Annexe B — Exemples détaillés de pivotage

Cette annexe présente deux exemples complets de pivotage : le pivotage complet (lignes et colonnes) et le pivotage partiel (lignes seulement). Ces exemples illustrent l'importance du pivotage pour la stabilité numérique.

Exemple 1 : Pivotage complet

Le pivotage complet consiste à échanger à la fois des lignes et des colonnes pour placer le plus grand élément (en valeur absolue) de la sous-matrice restante en position de pivot.

Système initial

Considérons le système avec :

Matrice augmentée initiale :

Étape 1 : Recherche du pivot maximal

On cherche l'élément de plus grande valeur absolue dans toute la matrice :

Le maximum est en position .

Pour amener cet élément en position , on effectue :

• Échange de lignes : (pas nécessaire, déjà en ligne 1)
• Échange de colonnes :

Après l'échange :

Ordre des inconnues :

Étape 2 : Élimination sous le pivot

Maintenant on élimine les éléments sous le pivot :

Multiplicateurs :

Opérations :

Après élimination (première colonne) :

Étape 3 : Deuxième pivot

On cherche le maximum dans la sous-matrice restante (lignes 2-3, colonnes 2-3) :

Pour amener en position :

• Échange de lignes :
• Échange de colonnes :

Après les échanges :

Ordre des inconnues :

Étape 4 : Dernière élimination

Multiplicateur :

Opération :

Matrice triangulaire finale :

Étape 5 : Substitution arrière

On résout le système triangulaire :

Rappel : L'ordre des inconnues est , donc :

• La première composante calculée est
• La deuxième est
• La troisième est

Solution finale (remise dans l'ordre original ) :

Exemple 2 : Impact du pivotage sur la précision

Cet exemple montre comment le pivotage partiel améliore drastiquement la précision des calculs en arithmétique à précision finie.

Contexte

Considérons un système flottant avec base et chiffres significatifs. À chaque opération, le résultat est arrondi à 4 chiffres.

Système initial

La solution exacte est .

Méthode 1 : Sans pivotage

On utilise directement comme premier pivot.

Problème : Ce pivot est très petit ! Les multiplicateurs seront énormes :

Élimination (avec arrondi à 4 chiffres) :

:

• → arrondi :
• → arrondi :
• → arrondi :

Matrice triangulaire (après arrondi) :

Substitution arrière :

Solution sans pivotage :

Méthode 2 : Avec pivotage partiel

On cherche le plus grand élément (en valeur absolue) dans la première colonne :

Échange :

Après échange :

Multiplicateurs (maintenant raisonnables) :

Élimination (première colonne) :

Après élimination et arrondi à 4 chiffres :

Deuxième pivot : On cherche le max dans la colonne 2 (lignes 2-3) :

• Ligne 2 : ← maximum
• Ligne 3 :

Pas d'échange nécessaire.

Élimination (deuxième colonne) :

Matrice triangulaire finale :

Substitution arrière :

Solution avec pivotage :

Comparaison des résultats

Pourquoi le pivotage fonctionne-t-il ?

Le problème des petits pivots

Quand le pivot est très petit par rapport aux autres éléments :

1. Multiplicateurs énormes : devient très grand
2. Amplification des erreurs d'arrondi : Multiplier par un grand nombre amplifie les erreurs
3. Perte de chiffres significatifs : Les petites quantités sont « absorbées » par les grandes

La solution du pivotage

En choisissant le plus grand pivot possible :

1. Multiplicateurs bornés : avec le pivotage partiel
2. Erreurs contrôlées : Les erreurs d'arrondi ne sont pas amplifiées
3. Stabilité numérique : Le conditionnement effectif reste raisonnable

Résumé

À retenir : Le pivotage partiel est toujours utilisé en pratique. Son coût est négligeable par rapport au gain en stabilité numérique. Les bibliothèques comme NumPy (np.linalg.solve) et LAPACK l'utilisent systématiquement.