Introduction à la dérivation numérique

Objectifs d'apprentissage

À la fin de cette leçon, vous serez en mesure de :

• Expliquer pourquoi la dérivation numérique est nécessaire en pratique
• Comprendre le lien entre interpolation et dérivation numérique
• Dériver le polynôme de Newton-Gregory pour obtenir des formules de dérivation
• Évaluer l'ordre de l'erreur de troncature

Prérequis

• Polynômes d'interpolation de Newton-Gregory (Chapitre 4)
• Différences finies descendantes
• Développements de Taylor

Motivation : le problème de la fusée

Reprenons le problème de la fusée introduit au chapitre 4. Une fusée est suivie par radar, et sa position est mesurée à intervalles réguliers. Mais les ingénieurs ont besoin de bien plus que la position :

Rappel : d'où viennent les données ?

Au chapitre 4, nous avons appris à interpoler des données discrètes par des polynômes. Mais avant même de parler d'interpolation, il faut se poser une question fondamentale : nos données sont-elles fiables ?

En pratique, l'acquisition de données est elle-même une source d'erreurs :

• Fréquence d'échantillonnage : si on mesure la position de la fusée toutes les 10 secondes au lieu de chaque seconde, on rate les variations rapides. Inversement, échantillonner trop vite peut introduire du bruit de mesure inutile.
• Précision des instruments : un radar a une résolution finie. Chaque mesure est entachée d'une erreur .
• Choix du modèle d'interpolation : un polynôme de degré trop élevé peut osciller (phénomène de Runge), tandis qu'un degré trop bas ne capture pas la forme réelle de .

Ces problèmes — que nous avons étudiés aux chapitres 3 et 4 — sont des réalités incontournables en ingénierie.

Principe général : dériver l'interpolant

L'idée centrale est simple : si nous ne connaissons pas explicitement, nous pouvons la remplacer par son polynôme d'interpolation , puis dériver ce polynôme.

Décomposition fondamentale

Rappelons que l'interpolation de par un polynôme s'écrit :

où est l'erreur d'interpolation (ou erreur de troncature).

En dérivant cette relation :

De même pour les dérivées d'ordre supérieur :

Et pour l'intégration :

Dérivation du polynôme de Newton-Gregory

Nous utilisons le polynôme de Newton-Gregory avec différences descendantes, qui est particulièrement adapté aux données équidistantes.

Rappel : forme du polynôme

Pour des points équidistants , le polynôme de Newton-Gregory s'écrit :

où est la variable réduite et sont les différences finies descendantes.

Développement explicite

Calcul de la dérivée

Pour dériver par rapport à , nous utilisons la règle de chaîne :

car .

Calculons terme par terme :

Formule générale de la dérivée

En combinant, on obtient la dérivée du polynôme de Newton-Gregory en un point quelconque :

C'est une formule en : elle donne la dérivée en n'importe quel point, pourvu qu'on connaisse la valeur de .

Pourquoi évaluer en ?

La formule générale ci-dessus est valide pour tout , mais en pratique on choisit presque toujours (c'est-à-dire ). Pourquoi ?

1. Simplification algébrique massive. Quand , tous les termes en et disparaissent :

• Le coefficient de devient
• Le coefficient de devient
• On obtient des coefficients constants :

2. est mobile. Le point n'est pas figé ! C'est simplement le premier point de notre table de différences. Si on veut la dérivée en , on reconstruit la table en prenant comme nouveau point de départ , et on applique la même formule avec .

3. Précision maximale. L'erreur d'interpolation est minimale près de (le centre de la table), donc la dérivée y est la plus fiable.

Formule en (cas )

En posant dans la formule générale :

Cas particuliers utiles : autres valeurs de

Bien que soit le cas le plus courant, il est instructif de voir ce qui se passe pour d'autres valeurs.

Cas (dérivée en ) : avec 2 points ()

C'est la même différence avant ! Avec 3 points () :

On retrouve la différence centrée ! C'est logique : est au milieu de et .

Cas (dérivée en ) : avec 2 points, en remplaçant :

Ce n'est qu'une extrapolation — peu fiable car on sort de l'intervalle des données. En pratique, on préférerait relabeler les points pour rester en .

Analyse de l'erreur

Forme de l'erreur de troncature

Rappel : l'erreur d'interpolation de Newton-Gregory de degré est :

où et est un point dans l'intervalle contenant les données.

En notation compacte, le numérateur est le symbole de Pochhammer descendant :

Dérivation : pour obtenir l'erreur sur la dérivée, on dérive par rapport à . Par la règle de chaîne :

Il faut dériver le produit par rapport à . Ce produit comporte facteurs linéaires. Par la règle du produit généralisée, sa dérivée est la somme de termes, où chaque terme omet un facteur :

Évaluation en : quand , chaque produit contient le facteur sauf lorsque (car c'est le terme qui est omis). Donc le seul terme survivant est celui pour :

On injecte dans l'expression de :

Interprétation

Plus on utilise de points pour l'interpolation :

1. Plus le polynôme est fidèle à
2. Plus la dérivée est proche de
3. Plus l'erreur décroît rapidement avec

Mais attention : augmenter indéfiniment n'est pas toujours bénéfique (phénomène de Runge, instabilité numérique).

Résumé

Dans cette leçon, nous avons établi le principe fondamental de la dérivation numérique :

• La dérivation numérique consiste à dériver le polynôme d'interpolation plutôt que la fonction inconnue
• Le polynôme de Newton-Gregory donne une formule générale en , valide en tout point
• En (au point ), la formule se simplifie avec des coefficients harmoniques alternés
• Le point est mobile : on peut le déplacer pour calculer la dérivée partout
• Les formules classiques (différences avant, centrée, arrière) sont des cas particuliers
• L'erreur de troncature est en pour un polynôme de degré

Pour aller plus loin

Dans la leçon suivante, nous étudierons les formules de dérivation concrètes (différences avant, arrière, centrées) et analyserons un problème fondamental : l'instabilité de la dérivation numérique face aux erreurs d'arrondi.