Rang, singularité et déterminants

Objectifs d'apprentissage

À la fin de cette leçon, vous serez en mesure de :

Déterminer le rang d'une matrice par réduction en échelon
Reconnaître une matrice singulière
Calculer un déterminant par cofacteurs et par factorisation LU
Comprendre le lien entre rang, déterminant et inversibilité
Interpréter géométriquement le déterminant

Prérequis

Élimination de Gauss
Factorisation LU

Le rang d'une matrice

Définition

Le rang d'une matrice $A$ est le nombre de pivots non nuls obtenus après réduction en forme échelon.

\text{rang}(A) = \text{nombre de lignes non nulles dans la forme échelon}

Propriétés du rang

Propriété	Formule
Rang maximal	$\text{rang}(A) \leq \min(m, n)$
Rang ligne = Rang colonne	$\text{rang}(A) = \text{rang}(A^T)$
Plein rang	$\text{rang}(A) = \min(m, n)$

Calcul du rang

rang_matrice.pypython

import numpy as np

def rang_matrice(A, tol=1e-10):
  """
  Calcule le rang d'une matrice par réduction en échelon.
  """
  U = A.astype(float).copy()
  m, n = U.shape
  rang = 0
  pivot_row = 0
  pivot_col = 0

  while pivot_row < m and pivot_col < n:
      # Chercher un pivot non nul dans la colonne
      max_idx = pivot_row + np.argmax(np.abs(U[pivot_row:, pivot_col]))

      if np.abs(U[max_idx, pivot_col]) < tol:
          pivot_col += 1  # colonne nulle : on garde la même ligne de pivot
          continue

      # Échanger les lignes
      U[[pivot_row, max_idx]] = U[[max_idx, pivot_row]]
      rang += 1

      # Élimination
      for i in range(pivot_row + 1, m):
          factor = U[i, pivot_col] / U[pivot_row, pivot_col]
          U[i, pivot_col:] -= factor * U[pivot_row, pivot_col:]

      pivot_row += 1
      pivot_col += 1

  return rang

# Exemples
A1 = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])  # rang 2
A2 = np.array([[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]])  # rang 3
A3 = np.array([[1, 2], [2, 4]])  # rang 1

print(f"rang(A1) = {rang_matrice(A1)}")
print(f"rang(A2) = {rang_matrice(A2)}")
print(f"rang(A3) = {rang_matrice(A3)}")

Matrices singulières

Définition

Une matrice carrée $A$ est singulière si elle n'est pas inversible.

🚨

Caractérisations équivalentes

Pour une matrice carrée $A$ de taille $n \times n$ , les propriétés suivantes sont équivalentes :

$A$ est singulière
$\det(A) = 0$
$\text{rang}(A) < n$
$A$ a au moins une valeur propre nulle
Il existe $x \neq 0$ tel que $A \cdot x = 0$
Les colonnes de $A$ sont linéairement dépendantes

Détection lors de l'élimination de Gauss

Une matrice est singulière si, même après pivotage, on rencontre un pivot nul :

detection_singularite.pypython

def est_singuliere(A, tol=1e-10):
  """
  Détecte si une matrice carrée est singulière.
  """
  n = len(A)
  return rang_matrice(A, tol) < n

Le déterminant

Définition récursive (cofacteurs)

Pour une matrice $n \times n$ :

\det(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{1+j} a_{1j} \det(A_{1j})

où $A_{1j}$ est la sous-matrice obtenue en supprimant la ligne 1 et la colonne $j$ .

Cas particuliers

Matrice 2×2 :

\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc

Matrice 3×3 (règle de Sarrus) :

\det\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh

Matrice triangulaire :

\det(A) = \prod_{i=1}^{n} a_{ii}

Propriétés du déterminant

Propriété	Formule
Produit	$\det(A \cdot B) = \det(A) \cdot \det(B)$
Transposée	$\det(A^T) = \det(A)$
Inverse	$\det(A^{-1}) = 1/\det(A)$
Scalaire	$\det(\lambda A) = \lambda^n \det(A)$

Effet des opérations élémentaires

Opération	Effet sur det(A)
Échanger deux lignes	Multiplie par $-1$
Multiplier une ligne par $\lambda$	Multiplie par $\lambda$
Ajouter un multiple d'une ligne à une autre	Ne change pas

Calcul efficace par factorisation LU

Méthode

Après factorisation $P \cdot A = L \cdot U$ :

\det(A) = (-1)^s \det(U) = (-1)^s \prod_{i=1}^{n} u_{ii}

où $s$ est le nombre d'échanges de lignes.

Comparaison des complexités

Méthode	Complexité
Cofacteurs (récursif)	$O(n!)$
Factorisation LU	$O(n^3/3)$

determinant.pypython

import numpy as np

def determinant(A):
  """
  Calcule le déterminant par factorisation LU avec pivotage.
  """
  n = len(A)
  U = A.astype(float).copy()
  swaps = 0

  for k in range(n - 1):
      # Pivotage partiel
      max_idx = k + np.argmax(np.abs(U[k:, k]))
      if max_idx != k:
          U[[k, max_idx]] = U[[max_idx, k]]
          swaps += 1

      if abs(U[k, k]) < 1e-12:
          return 0.0  # Matrice singulière

      # Élimination
      for i in range(k + 1, n):
          U[i, k:] -= (U[i, k] / U[k, k]) * U[k, k:]

  # Produit de la diagonale avec signe
  return ((-1) ** swaps) * np.prod(np.diag(U))

# Exemples
A1 = np.array([[2, 1], [1, 3]])
A2 = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])  # singulière

print(f"det(A1) = {determinant(A1)}")
print(f"det(A2) = {determinant(A2)}")

Interprétation géométrique

En 2D : aire signée

Le déterminant de deux vecteurs colonnes représente l'aire signée du parallélogramme qu'ils forment :

\det\begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{pmatrix} = \text{aire du parallélogramme formé par } \vec{a} \text{ et } \vec{b}

Positif : orientation directe
Négatif : orientation inverse
Nul : vecteurs colinéaires (aire nulle)

En 3D : volume signé

Le déterminant de trois vecteurs représente le volume signé du parallélépipède.

En général

Le déterminant mesure comment une transformation linéaire dilate ou contracte les volumes.

Résumé

Concept	Définition	Calcul
Rang	Nombre de pivots non nuls	Réduction en échelon
Singularité	det = 0, rang < n	Pivot nul après pivotage
Déterminant	Facteur de dilatation	Produit diagonale de U

8 propriétés équivalentes pour A inversible :

$\det(A) \neq 0$
$\text{rang}(A) = n$
$A^{-1}$ existe
$A \cdot x = b$ a une solution unique pour tout $b$
$A \cdot x = 0$ implique $x = 0$
Les colonnes de $A$ sont linéairement indépendantes
Les lignes de $A$ sont linéairement indépendantes
$A$ a $n$ pivots non nuls

Pour aller plus loin

La prochaine leçon expliquera comment inverser une matrice et quand cette opération est pertinente.