Méthode de la sécante

Objectifs d'apprentissage

À la fin de cette leçon, vous serez en mesure de :

• Distinguer la méthode de la sécante de l'interpolation linéaire
• Comprendre le principe de l'extrapolation
• Identifier les situations où la méthode peut diverger
• Faire le lien avec la méthode de Newton

Différence avec l'interpolation linéaire

La méthode de la sécante est similaire à l'interpolation linéaire (Regula Falsi), mais avec une différence fondamentale dans le choix des points.

Principe de la méthode

Stratégie de sélection

À chaque itération, au lieu de conserver les points qui encadrent la racine (signes opposés), on conserve les deux points dont les valeurs de F sont les plus proches de zéro.

Concrètement, après avoir calculé :

• On compare , et
• On garde les deux points avec les plus petites valeurs absolues

Formule

La formule reste identique à celle de l'interpolation linéaire :

Visualisation interactive

Le graphique suivant illustre la différence entre l'interpolation linéaire et la méthode de la sécante. Observez comment la sécante peut produire des points à l'extérieur de l'intervalle initial.

Algorithme

def secante(f, x1, x2, tol_x=1e-6, tol_f=1e-10, max_iter=100):
  """
  Méthode de la sécante.

  Paramètres:
      f : fonction dont on cherche la racine
      x1, x2 : estimations initiales (pas besoin de signes opposés)
      tol_x : tolérance sur x
      tol_f : tolérance sur f(x)
      max_iter : nombre maximum d'itérations

  Retourne:
      x3 : approximation de la racine
      iterations : liste des itérés
  """
  iterations = []

  for n in range(max_iter):
      fx1, fx2 = f(x1), f(x2)

      # Formule de la sécante
      x3 = x2 - fx2 * (x2 - x1) / (fx2 - fx1)
      fx3 = f(x3)

      iterations.append({
          'n': n + 1,
          'x1': x1, 'x2': x2, 'x3': x3,
          'f(x3)': fx3,
          'erreur': abs(x2 - x1)
      })

      # Critères d'arrêt
      if abs(x2 - x1) < tol_x or abs(fx3) < tol_f:
          return x3, iterations

      # Mise à jour : garder les deux points avec |F| le plus petit
      # Stratégie simplifiée : on prend x2 et x3
      x1, x2 = x2, x3

  return x3, iterations

Exemple numérique

Appliquons la méthode de la sécante à avec et .

Résultat : Convergence en 5 itérations avec (racine exacte : ).

Problème potentiel : la divergence

La méthode de la sécante n'offre aucune garantie de convergence. Elle peut diverger si les points initiaux sont mal choisis ou si la fonction a un comportement particulier.

Cas problématique

Considérons une situation où la droite sécante coupe l'axe des loin de la racine :

Conseil pratique

Avant d'appliquer la méthode de la sécante :

1. Tracer un graphique grossier de la fonction
2. Choisir des points initiaux dans le voisinage de la racine
3. Surveiller que les itérés ne s'éloignent pas de la zone d'intérêt

Transition vers la méthode de Newton

Question fondamentale

Que se passe-t-il dans la formule de la sécante lorsque ?

Lorsque tend vers , le quotient :

C'est la définition de la dérivée !

Formule limite

En prenant la limite, on obtient :

Cette observation mène naturellement à la méthode de Newton, que nous étudierons dans la prochaine leçon.

Résumé

Dans cette leçon, nous avons étudié la méthode de la sécante :

1. Différence avec Regula Falsi : on garde les points avec le plus petit, pas ceux de signes opposés

2. Extrapolation : le nouveau point peut sortir de l'intervalle initial

3. Formule identique :

4. Convergence rapide : souvent plus rapide que les méthodes précédentes (5 itérations dans notre exemple)

5. Risque de divergence : aucune garantie de convergence

6. Lien avec Newton : quand , on retrouve la formule de Newton avec la dérivée