Systèmes triangulaires et opérations élémentaires
Objectifs d'apprentissage
À la fin de cette leçon, vous serez en mesure de :
- Identifier et classifier les matrices triangulaires (inférieures et supérieures)
- Résoudre un système triangulaire par substitution avant ou arrière
- Appliquer les trois opérations élémentaires sur les lignes d'une matrice
- Comprendre la notion de systèmes équivalents
- Construire et manipuler une matrice augmentée
Prérequis
- Notions de base en algèbre linéaire (matrices, vecteurs)
- Notation matricielle d'un système linéaire ()
Les systèmes triangulaires : des systèmes faciles à résoudre
Certains systèmes linéaires possèdent une structure particulière qui les rend très simples à résoudre. Ce sont les systèmes triangulaires.
Matrice triangulaire inférieure
Une matrice est triangulaire inférieure si tous les éléments au-dessus de la diagonale sont nuls :
Les éléments non nuls forment un « triangle » dans la partie inférieure de la matrice.
Matrice triangulaire supérieure
Une matrice est triangulaire supérieure si tous les éléments en dessous de la diagonale sont nuls :
Les éléments non nuls forment un « triangle » dans la partie supérieure de la matrice.
Convention de notation
Par convention, on utilise souvent la lettre (pour « Lower ») pour désigner une matrice triangulaire inférieure et la lettre (pour « Upper ») pour une matrice triangulaire supérieure.
Substitution arrière (systèmes triangulaires supérieurs)
Considérons le système triangulaire supérieur suivant :
Ce système correspond aux équations :
Méthode de résolution
La clé est de commencer par la dernière équation, qui ne contient qu'une seule inconnue :
Étape 1 : Résoudre la dernière équation
Étape 2 : Remonter à l'équation précédente et substituer
Étape 3 : Continuer à remonter
La solution est donc , , .
Visualisez ce processus de manière interactive :
Substitution arrière : visualisation pas à pas
Résolution du système triangulaire supérieur Ux = y
Système Ux = y
Explication
État initial : aucune inconnue résolue
Formule générale
Pour un système triangulaire supérieur de dimension , les inconnues se calculent en remontant de à :
Substitution avant (systèmes triangulaires inférieurs)
Considérons maintenant le système triangulaire inférieur :
Méthode de résolution
Cette fois, on commence par la première équation :
Étape 1 : Résoudre la première équation
Étape 2 : Descendre à l'équation suivante et substituer
Étape 3 : Continuer à descendre
Donc .
Formule générale
Pour un système triangulaire inférieur , on procède de à :
Le problème des éléments diagonaux nuls
Les formules de substitution avant et arrière font apparaître une division par l'élément diagonal ou . Que se passe-t-il si l'un de ces éléments est nul ?
Cas d'un zéro sur la diagonale
Considérons le système triangulaire supérieur suivant :
L'élément diagonal . Que signifie ce zéro ?
La deuxième équation s'écrit : , soit simplement . Cette équation ne contient pas ! On peut la résoudre et trouver .
Mais la troisième équation donne , soit également. C'est cohérent.
Le problème : n'apparaît dans aucune équation utilisable. La variable peut prendre n'importe quelle valeur — le système a une infinité de solutions.
Interprétation
Un zéro sur la diagonale d'une matrice triangulaire signifie que :
-
La matrice est singulière : son déterminant est nul (le déterminant d'une matrice triangulaire est le produit de ses éléments diagonaux).
-
Le système n'a pas de solution unique : soit il a une infinité de solutions (si les équations sont compatibles), soit il n'a aucune solution (si les équations sont contradictoires).
Cas contradictoire
Modifions légèrement l'exemple précédent :
La deuxième équation donne , mais la troisième donne . C'est contradictoire ! Ce système n'a aucune solution.
Condition de résolution
Pour qu'un système triangulaire admette une solution unique, il faut et il suffit que tous les éléments diagonaux soient non nuls :
Cette condition garantit que chaque équation permet de déterminer une nouvelle inconnue de manière unique.
La matrice augmentée
Pour faciliter les calculs, on regroupe souvent la matrice et le vecteur dans une seule structure appelée matrice augmentée :
La barre verticale sépare visuellement les coefficients du système des seconds membres.
Par exemple, pour le système triangulaire inférieur précédent :
Systèmes équivalents
Définition
Deux systèmes linéaires sont dits équivalents s'ils ont exactement les mêmes solutions. Autrement dit, toute solution de l'un est solution de l'autre, et réciproquement.
Propriété fondamentale
Si deux systèmes sont équivalents, ils ont la même solution. Cette propriété est à la base de toutes les méthodes de résolution : on transforme le système original en un système équivalent plus simple (par exemple triangulaire), puis on résout ce dernier.
Exemple
Le système :
est équivalent au système :
Ces deux systèmes ont la même solution, même s'ils semblent différents au premier abord.
Les trois opérations élémentaires
Les transformations suivantes, appliquées aux lignes d'une matrice (ou d'une matrice augmentée), produisent un système équivalent.
Opération 1 : Multiplication d'une ligne par une constante non nulle
On peut multiplier une ligne par un scalaire :
Exemple : Multiplier la première ligne par 2
Opération 2 : Permutation de deux lignes
On peut échanger deux lignes et :
Exemple : Permuter les lignes 2 et 3
Opération 3 : Combinaison linéaire de lignes
On peut ajouter à une ligne un multiple d'une autre ligne :
Exemple : Soustraire fois la ligne 1 à la ligne 2
Cette opération est la plus importante : c'est elle qui permet de créer des zéros dans la matrice.
Pourquoi ces opérations préservent-elles les solutions ?
- Opération 1 : Multiplier une équation par une constante non nulle ne change pas ses solutions.
- Opération 2 : Changer l'ordre des équations ne change pas l'ensemble des solutions.
- Opération 3 : Si satisfait les équations et , alors ce point satisfait aussi .
Implémentation algorithmique
Voici comment implémenter la substitution arrière en Python :
import numpy as np
def substitution_arriere(U, y):
"""
Résout le système triangulaire supérieur U.x = y
par substitution arrière.
Paramètres:
U : matrice triangulaire supérieure (n x n)
y : vecteur des seconds membres (n,)
Retourne:
x : vecteur solution (n,)
"""
n = len(y)
x = np.zeros(n)
# On part de la dernière équation et on remonte
for i in range(n - 1, -1, -1):
# Somme des termes déjà connus
somme = sum(U[i, j] * x[j] for j in range(i + 1, n))
# Calcul de x[i]
x[i] = (y[i] - somme) / U[i, i]
return x
# Exemple d'utilisation
U = np.array([[3, -1, 2],
[0, 7, -7],
[0, 0, 21]], dtype=float)
y = np.array([12, -21, 42], dtype=float)
x = substitution_arriere(U, y)
print(f"Solution : x = {x}")Résumé
Les concepts clés de cette leçon sont :
- Une matrice triangulaire supérieure a des zéros sous la diagonale ; une matrice triangulaire inférieure a des zéros au-dessus.
- Les systèmes triangulaires se résolvent efficacement par substitution :
- Substitution arrière pour les systèmes triangulaires supérieurs (de bas en haut)
- Substitution avant pour les systèmes triangulaires inférieurs (de haut en bas)
- La matrice augmentée regroupe coefficients et seconds membres.
- Deux systèmes sont équivalents s'ils ont les mêmes solutions.
- Les trois opérations élémentaires (multiplication par un scalaire, permutation, combinaison linéaire) transforment un système en un système équivalent.
Pour aller plus loin
Dans la prochaine leçon, nous verrons comment utiliser ces opérations élémentaires de manière systématique pour transformer n'importe quel système en un système triangulaire. C'est le principe de l'élimination de Gauss, l'une des méthodes les plus fondamentales en analyse numérique.