utilise l'identité remarquable : $X^2 - Y^2 = (X + Y)(X - Y)$

Posons $U = X + Y$ et $V = X - Y$. Alors $F = U \times V$.

Calculons les erreurs sur $U$ et $V$ :

Pour le produit :

Résultat : $F = 96 \pm 1{,}6$

Comparaison des résultats

Les deux méthodes donnent des estimations d'erreur différentes ! Cela peut sembler paradoxal, mais s'explique par le fait que la formule de propagation au premier ordre fournit une borne supérieure de l'erreur, qui dépend de la façon dont on décompose le calcul.

Implémentation en Python

import math

def propager_erreur_1var(f, df, x_val, delta_x):
  """
  Propage l'erreur pour une fonction à une variable.

  Paramètres :
      f : fonction à évaluer
      df : dérivée de la fonction
      x_val : valeur de x
      delta_x : erreur absolue sur x

  Retourne :
      (f_val, delta_f) : valeur et erreur propagée
  """
  f_val = f(x_val)
  delta_f = abs(df(x_val)) * delta_x
  return f_val, delta_f


def propager_erreur_2var(f, df_dx, df_dy, x_val, y_val, delta_x, delta_y):
  """
  Propage l'erreur pour une fonction à deux variables.
  """
  f_val = f(x_val, y_val)
  delta_f = abs(df_dx(x_val, y_val)) * delta_x + abs(df_dy(x_val, y_val)) * delta_y
  return f_val, delta_f


# Exemple 1 : Racine carrée
print("=== Exemple 1 : Racine carrée ===")
f = lambda x: math.sqrt(x)
df = lambda x: 1 / (2 * math.sqrt(x))

x_val, delta_x = 1.234, 0.0005
f_val, delta_f = propager_erreur_1var(f, df, x_val, delta_x)

print(f"X = {x_val} ± {delta_x}")
print(f"F(X) = √X = {f_val:.6f} ± {delta_f:.6f}")
print()

# Exemple 2 : Hauteur par triangulation
print("=== Exemple 2 : Triangulation ===")
H = lambda L, theta: L * math.tan(theta)
dH_dL = lambda L, theta: math.tan(theta)
dH_dtheta = lambda L, theta: L / (math.cos(theta) ** 2)

L_val, delta_L = 2000, 50
theta_val, delta_theta = 0.03636, 0.00058

H_val, delta_H = propager_erreur_2var(
  H, dH_dL, dH_dtheta,
  L_val, theta_val,
  delta_L, delta_theta
)

print(f"L = {L_val} ± {delta_L} m")
print(f"θ = {theta_val} ± {delta_theta} rad")
print(f"H = L·tan(θ) = {H_val:.1f} ± {delta_H:.1f} m")
print()

# Exemple 3 : Les quatre opérations
print("=== Exemple 3 : Opérations arithmétiques ===")
U, delta_U = 10.0, 0.05
V, delta_V = 2.0, 0.03

# Addition
somme = U + V
delta_somme = delta_U + delta_V
print(f"U + V = {somme} ± {delta_somme}")

# Soustraction
diff = U - V
delta_diff = delta_U + delta_V
print(f"U - V = {diff} ± {delta_diff}")

# Multiplication
prod = U * V
delta_prod = abs(V) * delta_U + abs(U) * delta_V
print(f"U × V = {prod} ± {delta_prod}")

# Division
quot = U / V
delta_quot = delta_U / abs(V) + abs(U) * delta_V / (V ** 2)
print(f"U / V = {quot} ± {delta_quot:.4f}")

Synthèse

La propagation des erreurs est un outil essentiel pour évaluer la fiabilité d'un résultat numérique. Les points clés à retenir sont :

1. Formule fondamentale : L'erreur se propage selon $\Delta F = |F'(X^*)| \cdot \Delta X$ pour une variable, et se généralise par sommation des contributions pour plusieurs variables.

2. Règles simplifiées : Pour l'addition et la soustraction, on additionne les erreurs absolues. Pour la multiplication et la division, on additionne les erreurs relatives.

3. La soustraction est dangereuse : C'est la seule opération qui peut amplifier dramatiquement l'erreur relative (annulation catastrophique).

4. La formulation compte : Deux expressions mathématiquement équivalentes peuvent conduire à des estimations d'erreur différentes.

5. C'est une majoration : La formule de propagation donne une borne supérieure de l'erreur, souvent pessimiste.

Exercices

Exercice 1 : Propagation simple

On mesure le rayon d'un cercle : $r = 5{,}00 \pm 0{,}02$ cm.

1. Calculez l'aire $A = \pi r^2$ et son incertitude.
2. Calculez le périmètre $P = 2\pi r$ et son incertitude.
3. Comparez les erreurs relatives sur $A$ et $P$. Laquelle est la plus grande ? Expliquez pourquoi.

Exercice 2 : Plusieurs variables

La résistance équivalente de deux résistances en parallèle est :

On mesure $R_1 = 100 \pm 2$ Ω et $R_2 = 150 \pm 3$ Ω.

1. Calculez $R_{eq}$ et son incertitude en utilisant la formule de propagation générale.
2. Vérifiez votre résultat en décomposant le calcul : posez $U = R_1 \cdot R_2$ et $V = R_1 + R_2$, puis calculez $R_{eq} = U/V$.

Exercice 3 : Comparaison des méthodes

Pour $X = 2{,}00 \pm 0{,}01$, calculez $F(X) = X^3$ :

1. Par la formule de propagation au premier ordre.
2. Par la méthode de la fourchette.
3. Comparez les deux résultats et commentez.

Exercice 4 : Annulation catastrophique revisitée

Soient $U = 1000 \pm 1$ et $V = 999 \pm 1$.

1. Calculez $U - V$ et son incertitude.
2. Calculez l'erreur relative sur le résultat.
3. Comparez avec les erreurs relatives initiales sur $U$ et $V$.
4. Expliquez le phénomène observé.

Exercice 5 : Application pratique

La vitesse du son dans l'air est donnée approximativement par :

où $T$ est la température en degrés Celsius et $v$ est en m/s.

On mesure $T = 20{,}0 \pm 0{,}5$ °C.

1. Calculez la vitesse du son et son incertitude.
2. Quelle précision sur $T$ faudrait-il pour obtenir $v$ avec une erreur inférieure à 0,1 m/s ?