Splines cubiques — Principe et construction

Objectifs d'apprentissage

À la fin de cette leçon, vous serez en mesure de :

• Comprendre l'origine physique des splines (ruban flexible)
• Écrire la forme générale d'un polynôme cubique par morceaux
• Établir les conditions de continuité pour $f$, $f'$ et $f''$
• Dériver le système d'équations pour les dérivées secondes $S_i$

Prérequis

• Interpolation polynomiale
• Notion de continuité et dérivabilité
• Résolution de systèmes linéaires

Motivation : dépasser les limites des polynômes

Le problème

Nous avons vu que l'interpolation polynomiale de Lagrange ou Newton-Gregory fonctionne bien avec peu de points. Mais dès que le nombre de points augmente, le degré du polynôme augmente aussi — et avec lui les oscillations parasites (phénomène de Runge). Ajouter des points pour mieux coller aux données empire souvent le résultat.

L'idée des splines

La solution est simple : au lieu d'un seul polynôme de degré élevé, utiliser plusieurs polynômes de degré faible raccordés entre eux. Chaque morceau reste un polynôme cubique (degré 3), ce qui suffit pour avoir une courbe lisse sans oscillation.

Le terme « spline » vient de l'outil des dessinateurs : une lame flexible (ruban de bois ou de métal) que l'on fait passer par des points de contrôle. La forme naturelle de cette lame minimise l'énergie de flexion, ce qui correspond mathématiquement à une spline cubique.

Définition d'une spline cubique

Structure

Une spline cubique sur $n$ points $(x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_n, y_n)$ est constituée de $n-1$ polynômes cubiques :

où $Q_i(x)$ est défini sur l'intervalle $[x_i, x_{i+1}]$.

Forme des polynômes

Chaque polynôme $Q_i(x)$ s'écrit sous la forme :

Cette forme est choisie pour simplifier les calculs aux points de raccord.

Nombre d'inconnues

Chaque polynôme a 4 coefficients : $a_i, b_i, c_i, d_i$.

Pour $n-1$ polynômes, on a donc $4(n-1)$ inconnues à déterminer.

Les conditions de raccord

Continuité de la fonction (Condition 1)

La spline doit passer par tous les points de données :

pour $i = 1, 2, \ldots, n-1$.

Cela donne $2(n-1)$ équations.

Continuité de la dérivée première (Condition 2)

Aux points intérieurs, les dérivées à gauche et à droite doivent coïncider :

pour $i = 1, 2, \ldots, n-2$.

Cela donne $n-2$ équations.

Continuité de la dérivée seconde (Condition 3)

De même pour les dérivées secondes :

pour $i = 1, 2, \ldots, n-2$.

Cela donne encore $n-2$ équations.

Bilan des équations

On a $4(n-1) = 4n - 4$ inconnues et $4n - 6$ équations.

Il manque 2 équations pour déterminer uniquement la spline. Ces équations supplémentaires sont les conditions aux frontières, que nous étudierons dans la prochaine leçon.

Notation et dérivation

Introduction des dérivées secondes

Posons $S_i = Q''_i(x_i)$, la dérivée seconde au point $x_i$.

Puisque $Q_i(x)$ est cubique, $Q''_i(x)$ est linéaire :

où $h_i = x_{i+1} - x_i$ est le pas sur l'intervalle $[x_i, x_{i+1}]$.

Relation avec les coefficients

En comparant avec $Q_i(x) = a_i(x-x_i)^3 + b_i(x-x_i)^2 + c_i(x-x_i) + d_i$ :

En $x = x_i$ : $Q''_i(x_i) = 2b_i = S_i$, donc :

En $x = x_{i+1}$ : $Q''_i(x_{i+1}) = 6a_i h_i + 2b_i = S_{i+1}$, donc :

Calcul des autres coefficients

Coefficient $d_i$

La condition $Q_i(x_i) = y_i$ donne immédiatement :

Coefficient $c_i$

La condition $Q_i(x_{i+1}) = y_{i+1}$ permet de trouver $c_i$.

En développant :

On isole $c_i$ :

Résumé des coefficients

Le système pour les $S_i$

Condition de continuité de $f'$

On veut que la pente soit continue à chaque nœud intérieur : le polynôme $Q_i$ qui arrive au nœud $x_{i+1}$ doit avoir la même pente que le polynôme $Q_{i+1}$ qui en repart. Formellement :

Calculons chaque côté séparément.

Pente à gauche — On dérive $Q_i(x) = a_i(x-x_i)^3 + b_i(x-x_i)^2 + c_i(x-x_i) + d_i$ :

On évalue à $x = x_{i+1}$, c'est-à-dire avec $(x-x_i) = h_i$ :

Pente à droite — Le polynôme $Q_{i+1}$ est évalué à son point de départ $x_{i+1}$, donc $(x - x_{i+1}) = 0$ :

Substitution des coefficients

On remplace maintenant $a_i$, $b_i$, $c_i$ et $c_{i+1}$ par leurs expressions en fonction des $S_i$ (trouvées plus haut) :

La condition $Q'_i(x_{i+1}) = c_{i+1}$ devient :

Simplification étape par étape

Étape 1 — Simplifions le premier terme :

Étape 2 — Le deuxième terme : $2 \cdot \frac{S_i}{2} \cdot h_i = h_i S_i$

Étape 3 — Regroupons les termes en $S_i$, $S_{i+1}$ et $S_{i+2}$ du côté gauche :

Étape 4 — En regroupant par variable :

• Termes en $S_i$ : $-\frac{h_i}{2} + h_i - \frac{h_i}{3} = \frac{h_i}{6}$
• Termes en $S_{i+1}$ : $\frac{h_i}{2} - \frac{h_i}{6} + \frac{h_{i+1}}{3} = \frac{h_i}{3} + \frac{h_{i+1}}{3} = \frac{2(h_i + h_{i+1})}{6}$
• Termes en $S_{i+2}$ : $\frac{h_{i+1}}{6}$

Équation de raccord finale

En multipliant tout par 6, on obtient l'équation fondamentale :

pour $i = 1, 2, \ldots, n-2$.

Le terme de droite représente 6 fois la différence des pentes entre les segments adjacents. Si les données étaient sur une droite, ce terme serait nul et on aurait $S_i = 0$ partout — courbure nulle, pas de flexion.

Structure du système

De l'équation au système

L'équation de raccord fait intervenir trois $S$ consécutifs :

où on note le second membre :

Les $r_{i+1}$ se calculent directement à partir des données $(x_i, y_i)$ — ce sont des constantes connues.

En écrivant cette équation pour $i = 1, 2, \ldots, n-2$, on obtient $n-2$ équations. Mais les inconnues sont $S_1, S_2, \ldots, S_n$ (soit $n$ inconnues). Les valeurs $S_1$ et $S_n$ aux extrémités seront fixées par les conditions frontières (leçon suivante). Pour l'instant, on les traite comme des paramètres connus et on résout pour les $S$ intérieurs $S_2, S_3, \ldots, S_{n-1}$.

Écriture détaillée des équations

Écrivons explicitement les premières et dernières équations pour comprendre la structure.

Première équation ($i = 1$) :

On déplace le terme en $S_1$ vers le second membre :

Deuxième équation ($i = 2$) — ici $S_2$, $S_3$, $S_4$ sont tous des inconnues intérieures :

Pas de terme à déplacer : le second membre reste $r_3$ tel quel.

Dernière équation ($i = n-2$) :

On déplace $S_n$ :

Système tridiagonal

Seules la première et la dernière ligne ont un second membre modifié (par les conditions aux bords). Les lignes intermédiaires gardent simplement $r_i$. Le système complet s'écrit :

Chaque équation ne fait intervenir que 3 inconnues consécutives ($S_{i}, S_{i+1}, S_{i+2}$). La matrice n'a de valeurs non nulles que sur la diagonale principale et les deux diagonales adjacentes — d'où le nom tridiagonal. Cette structure permettra une résolution très efficace en $O(n)$ (algorithme de Thomas, leçon suivante).

Cas du pas constant

Si $h_i = h$ pour tout $i$, les coefficients se simplifient. La diagonale principale vaut $2(h + h) = 4h$ et les sous/sur-diagonales valent $h$. En divisant chaque ligne par $h$ :

La matrice devient :

Cette matrice est symétrique définie positive (la diagonale domine strictement : $4 > 1 + 1$). Cela garantit l'existence et l'unicité de la solution, ainsi que la stabilité numérique de l'algorithme de résolution.

Interprétation physique

La spline comme ruban flexible

Physiquement, la spline cubique minimise l'énergie de flexion :

Cette propriété explique pourquoi :

1. La dérivée seconde représente la courbure
2. La continuité de $f''$ assure une flexion sans à-coup
3. Les conditions aux bords influencent le comportement global

Avantages des splines cubiques

Algorithme de construction

import numpy as np

def calculer_coefficients_spline(x, y, S):
  """
  Calcule les coefficients a, b, c, d de chaque polynôme cubique
  à partir des dérivées secondes S aux noeuds.

  Paramètres:
      x : abscisses des noeuds (n points)
      y : ordonnées des noeuds
      S : dérivées secondes aux noeuds

  Retourne:
      a, b, c, d : tableaux des coefficients (n-1 valeurs chacun)
  """
  n = len(x)
  h = np.diff(x)  # h[i] = x[i+1] - x[i]

  a = np.zeros(n - 1)
  b = np.zeros(n - 1)
  c = np.zeros(n - 1)
  d = np.zeros(n - 1)

  for i in range(n - 1):
      a[i] = (S[i + 1] - S[i]) / (6 * h[i])
      b[i] = S[i] / 2
      c[i] = (y[i + 1] - y[i]) / h[i] - h[i] * (S[i + 1] + 2 * S[i]) / 6
      d[i] = y[i]

  return a, b, c, d

def evaluer_spline(x_data, a, b, c, d, x):
  """
  Évalue la spline au point x.

  Paramètres:
      x_data : abscisses des noeuds
      a, b, c, d : coefficients des polynômes
      x : point d'évaluation

  Retourne:
      valeur de la spline en x
  """
  # Trouver l'intervalle contenant x
  n = len(x_data)
  for i in range(n - 1):
      if x_data[i] <= x <= x_data[i + 1]:
          dx = x - x_data[i]
          return a[i] * dx**3 + b[i] * dx**2 + c[i] * dx + d[i]

  # Extrapolation (à éviter en général)
  if x < x_data[0]:
      dx = x - x_data[0]
      return a[0] * dx**3 + b[0] * dx**2 + c[0] * dx + d[0]
  else:
      dx = x - x_data[-2]
      return a[-1] * dx**3 + b[-1] * dx**2 + c[-1] * dx + d[-1]

# Exemple d'utilisation (les S seront calculés dans la prochaine leçon)
x = np.array([1, 2, 3, 4])
y = np.array([4, -2, 3, 1])

# Pour l'instant, supposons S connu (spline naturelle, exemple)
S = np.array([0, 20.4, -15.6, 0])

a, b, c, d = calculer_coefficients_spline(x, y, S)

print("Coefficients des polynômes cubiques :")
for i in range(len(a)):
  print(f"  Q_{i+1}(x) : a={a[i]:.2f}, b={b[i]:.2f}, c={c[i]:.2f}, d={d[i]:.2f}")

Résumé

Dans cette leçon, nous avons établi les fondements des splines cubiques :

• Une spline cubique est constituée de $n-1$ polynômes cubiques raccordés
• Chaque polynôme a la forme $Q_i(x) = a_i(x-x_i)^3 + b_i(x-x_i)^2 + c_i(x-x_i) + d_i$
• Les conditions de continuité de $f$, $f'$ et $f''$ fournissent $4n-6$ équations
• Les coefficients s'expriment en fonction des dérivées secondes $S_i$ aux nœuds
• Le système pour les $S_i$ est tridiagonal et se résout en $O(n)$

Pour aller plus loin

La prochaine leçon présentera les différentes conditions aux frontières qui complètent le système : splines naturelles, paraboliques, et à pentes imposées. Nous verrons également l'algorithme complet de résolution.