Annexe 1 — Étude interactive de la convergence

Objectifs

Cette annexe propose un outil interactif pour explorer et comparer la convergence des différentes méthodes de résolution d'équations non linéaires étudiées dans le chapitre 2.

Vous pourrez :

• Tester les méthodes sur différentes fonctions
• Observer l'évolution de l'erreur en échelle logarithmique
• Estimer numériquement l'ordre de convergence $p$
• Comparer les résultats avec les valeurs théoriques

Rappel théorique

Ordre de convergence

Une méthode a un ordre de convergence $p$ si :

où $e_n = x_n - x^*$ est l'erreur à l'itération $n$ et $C > 0$ est la constante asymptotique.

Résumé des ordres théoriques

Outil interactif

Utilisez l'outil ci-dessous pour explorer la convergence des méthodes.

Instructions :

1. Choisissez une fonction test parmi les options proposées
2. Sélectionnez les méthodes à comparer
3. Ajustez le nombre d'itérations et le point initial
4. Observez les courbes de convergence et le tableau d'analyse

Interprétation des résultats

Lecture du graphique

• Axe horizontal : numéro de l'itération $n$
• Axe vertical : logarithme en base 10 de l'erreur $\log_{10}(|e_n|)$
• Une droite sur ce graphique indique une convergence linéaire
• Une courbe qui s'accélère (pente qui augmente) indique une convergence superlinéaire ou quadratique

Estimation de l'ordre

L'ordre de convergence $p$ est estimé numériquement par :

Cette estimation devient plus précise lorsque l'on est proche de la convergence.

Exercices suggérés

1. Comparer Bissection et Regula Falsi : Pour quelle fonction la différence est-elle la plus marquée ? Essayez avec $x^3 - x - 2$ et observez si Regula Falsi « stagne » sur une borne.

2. Observer la convergence de Newton : Notez le nombre d'itérations nécessaires pour atteindre la précision machine. Que se passe-t-il si vous choisissez un point initial éloigné de la racine ?

3. Étudier la sécante : Vérifiez que l'ordre estimé se rapproche de $\varphi \approx 1.618$ (le nombre d'or).

4. Point fixe oscillant : Sélectionnez la fonction $x^2 - 2 = 0$, activez la méthode Point Fixe, puis choisissez $g_2(x) = 2/x$. Observez le comportement : la méthode oscille entre deux valeurs sans converger. Pourquoi ? Calculez $g'(r) = -2/r^2$ en $r = \sqrt{2}$ : on obtient $g'(\sqrt{2}) = -1$ exactement. La condition $|g'(r)| < 1$ n'est pas satisfaite !

5. Point fixe divergent : Toujours avec $x^2 - 2 = 0$, essayez $g_3(x) = x^2 + x - 2$. Cette fois, la méthode diverge car $|g'(r)| \approx 3.8 > 1$.

6. Point fixe convergent (quadratique) : Avec la même fonction, choisissez $g_1(x) = (x + 2/x)/2$ (méthode de Héron). Observez la convergence très rapide : c'est parce que $g'(r) = 0$, ce qui donne une convergence quadratique au lieu de linéaire !

7. Comparer les formulations de point fixe : Pour $e^x - 3x = 0$, comparez $g_1(x) = e^x/3$ (diverge) et $g_2(x) = \ln(3x)$ (converge). Cela illustre l'importance cruciale du choix de $g(x)$.

8. Mystère du point fixe arccos : Pour $\cos(x) - x = 0$, comparez $g_1(x) = \cos(x)$ et $g_2(x) = \arccos(x)$. Observez attentivement le graphique des erreurs pour $g_2$ : la méthode s'arrête après une seule itération. Pourquoi ? Ce n'est pas un simple problème de convergence lente ou de $|g'(r)| > 1$. Indice : calculez $x_1 = \arccos(x_0)$ avec $x_0 = 0.5$, puis demandez-vous si $x_2 = \arccos(x_1)$ est calculable. Quel est le domaine de définition de $\arccos$ ?

Lien avec la théorie

Les résultats observés dans cette visualisation confirment les analyses théoriques sur la convergence :

• Newton est la méthode la plus rapide pour les racines simples (convergence quadratique)
• Sécante offre un bon compromis : pas besoin de calculer $f'(x)$, mais convergence superlinéaire
• Bissection est lente mais garantie : elle converge toujours si les conditions initiales sont satisfaites
• Regula Falsi peut être plus rapide que la bissection, mais parfois beaucoup plus lente