Courbes de Bézier

Objectifs d'apprentissage

À la fin de cette leçon, vous serez en mesure de :

Comprendre l'origine et l'utilité des courbes de Bézier en CAO
Construire les polynômes de Bernstein
Tracer une courbe de Bézier cubique à partir de 4 points de contrôle
Identifier les propriétés géométriques des courbes de Bézier
Utiliser la représentation matricielle pour l'évaluation

Prérequis

Interpolation polynomiale
Courbes paramétriques
Multiplication matricielle

Contexte historique

L'industrie automobile et la CAO

Dans les années 1960, l'industrie automobile cherchait des moyens de représenter mathématiquement les carrosseries de voitures pour permettre leur conception assistée par ordinateur.

Pierre Bézier, ingénieur chez Renault, a développé un système révolutionnaire permettant aux designers de créer des courbes lisses en manipulant quelques points de contrôle.

💡

Avantage des courbes de Bézier

Contrairement à l'interpolation classique où le polynôme passe par tous les points, les courbes de Bézier permettent aux designers de sculpter une courbe en déplaçant des points de contrôle. La courbe est « attirée » vers ces points sans nécessairement les toucher.

Les polynômes de Bernstein

Définition

Les polynômes de Bernstein de degré $n$ sont définis par :

B_{i,n}(u) = \binom{n}{i} u^i (1-u)^{n-i}, \quad i = 0, 1, \ldots, n

où $u \in [0, 1]$ est le paramètre de la courbe.

Cas cubique (n = 3)

Pour les courbes de Bézier cubiques (les plus utilisées), les 4 polynômes de Bernstein sont :

B_{0,3}(u) = (1-u)^3

B_{1,3}(u) = 3u(1-u)^2

B_{2,3}(u) = 3u^2(1-u)

B_{3,3}(u) = u^3

Propriétés fondamentales

Propriété	Formule
Partition de l'unité	$\sum_{i=0}^{n} B_{i,n}(u) = 1$ pour tout $u$
Non-négativité	$B_{i,n}(u) \geq 0$ pour $u \in [0, 1]$
Valeurs aux extrémités	$B_{0,n}(0) = 1$ , $B_{n,n}(1) = 1$
Symétrie	$B_{i,n}(u) = B_{n-i,n}(1-u)$

Définition d'une courbe de Bézier

Formulation paramétrique

Une courbe de Bézier de degré $n$ est définie par $n+1$ points de contrôle $P_0, P_1, \ldots, P_n$ :

\mathbf{C}(u) = \sum_{i=0}^{n} P_i \cdot B_{i,n}(u), \quad u \in [0, 1]

Cas cubique détaillé

Pour 4 points de contrôle $P_0, P_1, P_2, P_3$ :

\mathbf{C}(u) = P_0(1-u)^3 + P_1 \cdot 3u(1-u)^2 + P_2 \cdot 3u^2(1-u) + P_3 u^3

En coordonnées :

x(u) = x_0(1-u)^3 + 3x_1 u(1-u)^2 + 3x_2 u^2(1-u) + x_3 u^3

y(u) = y_0(1-u)^3 + 3y_1 u(1-u)^2 + 3y_2 u^2(1-u) + y_3 u^3

Propriétés géométriques

Passage par les extrémités

La courbe passe par le premier et le dernier point de contrôle :

\mathbf{C}(0) = P_0 \quad \text{et} \quad \mathbf{C}(1) = P_n

Les points intermédiaires $P_1, \ldots, P_{n-1}$ « attirent » la courbe mais ne sont généralement pas sur la courbe.

Tangentes aux extrémités

La tangente en $u = 0$ est dirigée vers $P_1$ :

\mathbf{C}'(0) = n(P_1 - P_0)

La tangente en $u = 1$ est dirigée depuis $P_{n-1}$ :

\mathbf{C}'(1) = n(P_n - P_{n-1})

Pour une courbe cubique :

\frac{dy}{dx}\bigg|_{u=0} = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}

\frac{dy}{dx}\bigg|_{u=1} = \frac{y_3 - y_2}{x_3 - x_2}

Enveloppe convexe

La courbe de Bézier est entièrement contenue dans l'enveloppe convexe de ses points de contrôle.

✅

Contrôle intuitif

Cette propriété garantit que la courbe ne s'éloigne jamais « trop » des points de contrôle. Les designers peuvent ainsi prédire approximativement où passera la courbe.

Invariance affine

Les transformations affines (translation, rotation, mise à l'échelle) peuvent être appliquées directement aux points de contrôle.

Représentation matricielle

Forme matricielle

La courbe de Bézier cubique peut s'écrire :

\mathbf{C}(u) = \mathbf{U} \cdot M_{Bez} \cdot \mathbf{P}

où :

\mathbf{U} = \begin{pmatrix} u^3 & u^2 & u & 1 \end{pmatrix}

M_{Bez} = \begin{pmatrix} -1 & 3 & -3 & 1 \\ 3 & -6 & 3 & 0 \\ -3 & 3 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

\mathbf{P} = \begin{pmatrix} P_0 \\ P_1 \\ P_2 \\ P_3 \end{pmatrix}

Vérification

Développons le produit pour $u = 0$ :

\mathbf{U} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

\mathbf{U} \cdot M_{Bez} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Donc $\mathbf{C}(0) = P_0 \quad \checkmark$

Exemple numérique

Points de contrôle

Point	x	y
$P_0$	0	0
$P_1$	1	2
$P_2$	3	2
$P_3$	4	0

Calcul en u = 0.5

B_{0,3}(0.5) = (0.5)^3 = 0.125

B_{1,3}(0.5) = 3 \times 0.5 \times (0.5)^2 = 0.375

B_{2,3}(0.5) = 3 \times (0.5)^2 \times 0.5 = 0.375

B_{3,3}(0.5) = (0.5)^3 = 0.125

x(0.5) = 0 \times 0.125 + 1 \times 0.375 + 3 \times 0.375 + 4 \times 0.125 = 2.0

y(0.5) = 0 \times 0.125 + 2 \times 0.375 + 2 \times 0.375 + 0 \times 0.125 = 1.5

Le point milieu de la courbe est donc $(2.0, 1.5)$ .

Raccordement de courbes

Continuité C⁰

Deux courbes sont raccordées en $C^0$ si elles partagent un point :

P_3^{(1)} = P_0^{(2)}

Continuité C¹

Pour une continuité de la tangente, les trois points $P_2^{(1)}, P_3^{(1)} = P_0^{(2)}, P_1^{(2)}$ doivent être alignés :

P_3^{(1)} - P_2^{(1)} = P_1^{(2)} - P_0^{(2)}

Cette égalité vient de $\mathbf{C}_1'(1) = 3(P_3^{(1)} - P_2^{(1)})$ et $\mathbf{C}_2'(0) = 3(P_1^{(2)} - P_0^{(2)})$ : les deux vecteurs dérivés doivent coïncider, pas seulement être parallèles. Avec $P_3^{(1)} = P_0^{(2)}$ , cela revient à dire que le point de jonction est le milieu de $P_2^{(1)}$ et $P_1^{(2)}$ .

Continuité G¹

Si on demande seulement la même direction (pas la même magnitude), on parle de continuité géométrique $G^1$ :

P_3^{(1)} - P_2^{(1)} = \alpha(P_1^{(2)} - P_0^{(2)}), \quad \alpha > 0

L'alignement des trois points suffit alors, avec $\alpha > 0$ pour garder le même sens. La continuité $C^1$ est le cas particulier $\alpha = 1$ .

Courbes de Bézier fermées

Construction

Pour créer une courbe fermée, on peut joindre plusieurs segments de Bézier en boucle, en assurant la continuité $C^1$ au point de fermeture.

Extension aux surfaces

Surfaces de Bézier

Une surface de Bézier bicubique est définie par une grille de $4 \times 4 = 16$ points de contrôle :

\mathbf{S}(u, v) = \sum_{i=0}^{3} \sum_{j=0}^{3} P_{ij} \cdot B_{i,3}(u) \cdot B_{j,3}(v)

où $u, v \in [0, 1]$ .

Cette formulation est très utilisée en modélisation 3D.

Algorithme Python

bezier.pypython

import numpy as np

def bernstein(n, i, u):
  """
  Calcule le polynôme de Bernstein B_{i,n}(u).
  """
  from math import comb
  return comb(n, i) * (u ** i) * ((1 - u) ** (n - i))

def bezier_curve(control_points, num_points=100):
  """
  Génère une courbe de Bézier.

  Paramètres:
      control_points : liste de points [(x0,y0), (x1,y1), ...]
      num_points : nombre de points à générer

  Retourne:
      points : tableau (num_points, 2) des coordonnées
  """
  P = np.array(control_points)
  n = len(P) - 1

  u_values = np.linspace(0, 1, num_points)
  curve = np.zeros((num_points, 2))

  for k, u in enumerate(u_values):
      point = np.zeros(2)
      for i in range(n + 1):
          point += P[i] * bernstein(n, i, u)
      curve[k] = point

  return curve

def bezier_matrix_cubic(control_points, u):
  """
  Évalue une courbe de Bézier cubique par la forme matricielle.
  """
  P = np.array(control_points)

  M_bez = np.array([
      [-1,  3, -3, 1],
      [ 3, -6,  3, 0],
      [-3,  3,  0, 0],
      [ 1,  0,  0, 0]
  ])

  U = np.array([u**3, u**2, u, 1])

  return U @ M_bez @ P

def bezier_tangent_cubic(control_points, u):
  """
  Calcule la tangente à une courbe de Bézier cubique.
  """
  P = np.array(control_points)
  n = 3

  # Dérivée : utilise les différences des points de contrôle
  dP = n * np.diff(P, axis=0)  # Points de la courbe dérivée

  # La dérivée est une Bézier de degré n-1
  tangent = np.zeros(2)
  for i in range(n):
      tangent += dP[i] * bernstein(n - 1, i, u)

  return tangent

# Exemple
points = [(0, 0), (1, 2), (3, 2), (4, 0)]

# Générer la courbe
curve = bezier_curve(points, 50)

print("Points de la courbe de Bézier :")
for u in [0, 0.25, 0.5, 0.75, 1.0]:
  pt = bezier_matrix_cubic(points, u)
  print(f"  C({u}) = ({pt[0]:.3f}, {pt[1]:.3f})")

print("\nTangentes :")
for u in [0, 0.5, 1.0]:
  tang = bezier_tangent_cubic(points, u)
  print(f"  C'({u}) = ({tang[0]:.3f}, {tang[1]:.3f})")

Résumé

Concept	Description
Polynômes de Bernstein	$B_{i,n}(u) = \binom{n}{i}u^i(1-u)^{n-i}$
Courbe de Bézier	$\mathbf{C}(u) = \sum P_i B_{i,n}(u)$
Passage aux extrémités	$\mathbf{C}(0) = P_0$ , $\mathbf{C}(1) = P_n$
Tangentes	Dirigées par $P_1 - P_0$ et $P_n - P_{n-1}$
Enveloppe convexe	La courbe reste dans l'enveloppe des points

Pour aller plus loin

La prochaine leçon présentera les courbes B-spline, qui offrent un meilleur contrôle local : modifier un point de contrôle n'affecte qu'une partie de la courbe, contrairement aux courbes de Bézier où tout changement affecte l'ensemble.