Méthode de la sécante

Objectifs d'apprentissage

À la fin de cette leçon, vous serez en mesure de :

Distinguer la méthode de la sécante de l'interpolation linéaire
Comprendre le principe de l'extrapolation
Identifier les situations où la méthode peut diverger
Faire le lien avec la méthode de Newton

Différence avec l'interpolation linéaire

La méthode de la sécante est similaire à l'interpolation linéaire (Regula Falsi), mais avec une différence fondamentale dans le choix des points.

Aspect	Interpolation linéaire	Méthode de la sécante
Choix des points	F(X₁) et F(X₂) de signes opposés	F(X₁) et F(X₂) les plus proches de 0
Type d'approximation	Toujours interpolation	Permet l'extrapolation
Garantie de convergence	Oui (si F continue, signes opposés)	Non garantie
Vitesse de convergence	Peut être lente	Généralement plus rapide

💡

Interpolation vs Extrapolation

Interpolation : le nouveau point $X_3$ est entre $X_1$ et $X_2$
Extrapolation : le nouveau point $X_3$ est à l'extérieur de l'intervalle $[X_1, X_2]$

L'extrapolation peut accélérer la convergence, mais comporte un risque de divergence.

Principe de la méthode

Stratégie de sélection

À chaque itération, au lieu de conserver les points qui encadrent la racine (signes opposés), on conserve les deux points dont les valeurs de F sont les plus proches de zéro.

Concrètement, après avoir calculé $X_3$ :

On compare $|F(X_1)|$ , $|F(X_2)|$ et $|F(X_3)|$
On garde les deux points avec les plus petites valeurs absolues

Formule

La formule reste identique à celle de l'interpolation linéaire :

🚨

Formule de la méthode de la sécante

X_3 = X_2 - F(X_2) \cdot \frac{X_2 - X_1}{F(X_2) - F(X_1)}

Visualisation interactive

Le graphique suivant illustre la différence entre l'interpolation linéaire et la méthode de la sécante. Observez comment la sécante peut produire des points à l'extérieur de l'intervalle initial.

Algorithme

secante.pypython

def secante(f, x1, x2, tol_x=1e-6, tol_f=1e-10, max_iter=100):
  """
  Méthode de la sécante.

  Paramètres:
      f : fonction dont on cherche la racine
      x1, x2 : estimations initiales (pas besoin de signes opposés)
      tol_x : tolérance sur x
      tol_f : tolérance sur f(x)
      max_iter : nombre maximum d'itérations

  Retourne:
      x3 : approximation de la racine
      iterations : liste des itérés
  """
  iterations = []

  for n in range(max_iter):
      fx1, fx2 = f(x1), f(x2)

      # Formule de la sécante
      x3 = x2 - fx2 * (x2 - x1) / (fx2 - fx1)
      fx3 = f(x3)

      iterations.append({
          'n': n + 1,
          'x1': x1, 'x2': x2, 'x3': x3,
          'f(x3)': fx3,
          'erreur': abs(x2 - x1)
      })

      # Critères d'arrêt
      if abs(x2 - x1) < tol_x or abs(fx3) < tol_f:
          return x3, iterations

      # Mise à jour : garder les deux points avec |F| le plus petit
      # Stratégie simplifiée : on prend x2 et x3
      x1, x2 = x2, x3

  return x3, iterations

Exemple numérique

Appliquons la méthode de la sécante à $F(X) = X^3 + X^2 - 3X - 3$ avec $X_1 = 1$ et $X_2 = 2$ .

Itération	X₁	X₂	X₃	F(X₃)	\|X₁ - X₂\|
1	1.0	2.0	1.571429	-1.36443	1.0
2	2.0	1.571429	1.705411	-0.247745	0.4286
3	1.571429	1.705411	1.735136	0.029255	0.1340
4	1.705411	1.735136	1.731996	-0.000515	0.0297
5	1.735136	1.731996	1.732051	-1.04×10⁻⁶	0.0031

Résultat : Convergence en 5 itérations avec $X_3 = 1.732051$ (racine exacte : $\sqrt{3} \approx 1.7320508$ ).

💡

Comparaison des méthodes

Pour le même problème et les mêmes valeurs initiales :

Bissection : 11 itérations
Interpolation linéaire : 8 itérations
Sécante : 5 itérations

La méthode de la sécante est souvent la plus rapide des trois.

Problème potentiel : la divergence

La méthode de la sécante n'offre aucune garantie de convergence. Elle peut diverger si les points initiaux sont mal choisis ou si la fonction a un comportement particulier.

Cas problématique

Considérons une situation où la droite sécante coupe l'axe des $x$ loin de la racine :

⚠️

Risque de divergence

Si la pente de la sécante est très faible (fonction presque plate entre $X_1$ et $X_2$ ), le point $X_3$ peut être projeté très loin, causant la divergence de la méthode.

Conseil pratique

Avant d'appliquer la méthode de la sécante :

Tracer un graphique grossier de la fonction
Choisir des points initiaux dans le voisinage de la racine
Surveiller que les itérés ne s'éloignent pas de la zone d'intérêt

Transition vers la méthode de Newton

Question fondamentale

Que se passe-t-il dans la formule de la sécante lorsque $X_1 \to X_2$ ?

X_3 = X_2 - F(X_2) \cdot \frac{X_2 - X_1}{F(X_2) - F(X_1)}

Lorsque $X_1$ tend vers $X_2$ , le quotient :

\frac{F(X_2) - F(X_1)}{X_2 - X_1} \longrightarrow F'(X_2)

C'est la définition de la dérivée !

Formule limite

En prenant la limite, on obtient :

X_3 = X_2 - \frac{F(X_2)}{F'(X_2)}

🚨

Lien avec Newton

La méthode de la sécante peut être vue comme une approximation de la méthode de Newton où la dérivée $F'(X)$ est remplacée par une approximation par différences finies :

F'(X_2) \approx \frac{F(X_2) - F(X_1)}{X_2 - X_1}

Cette observation mène naturellement à la méthode de Newton, que nous étudierons dans la prochaine leçon.

Résumé

Dans cette leçon, nous avons étudié la méthode de la sécante :

Différence avec Regula Falsi : on garde les points avec $|F(X)|$ le plus petit, pas ceux de signes opposés
Extrapolation : le nouveau point peut sortir de l'intervalle initial
Formule identique : $X_3 = X_2 - F(X_2) \cdot \frac{X_2 - X_1}{F(X_2) - F(X_1)}$
Convergence rapide : souvent plus rapide que les méthodes précédentes (5 itérations dans notre exemple)
Risque de divergence : aucune garantie de convergence
Lien avec Newton : quand $X_1 \to X_2$ , on retrouve la formule de Newton avec la dérivée