Introduction et formulation du problème

Objectifs d'apprentissage

À la fin de cette leçon, vous serez en mesure de :

Comprendre la nécessité des méthodes numériques pour résoudre des équations
Formuler un problème d'optimisation ou d'équation sous la forme
Identifier les limites des solutions analytiques

Motivation : pourquoi résoudre F(X) = 0 numériquement ?

En sciences et en génie, de nombreux problèmes se ramènent à la recherche des racines d'une équation, c'est-à-dire à trouver la valeur telle que :

Bien que certaines équations possèdent des solutions analytiques exactes (comme les équations du premier ou du second degré), la plupart des problèmes réels conduisent à des équations non linéaires dont la résolution exacte est impossible ou impraticable.

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Exemples de problèmes menant à F(X) = 0

Optimisation : trouver le maximum ou minimum d'une fonction (où la dérivée s'annule)
Équilibre : trouver le point d'équilibre d'un système physique
Intersection : trouver où deux courbes se croisent
Valeurs propres : résoudre des équations caractéristiques en algèbre linéaire

Exemple d'application : le problème de l'échelle

Considérons un problème classique d'optimisation géométrique qui illustre parfaitement pourquoi nous avons besoin de méthodes numériques.

Mise en situation

Imaginez deux corridors qui se croisent à angle droit. Le premier corridor (horizontal) a une largeur , et le second corridor (en diagonale) a une largeur .

Question pratique : Quelle est la longueur maximale d'une échelle rigide (ou d'une poutre, d'un tuyau) qui peut passer dans ce coude sans se plier ?

Ce problème a des applications concrètes en architecture, en logistique (déménagement de meubles) et en robotique (navigation dans des espaces contraints).

Description géométrique

Schéma du problème de l'échelle dans un coude de corridors

Dans cette configuration :

représente la largeur du premier corridor (horizontal)
représente la largeur du second corridor (en diagonale)
L'échelle, de longueur totale , touche les deux murs extérieurs et passe par le coin intérieur
est l'angle fixe du coude (souvent )
et sont les angles formés par l'échelle avec les murs

Modélisation mathématique

L'échelle, en passant par le coin intérieur, forme deux triangles rectangles :

Un triangle rectangle avec le segment comme hypoténuse et comme côté opposé à l'angle
Un triangle rectangle avec le segment comme hypoténuse et comme côté opposé à l'angle

En utilisant la géométrie de ces triangles et les relations trigonométriques, on établit :

Les angles , et forment ensemble un angle plat, donc . La longueur totale de l'échelle s'exprime alors :

Du problème physique au problème mathématique

Voici le point crucial : pour une position donnée de l'échelle (un angle donné), la fonction nous donne la longueur de l'échelle qui touche exactement les deux murs et le coin.

Mais ce qui nous intéresse, c'est la plus longue échelle qui peut passer. Or, quand l'échelle est très inclinée (petit ) ou très redressée (grand ), elle peut être très longue. La configuration critique — celle qui limite la longueur maximale — correspond au minimum de la fonction .

⚠️

Attention à l'interprétation

C'est contre-intuitif : on cherche la longueur maximale de l'échelle qui peut passer, mais mathématiquement, cela correspond au minimum de . En effet, représente la longueur d'une échelle qui « coince » pour un angle donné. La plus longue échelle qui passe est celle qui coince dans la position la plus favorable, c'est-à-dire là où est minimale.

Visualisation du problème d'optimisation

Le graphique suivant montre la fonction pour des corridors de largeurs m et m avec un angle :

Fonction L(C) — Problème de l'échelle

Paramètres des corridors :

W₁ (largeur corridor 1) : 1.0 m

W₂ (largeur corridor 2) : 1.0 m

A (angle du coude) : 90°

Angle optimal45.0°

L minimum2.828 m

Échelle max2.828 m

Interprétation du graphique

Le point rouge indique le minimum de la courbe à C ≈ 45.0°.

La longueur maximale de l'échelle pouvant passer dans ce coude est L ≈ 2.828 m.

Pour trouver ce minimum analytiquement, on doit résoudre l'équationdL/dC = 0.

Formule mathématique

L(C) = W₂ / sin(A + C) + W₁ / sin(C)

Où :

• C : angle de l'échelle avec le premier corridor
• W₁ : largeur du premier corridor (1.0 m)
• W₂ : largeur du second corridor (1.0 m)
• A : angle du coude (90°)

Pourquoi chercher où la dérivée s'annule ?

Rappelons un résultat fondamental du calcul différentiel :

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Condition nécessaire d'extremum

Si une fonction possède un maximum local ou un minimum local en un point où elle est dérivable, alors sa dérivée s'annule en ce point :

Appliquons ce principe à notre problème. Pour trouver le minimum de , nous devons résoudre :

Calcul de la dérivée

En dérivant par rapport à , on obtient :

L'équation à résoudre devient donc :

Ou de manière équivalente :

Le problème : une équation non linéaire sans solution analytique

Observons cette équation. Elle mélange :

Des fonctions trigonométriques (, )
Des puissances ()
Des compositions ()

Il n'existe aucune manipulation algébrique qui permette d'isoler et d'obtenir une formule explicite du type

C'est précisément pour résoudre ce type d'équation que nous avons besoin des méthodes numériques que nous étudierons dans ce chapitre.

⚠️

Ce que nous devons faire

Pour résoudre le problème de l'échelle, il faut :

Définir
Trouver numériquement la valeur telle que
Calculer pour obtenir la longueur maximale de l'échelle

Transformation en forme standard F(X) = 0

De nombreux problèmes se présentent initialement sous la forme d'une égalité entre deux expressions :

Pour appliquer les méthodes de résolution d'équations non linéaires, on transforme cette égalité en :

Exemple

Soit à résoudre l'équation :

On définit :

La recherche des racines de fournira les solutions de l'équation originale.

Limites des solutions analytiques

Cas des polynômes

Pour les polynômes de degré faible, des formules explicites existent :

Degré	Formule	Exemple
1
2		Formule quadratique
3	Formule de Cardan	Existe mais complexe
4	Formule de Ferrari	Existe mais très complexe
≥ 5	Aucune formule générale	Théorème d'Abel-Ruffini

🚨

Théorème d'Abel-Ruffini

Il n'existe aucune formule générale utilisant des radicaux pour résoudre les équations polynomiales de degré 5 ou plus. Les méthodes numériques deviennent alors indispensables.

Cas des fonctions transcendantes

Pour les équations impliquant des fonctions transcendantes (exponentielles, logarithmes, fonctions trigonométriques), les solutions analytiques exactes sont généralement impossibles :

— pas de solution analytique
— pas de solution analytique
— pas de solution analytique en termes de fonctions élémentaires

Questions préliminaires essentielles

Avant d'appliquer une méthode numérique pour résoudre , il est crucial de se poser les questions suivantes :

1. Comment est faite la fonction ?

La fonction est-elle explicitement définie ?
Peut-on évaluer pour n'importe quelle valeur de ?
La fonction est-elle définie par une formule, un algorithme, ou des données expérimentales ?

2. Quelles sont ses propriétés ?

est-elle continue sur l'intervalle d'intérêt ?
est-elle dérivable ? Peut-on calculer ?
La fonction présente-t-elle des singularités ou des discontinuités ?

3. Sur quel intervalle effectuer la recherche ?

Où se situe approximativement la racine recherchée ?
Y a-t-il plusieurs racines dans l'intervalle considéré ?
Dispose-t-on d'une valeur initiale proche de la solution ?

💡

Conseil pratique

Avant toute résolution numérique, tracez un graphique de la fonction . Cette visualisation permet d'identifier le nombre de racines, leur localisation approximative et le comportement de la fonction.

Résumé

Dans cette leçon, nous avons établi les fondements de la résolution numérique d'équations non linéaires :

Motivation : de nombreux problèmes pratiques (optimisation, équilibre, intersection) mènent à des équations
Exemple de l'échelle : ce problème géométrique d'optimisation illustre comment :
- Un problème concret se traduit en une fonction
- La recherche d'un extremum (minimum) nécessite de résoudre
- L'équation résultante est non linéaire et n'a pas de solution analytique
Transformation : toute équation peut se ramener à la forme standard
Limites analytiques : les polynômes de degré ≥ 5 et les fonctions transcendantes nécessitent des méthodes numériques
Questions préliminaires : avant de résoudre, il faut comprendre la nature de la fonction, ses propriétés et l'intervalle de recherche

Pour aller plus loin

Dans les prochaines leçons, nous étudierons plusieurs méthodes numériques pour résoudre :

Méthode de bissection
Méthode d'interpolation linéaire (Regula Falsi)
Méthode de la sécante
Méthode de Newton

Chaque méthode possède ses avantages, ses inconvénients et ses conditions d'application. L'objectif sera de choisir la méthode la plus adaptée selon le contexte du problème.