Méthode du point fixe

Objectifs d'apprentissage

À la fin de cette leçon, vous serez en mesure de :

• Transformer une équation $f(x) = 0$ en forme de point fixe $x = g(x)$
• Comprendre graphiquement la convergence et la divergence
• Choisir une bonne formulation $g(x)$ pour assurer la convergence
• Relier la méthode du point fixe aux autres méthodes (Newton)

Principe de la méthode

Reformulation du problème

La méthode du point fixe consiste à transformer l'équation :

en une équation équivalente de la forme :

Définition du point fixe

Interprétation graphique

Graphiquement, un point fixe est l'intersection des courbes :

• $y = g(x)$
• $y = x$ (la bissectrice du premier quadrant)

Algorithme des itérations

Principe

À partir d'une valeur initiale $x_1$, on calcule successivement :

Si la suite $(x_n)$ converge vers une limite $r$, alors par continuité de $g$ :

Donc $r$ est bien un point fixe.

Pseudo-code

Algorithme : Méthode du point fixe
Entrées : g (fonction), X1 (valeur initiale), δ (tolérance)
Sortie : X (approximation du point fixe)

Poser X2 = X1
Répéter
  Poser X1 = X2
  Calculer X2 = g(X1)
Tant que |X1 - X2| ≥ δ

Retourner X = X2

Implémentation en Python

def point_fixe(g, x1, tol=1e-6, max_iter=100):
  """
  Méthode du point fixe : x = g(x)

  Paramètres:
      g : fonction de réarrangement
      x1 : valeur initiale
      tol : tolérance sur |x_{n+1} - x_n|
      max_iter : nombre maximum d'itérations

  Retourne:
      x : approximation du point fixe
      iterations : liste des itérés
  """
  iterations = []
  x2 = x1

  for n in range(max_iter):
      x1 = x2
      x2 = g(x1)

      iterations.append({
          'n': n + 1,
          'x1': x1,
          'x2': x2,
          'erreur': abs(x2 - x1)
      })

      if abs(x2 - x1) < tol:
          return x2, iterations

  return x2, iterations

Exemple détaillé

Considérons l'équation :

Cette équation a deux racines : $r_1 = -1$ et $r_2 = 3$.

On peut factoriser : $f(x) = (x+1)(x-3)$

Différentes formulations g(x)

À partir de $x^2 - 2x - 3 = 0$, on peut isoler $x$ de plusieurs façons :

Visualisation interactive

Le graphique suivant illustre les trois formulations. Observez comment la suite des itérés converge ou diverge selon la forme choisie.

Analyse des trois cas

Cas 1 : g(x) = 3/(x-2) → Converge vers -1

Avec $x_1 = 4$ :

La suite oscille mais converge vers $r_1 = -1$.

Cas 2 : g(x) = √(2x + 3) → Converge vers 3

Avec $x_1 = 4$ :

La suite converge rapidement et de façon monotone vers $r_2 = 3$.

Cas 3 : g(x) = (x² - 3)/2 → Diverge

Avec $x_1 = 4$ :

La suite diverge rapidement vers l'infini !

Condition de convergence

Critère graphique

La convergence dépend de la pente de $g(x)$ au voisinage du point fixe.

Vérification sur nos exemples

Pour $f(x) = x^2 - 2x - 3 = 0$ avec les racines $r_1 = -1$ et $r_2 = 3$ :

Interprétation graphique de la convergence

Convergence monotone

Quand $0 < g'(r) < 1$, la suite converge de façon monotone (toujours du même côté).

La courbe $y = g(x)$ coupe la droite $y = x$ avec une pente positive mais inférieure à 1.

Convergence oscillante

Quand $-1 < g'(r) < 0$, la suite converge en oscillant autour du point fixe (alternance au-dessus et en-dessous).

Divergence

Quand $|g'(r)| > 1$, les itérés s'éloignent de plus en plus du point fixe.

Lien avec la méthode de Newton

La méthode de Newton peut être vue comme un cas particulier de la méthode du point fixe.

En effet, la formule de Newton :

correspond à $X_{n+1} = g(X_n)$ avec :

Comment choisir g(x) ?

Stratégies

1. Vérifier la condition : calculer $g'(x)$ et s'assurer que $|g'(r)| < 1$

2. Tester graphiquement : tracer $y = g(x)$ et $y = x$, observer l'angle d'intersection

3. Essayer plusieurs formulations : si une diverge, en essayer une autre

Conseil pratique

Si $f(x) = 0$ et qu'on veut converger vers une racine $r$, il est souvent efficace de choisir :

avec $\alpha$ choisi pour que $|g'(r)| < 1$.

Résumé

Dans cette leçon, nous avons étudié la méthode du point fixe :

1. Principe : transformer $f(x) = 0$ en $x = g(x)$

2. Point fixe : valeur $r$ telle que $r = g(r)$

3. Algorithme : $x_{n+1} = g(x_n)$

4. Condition de convergence : $|g'(r)| < 1$

5. Différentes formulations : une même équation peut donner plusieurs $g(x)$ avec des comportements différents

6. Interprétation graphique : intersection de $y = g(x)$ et $y = x$

7. Lien avec Newton : Newton est un cas particulier avec $g(x) = x - F(x)/F'(x)$ et $g'(r) = 0$