Méthode de Newton

Objectifs d'apprentissage

À la fin de cette leçon, vous serez en mesure de :

• Comprendre le principe géométrique de la méthode de Newton (tangente)
• Implémenter l'algorithme de Newton
• Identifier les conditions de convergence et les cas problématiques
• Apprécier la convergence quadratique de la méthode

Principe géométrique

La méthode de Newton, aussi appelée méthode de Newton-Raphson, est l'une des méthodes les plus puissantes pour résoudre .

Idée fondamentale

Au lieu d'utiliser une sécante (droite passant par deux points de la courbe), on utilise la tangente à la courbe en un seul point.

Construction géométrique

Partant d'un point , on trace la tangente à la courbe au point . Le point est l'abscisse où cette tangente coupe l'axe des .

La pente de la tangente est la dérivée , donc :

Dérivation de la formule

En résolvant pour :

Développement formel (Taylor)

On peut aussi dériver la formule de Newton par un développement de Taylor.

Raisonnement

Supposons que est une approximation de la racine , avec .

Cherchons une correction telle que :

Développement de Taylor au premier ordre

En imposant :

On retrouve bien la formule de Newton :

Algorithme

Algorithme : Méthode de Newton
Entrées : F, F' (fonctions), X1 (valeur initiale), δ (tolérance sur x), ε (tolérance sur F)
Sortie : X (approximation de la racine)

Poser X2 = X1
Calculer X1 = X1 - F(X1) / F'(X1)

Tant que (|X1 - X2| ≥ δ) ET (|F(X1)| ≥ ε) ET (F'(X1) ≠ 0) faire
  Poser X2 = X1
  Calculer X1 = X1 - F(X1) / F'(X1)
Fin Tant que

Retourner X = X1

Implémentation en Python

def newton(f, df, x1, tol_x=1e-6, tol_f=1e-10, max_iter=100):
  """
  Méthode de Newton.

  Paramètres:
      f : fonction dont on cherche la racine
      df : dérivée de f
      x1 : valeur initiale
      tol_x : tolérance sur x
      tol_f : tolérance sur f(x)
      max_iter : nombre maximum d'itérations

  Retourne:
      x : approximation de la racine
      iterations : liste des itérés
  """
  iterations = []
  x2 = x1

  for n in range(max_iter):
      fx1 = f(x1)
      dfx1 = df(x1)

      # Vérification de la dérivée
      if dfx1 == 0:
          raise ValueError(f"Dérivée nulle en x = {x1}")

      # Formule de Newton
      x_new = x1 - fx1 / dfx1

      iterations.append({
          'n': n + 1,
          'x': x1,
          'x_new': x_new,
          'f(x)': fx1,
          'erreur': abs(x_new - x1)
      })

      # Critères d'arrêt
      if abs(x_new - x1) < tol_x or abs(f(x_new)) < tol_f:
          return x_new, iterations

      x2 = x1
      x1 = x_new

  return x1, iterations

Exemple numérique

Appliquons la méthode de Newton à avec .

La dérivée est :

Résultat : Convergence en 3 itérations seulement !

Convergence quadratique

Définition

On dit qu'une méthode a une convergence quadratique si l'erreur à l'itération est proportionnelle au carré de l'erreur à l'itération :

où est l'erreur par rapport à la racine exacte .

Conséquence pratique

À chaque itération, le nombre de décimales correctes double (approximativement).

Par exemple :

• Itération 1 : 1 décimale correcte
• Itération 2 : 2 décimales correctes
• Itération 3 : 4 décimales correctes
• Itération 4 : 8 décimales correctes

Avantages et inconvénients

Avantages

Inconvénients

Cas problématiques

La méthode de Newton n'est pas garantie de converger. Le graphique interactif ci-dessous présente quatre fonctions classiques illustrant différents comportements problématiques. Explorez chaque onglet et testez différents points de départ.

Problème 1 : Cycles stables (2-cycle)

Pour certaines fonctions, Newton peut entrer dans un cycle où les itérés alternent entre deux valeurs sans jamais converger.

Ce phénomène se produit quand la fonction de Newton satisfait pour certaines valeurs.

Problème 2 : Divergence oscillante

Pour (racine cubique), la formule de Newton donne :

Chaque itération triple la distance à la racine tout en changeant de signe : les itérés divergent vers en oscillant.

Problème 3 : Trichotomie (arctan)

La fonction présente trois comportements distincts selon :

La valeur critique est la solution de .

Problème 4 : Dérivée nulle et région asymptotique

Si , la formule de Newton implique une division par zéro.

De plus, pour , les itérés fuient vers car la fonction décroît asymptotiquement vers 0 sans jamais l'atteindre.

Problème 5 : Racines multiples

Si est une racine de multiplicité (c'est-à-dire ), la convergence devient linéaire au lieu de quadratique.

Critères de convergence

Condition suffisante (théorème)

Si est deux fois dérivable et si est suffisamment proche de la racine simple , alors la méthode de Newton converge.

En pratique

Toujours tracer un graphique de la fonction avant d'appliquer la méthode pour :

1. Localiser approximativement les racines
2. Choisir un bon point de départ
3. Identifier les zones problématiques (extremums, asymptotes)

Résumé

Dans cette leçon, nous avons étudié la méthode de Newton :

1. Principe géométrique : intersection de la tangente avec l'axe des

2. Formule :

3. Développement formel : correction issue du développement de Taylor

4. Convergence quadratique : le nombre de décimales correctes double à chaque itération

5. Avantages : très rapide, une seule valeur de départ

6. Inconvénients : nécessite la dérivée, sensible au point de départ

7. Cas problématiques : cycles stables, divergence oscillante, trichotomie, , racines multiples