Introduction à l'interpolation et méthode de collocation

Objectifs d'apprentissage

À la fin de cette leçon, vous serez en mesure de :

Expliquer la différence entre interpolation et extrapolation
Comprendre le principe de la méthode de collocation
Énoncer et démontrer le théorème d'unicité du polynôme de collocation
Identifier les applications pratiques de l'interpolation

Prérequis

Notions de base sur les polynômes
Propriétés des fonctions continues

Motivation : pourquoi interpoler ?

Dans de nombreuses applications scientifiques et techniques, nous disposons de mesures expérimentales ou de données tabulées en certains points, mais nous avons besoin d'estimer la valeur de la fonction en d'autres points.

Exemple concret : trajectoire d'une fusée

Considérons le problème suivant : une fusée est suivie par radar, et sa position est mesurée à intervalles réguliers. Entre deux mesures, nous devons estimer sa position pour assurer un suivi continu.

Enregistrements de la trajectoire d'une fusée

Temps (ms)	Altitude (km)
0	0
100	5.2
200	18.1
300	38.5
400	65.3

Question : Quelle est l'altitude à $t = 150ms$ ?

Ce problème est un exemple typique d'interpolation : trouver une valeur entre des points connus.

Interpolation vs extrapolation

Définitions

💡

Interpolation

L'interpolation consiste à estimer la valeur d'une fonction en un point situé à l'intérieur de l'intervalle défini par les données connues.

⚠️

Extrapolation

L'extrapolation consiste à estimer la valeur d'une fonction en un point situé à l'extérieur de l'intervalle des données connues. Cette opération est généralement moins fiable et plus risquée.

Illustration

Si nous avons des données pour $x \in [a, b]$ :

Calculer $f(c)$ avec $a < c < b$ est une interpolation
Calculer $f(d)$ avec $d < a$ ou $d > b$ est une extrapolation

🚨

Attention à l'extrapolation

L'extrapolation peut conduire à des erreurs importantes car le comportement de la fonction en dehors de l'intervalle des données est inconnu. Une tendance observée sur l'intervalle peut ne pas se poursuivre au-delà.

Le principe de collocation

Idée fondamentale

La méthode de collocation consiste à construire un polynôme qui passe exactement par tous les points de données. Ce polynôme est appelé polynôme d'interpolation ou polynôme de collocation.

Observation clé

2 points déterminent une droite unique (polynôme de degré 1)
3 points (non alignés) déterminent une parabole unique (polynôme de degré 2)
n+1 points déterminent un polynôme de degré n unique

Formulation mathématique

Soit $n+1$ points de données $(x_0, f_0), (x_1, f_1), \ldots, (x_n, f_n)$ avec des abscisses $x_i$ distinctes.

On cherche un polynôme $P_n(x)$ de degré au plus $n$ tel que :

P_n(x_i) = f_i \quad \text{pour } i = 0, 1, \ldots, n

Ces $n+1$ conditions sont appelées conditions de collocation.

Exemple : interpolation linéaire

Considérons deux points $(x_0, f_0)$ et $(x_1, f_1)$ .

Le polynôme de collocation de degré 1 est la droite passant par ces deux points :

P_1(x) = f_0 + \frac{f_1 - f_0}{x_1 - x_0}(x - x_0)

Exemple numérique

Soit les points $(1, 2)$ et $(4, 0.5)$ .

P_1(x) = 2 + \frac{0.5 - 2}{4 - 1}(x - 1) = 2 - \frac{1.5}{3}(x - 1) = 2 - 0.5(x - 1)

Donc :

P_1(x) = -0.5x + 2.5

Vérification :

$P_1(1) = -0.5(1) + 2.5 = 2 \quad \checkmark$
$P_1(4) = -0.5(4) + 2.5 = 0.5 \quad \checkmark$

Exemple : interpolation quadratique

Avec trois points $(x_0, f_0), (x_1, f_1), (x_2, f_2)$ , on cherche un polynôme de degré 2 :

P_2(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2

Les conditions de collocation donnent un système de 3 équations à 3 inconnues :

\begin{cases} a_0 + a_1 x_0 + a_2 x_0^2 = f_0 \\ a_0 + a_1 x_1 + a_2 x_1^2 = f_1 \\ a_0 + a_1 x_2 + a_2 x_2^2 = f_2 \end{cases}

Exemple numérique

Soit les points $(0, 1), (1, 1), (2, 2)$ .

Le système devient :

\begin{cases} a_0 = 1 \\ a_0 + a_1 + a_2 = 1 \\ a_0 + 2a_1 + 4a_2 = 2 \end{cases}

De la première équation : $a_0 = 1$

De la deuxième : $a_1 + a_2 = 0$

De la troisième : $2a_1 + 4a_2 = 1$

En résolvant : $a_2 = 0.5$ et $a_1 = -0.5$

Donc :

P_2(x) = 1 - 0.5x + 0.5x^2 = \frac{1}{2}(x^2 - x + 2)

Théorème d'existence et d'unicité

💡

Théorème fondamental

Soit $n+1$ points $(x_0, f_0), (x_1, f_1), \ldots, (x_n, f_n)$ avec des abscisses $x_i$ distinctes. Il existe un unique polynôme $P_n(x)$ de degré au plus $n$ tel que $P_n(x_i) = f_i$ pour tout $i = 0, 1, \ldots, n$ .

Ce théorème comporte deux parties : l'existence (il existe un tel polynôme) et l'unicité (il n'y en a qu'un seul). Démontrons chacune séparément.

Démonstration de l'existence

Pour montrer qu'un polynôme de collocation existe, nous allons montrer que le système linéaire correspondant admet une solution. L'idée est de vérifier que la matrice de Vandermonde associée est inversible.

Formulation matricielle : Un polynôme de degré au plus $n$ s'écrit :

P_n(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n

Les $n+1$ conditions de collocation $P_n(x_i) = f_i$ donnent le système :

\begin{pmatrix} 1 & x_0 & x_0^2 & \cdots & x_0^n \\ 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f_0 \\ f_1 \\ \vdots \\ f_n \end{pmatrix}

Cette matrice $V$ est appelée matrice de Vandermonde. Le système admet une solution unique si et seulement si $\det(V) \neq 0$ .

Cas parabolique ( $n = 2$ ) : Illustrons le calcul avec 3 points. La matrice est :

V = \begin{pmatrix} 1 & x_0 & x_0^2 \\ 1 & x_1 & x_1^2 \\ 1 & x_2 & x_2^2 \end{pmatrix}

Calculons son déterminant en soustrayant la première ligne aux autres :

\det(V) = \det\begin{pmatrix} 1 & x_0 & x_0^2 \\ 0 & x_1 - x_0 & x_1^2 - x_0^2 \\ 0 & x_2 - x_0 & x_2^2 - x_0^2 \end{pmatrix}

En développant selon la première colonne, puis en factorisant :

\det(V) = (x_1 - x_0)(x_2^2 - x_0^2) - (x_2 - x_0)(x_1^2 - x_0^2)

Utilisons l'identité $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ :

\det(V) = (x_1 - x_0)(x_2 - x_0)(x_2 + x_0) - (x_2 - x_0)(x_1 - x_0)(x_1 + x_0)

\det(V) = (x_1 - x_0)(x_2 - x_0)[(x_2 + x_0) - (x_1 + x_0)]

\det(V) = (x_1 - x_0)(x_2 - x_0)(x_2 - x_1)

Cas général : On peut montrer que le déterminant de Vandermonde pour $n+1$ points est :

\det(V) = \prod_{0 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i)

C'est le produit de toutes les différences $(x_j - x_i)$ pour $j > i$ .

✅

Conclusion sur l'existence

Si toutes les abscisses $x_i$ sont distinctes, alors chaque facteur $(x_j - x_i)$ est non nul, donc $\det(V) \neq 0$ . La matrice $V$ est inversible, et le système admet une unique solution. Le polynôme de collocation existe.

Démonstration de l'unicité

Nous allons démontrer l'unicité par raisonnement par l'absurde. Cette technique consiste à supposer que la conclusion est fausse, puis à montrer que cette supposition mène à une contradiction.

Hypothèse (par l'absurde) : Supposons qu'il existe deux polynômes distincts, $P_n(x)$ et $Q_n(x)$ , tous deux de degré au plus $n$ , qui satisfont les mêmes conditions de collocation :

P_n(x_i) = f_i \quad \text{et} \quad Q_n(x_i) = f_i \quad \text{pour tout } i = 0, 1, \ldots, n

Étape 1 : Construction du polynôme différence

Définissons un nouveau polynôme $D(x)$ comme la différence des deux :

D(x) = P_n(x) - Q_n(x)

Puisque $P_n(x)$ et $Q_n(x)$ sont tous deux de degré au plus $n$ , leur différence $D(x)$ est également un polynôme de degré au plus $n$ . (En effet, lorsqu'on soustrait deux polynômes, le degré du résultat ne peut pas excéder le degré maximal des deux polynômes.)

Étape 2 : Identification des racines de D(x)

Évaluons $D(x)$ en chacun des points de collocation $x_0, x_1, \ldots, x_n$ :

D(x_i) = P_n(x_i) - Q_n(x_i) = f_i - f_i = 0 \quad \text{pour tout } i = 0, 1, \ldots, n

Cela signifie que chaque $x_i$ est une racine (ou zéro) du polynôme $D(x)$ . Puisque les abscisses $x_0, x_1, \ldots, x_n$ sont distinctes par hypothèse, le polynôme $D(x)$ possède donc au moins $n+1$ racines distinctes.

Étape 3 : Application du théorème fondamental de l'algèbre

Rappelons un résultat fondamental de l'algèbre des polynômes :

💡

Théorème (nombre maximal de racines)

Un polynôme non nul de degré $d$ possède au plus $d$ racines (comptées avec multiplicité).

Ce théorème découle du fait qu'un polynôme de degré $d$ peut s'écrire sous forme factorisée avec au plus $d$ facteurs linéaires.

Appliquons ce résultat à notre polynôme $D(x)$ :

$D(x)$ est de degré au plus $n$
Or, $D(x)$ possède $n+1$ racines distinctes

Si $D(x)$ était un polynôme non nul de degré $d \leq n$ , il pourrait avoir au plus $d \leq n$ racines. Mais nous venons de montrer qu'il en possède $n+1$ . C'est une contradiction !

Étape 4 : Conclusion

La seule façon de résoudre cette contradiction est que $D(x)$ soit le polynôme nul, c'est-à-dire :

D(x) \equiv 0 \quad \text{pour tout } x

En effet, le polynôme nul (qui est de degré $-\infty$ par convention, ou considéré comme n'ayant pas de degré) possède une infinité de racines — tout nombre réel est racine de $0$ .

Par conséquent :

P_n(x) - Q_n(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad P_n(x) = Q_n(x) \quad \text{pour tout } x

Les deux polynômes sont identiques, ce qui contredit notre hypothèse initiale qu'ils étaient distincts.

✅

Conclusion

Il ne peut pas exister deux polynômes distincts de degré au plus $n$ satisfaisant les $n+1$ conditions de collocation. Le polynôme de collocation est donc unique.

Applications de l'interpolation

L'interpolation polynomiale intervient dans de nombreux domaines :

Domaine	Application
Infographie	Lissage de courbes, animation
Traitement du signal	Reconstruction de signaux échantillonnés
Calcul numérique	Intégration, dérivation numérique
Géodésie	Modélisation du terrain
Finance	Courbes de taux d'intérêt
Météorologie	Interpolation spatiale des mesures

Résumé

Dans cette leçon, nous avons établi les fondements de l'interpolation polynomiale :

L'interpolation estime des valeurs entre les points connus, tandis que l'extrapolation (plus risquée) estime en dehors
La méthode de collocation construit un polynôme passant exactement par tous les points de données
Avec $n+1$ points à abscisses distinctes, il existe un unique polynôme de degré au plus $n$ satisfaisant les conditions de collocation
Le théorème d'unicité se démontre par l'absurde : la différence de deux solutions aurait trop de racines

Pour aller plus loin

Dans la prochaine leçon, nous étudierons la formule de Lagrange, une méthode élégante pour construire explicitement le polynôme de collocation sans avoir à résoudre un système d'équations linéaires.