Introduction à la dérivation numérique

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Structure du chapitre 5

Ce chapitre couvre la dérivation et l'intégration numériques en deux parties :

Partie A — Dérivation numérique (3 leçons)

Formules de dérivation, instabilité, extrapolation de Richardson

Partie B — Intégration numérique (8 leçons)

Introduction, Newton-Cotes, Simpson, Romberg, quadratures gaussiennes, splines, intégrales impropres et multiples

Objectifs d'apprentissage

À la fin de cette leçon, vous serez en mesure de :

Expliquer pourquoi la dérivation numérique est nécessaire en pratique
Comprendre le lien entre interpolation et dérivation numérique
Dériver le polynôme de Newton-Gregory pour obtenir des formules de dérivation
Évaluer l'ordre de l'erreur de troncature

Prérequis

Polynômes d'interpolation de Newton-Gregory (Chapitre 4)
Différences finies descendantes
Développements de Taylor

Motivation : le problème de la fusée

Reprenons le problème de la fusée introduit au chapitre 4. Une fusée est suivie par radar, et sa position $x(t)$ est mesurée à intervalles réguliers. Mais les ingénieurs ont besoin de bien plus que la position :

Enregistrements de la trajectoire d'une fusée

Grandeur	Signification physique	Calcul
Position $x(t)$	Où est la fusée ?	Mesure directe
Vitesse $v(t) = x'(t)$	À quelle vitesse se déplace-t-elle ?	Dérivée première
Accélération $a(t) = x''(t)$	Comment la vitesse change-t-elle ?	Dérivée seconde
Consommation	Combien de carburant a été utilisé ?	Intégrale

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Problème fondamental

Nous connaissons la fonction $f$ uniquement en des points discrets $x_0, x_1, \ldots, x_n$ . Comment estimer $f'(x)$ ou $f''(x)$ à partir de ces données ?

Rappel : d'où viennent les données ?

Au chapitre 4, nous avons appris à interpoler des données discrètes par des polynômes. Mais avant même de parler d'interpolation, il faut se poser une question fondamentale : nos données sont-elles fiables ?

En pratique, l'acquisition de données est elle-même une source d'erreurs :

Fréquence d'échantillonnage : si on mesure la position de la fusée toutes les 10 secondes au lieu de chaque seconde, on rate les variations rapides. Inversement, échantillonner trop vite peut introduire du bruit de mesure inutile.
Précision des instruments : un radar a une résolution finie. Chaque mesure $f_i$ est entachée d'une erreur $\epsilon_i$ .
Choix du modèle d'interpolation : un polynôme de degré trop élevé peut osciller (phénomène de Runge), tandis qu'un degré trop bas ne capture pas la forme réelle de $f$ .

Ces problèmes — que nous avons étudiés aux chapitres 3 et 4 — sont des réalités incontournables en ingénierie.

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Hypothèse pour ce chapitre

Dans tout ce chapitre, nous supposerons que les données sont fiables : les valeurs $f_0, f_1, \ldots, f_n$ sont connues avec une précision suffisante, et le pas $h$ est adapté au problème. Nous nous concentrons sur les erreurs introduites par les méthodes numériques elles-mêmes (troncature, arrondi), pas par l'acquisition des données.

En pratique, il faut toujours vérifier cette hypothèse avant d'appliquer les formules de ce chapitre !

Principe général : dériver l'interpolant

L'idée centrale est simple : si nous ne connaissons pas $f$ explicitement, nous pouvons la remplacer par son polynôme d'interpolation $P_n$ , puis dériver ce polynôme.

Décomposition fondamentale

Rappelons que l'interpolation de $f$ par un polynôme $P_n$ s'écrit :

f(x) = P_n(x) + E_n(x)

où $E_n(x)$ est l'erreur d'interpolation (ou erreur de troncature).

En dérivant cette relation :

f'(x) = P_n'(x) + E_n'(x)

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Stratégie de dérivation numérique

Construire le polynôme d'interpolation $P_n(x)$ passant par les points de données
Calculer $P_n'(x)$ analytiquement
Utiliser $P_n'(x)$ comme approximation de $f'(x)$
Estimer l'erreur $E_n'(x)$

De même pour les dérivées d'ordre supérieur :

f''(x) = P_n''(x) + E_n''(x)

Et pour l'intégration :

\int f(x)\,dx = \int P_n(x)\,dx + \int E_n(x)\,dx

Dérivation du polynôme de Newton-Gregory

Nous utilisons le polynôme de Newton-Gregory avec différences descendantes, qui est particulièrement adapté aux données équidistantes.

Rappel : forme du polynôme

Pour des points équidistants $x_i = x_0 + ih$ , le polynôme de Newton-Gregory s'écrit :

P_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \binom{s}{k} \Delta^k f_0

où $s = \frac{x - x_0}{h}$ est la variable réduite et $\Delta^k f_0$ sont les différences finies descendantes.

Développement explicite

P_n(x) = f_0 + s\Delta f_0 + \frac{s(s-1)}{2!}\Delta^2 f_0 + \frac{s(s-1)(s-2)}{3!}\Delta^3 f_0 + \cdots

Calcul de la dérivée

Pour dériver $P_n(x)$ par rapport à $x$ , nous utilisons la règle de chaîne :

\frac{dP_n}{dx} = \frac{dP_n}{ds} \cdot \frac{ds}{dx} = \frac{1}{h}\frac{dP_n}{ds}

car $\frac{ds}{dx} = \frac{1}{h}$ .

Calculons $\frac{dP_n}{ds}$ terme par terme :

$\frac{d}{ds}(f_0) = 0$
$\frac{d}{ds}(s\Delta f_0) = \Delta f_0$
$\frac{d}{ds}\left(\frac{s(s-1)}{2}\Delta^2 f_0\right) = \frac{2s-1}{2}\Delta^2 f_0$
$\frac{d}{ds}\left(\frac{s(s-1)(s-2)}{6}\Delta^3 f_0\right) = \frac{3s^2 - 6s + 2}{6}\Delta^3 f_0$

Formule générale de la dérivée

En combinant, on obtient la dérivée du polynôme de Newton-Gregory en un point quelconque $x = x_0 + sh$ :

P_n'(x) = \frac{1}{h}\left[\Delta f_0 + \frac{2s-1}{2}\Delta^2 f_0 + \frac{3s^2 - 6s + 2}{6}\Delta^3 f_0 + \cdots\right]

C'est une formule en $s$ : elle donne la dérivée en n'importe quel point, pourvu qu'on connaisse la valeur de $s$ .

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Que représente s ?

Le paramètre $s = \frac{x - x_0}{h}$ mesure la position relative par rapport au premier point $x_0$ , exprimée en nombre de pas $h$ :

$s = 0$ → on est en $x_0$ (premier point)
$s = 1$ → on est en $x_1 = x_0 + h$ (deuxième point)
$s = 2$ → on est en $x_2 = x_0 + 2h$ (troisième point)
$s = 0.5$ → on est entre $x_0$ et $x_1$
$s = -1$ → on est un pas avant $x_0$

Pourquoi évaluer en $s = 0$ ?

La formule générale ci-dessus est valide pour tout $s$ , mais en pratique on choisit presque toujours $s = 0$ (c'est-à-dire $x = x_0$ ). Pourquoi ?

1. Simplification algébrique massive. Quand $s = 0$ , tous les termes en $s$ et $s^2$ disparaissent :

Le coefficient de $\Delta^2 f_0$ devient $\frac{2(0)-1}{2} = -\frac{1}{2}$
Le coefficient de $\Delta^3 f_0$ devient $\frac{3(0)^2 - 6(0) + 2}{6} = \frac{1}{3}$
On obtient des coefficients constants : $1, -\frac{1}{2}, +\frac{1}{3}, -\frac{1}{4}, \ldots$

2. $x_0$ est mobile. Le point $x_0$ n'est pas figé ! C'est simplement le premier point de notre table de différences. Si on veut la dérivée en $x_3$ , on reconstruit la table en prenant $x_3$ comme nouveau point de départ $x_0$ , et on applique la même formule avec $s = 0$ .

3. Erreur explicite. En $s = 0$ , le terme d'erreur se réduit à une expression fermée, $E_n'(x_0) = \frac{(-1)^n}{n+1}\,h^n\,f^{(n+1)}(\xi)$ (démontrée plus bas), dont l'ordre $O(h^n)$ se lit immédiatement. Attention toutefois : $x_0$ est une extrémité de la table, et c'est justement là que l'erreur est la plus grande ; à $n$ égal, une évaluation au milieu de la table (formule centrée) est nettement plus précise. Le choix $s = 0$ se justifie par la simplicité, pas par la précision.

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En résumé

On ne se limite pas à un seul point ! On peut calculer la dérivée partout en déplaçant $x_0$ . Mais la formule en $s = 0$ est la plus simple et la plus utilisée.

Formule en $x_0$ (cas $s = 0$ )

En posant $s = 0$ dans la formule générale :

P_n'(x_0) = \frac{1}{h}\left[\Delta f_0 - \frac{1}{2}\Delta^2 f_0 + \frac{1}{3}\Delta^3 f_0 - \frac{1}{4}\Delta^4 f_0 + \cdots + \frac{(-1)^{n-1}}{n}\Delta^n f_0\right]

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Formule de dérivation de Newton-Gregory

P_n'(x_0) = \frac{1}{h}\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k}\Delta^k f_0

Les coefficients alternent en signe et décroissent : $1, -\frac{1}{2}, +\frac{1}{3}, -\frac{1}{4}, \ldots$ — c'est la série harmonique alternée !

Cas particuliers utiles : autres valeurs de $s$

Bien que $s = 0$ soit le cas le plus courant, il est instructif de voir ce qui se passe pour d'autres valeurs.

Cas $s = 1$ (dérivée en $x_1$ ) : avec 2 points ( $n = 1$ )

P_1'(x_1) = \frac{1}{h}\Delta f_0 = \frac{f_1 - f_0}{h}

C'est la même différence avant ! Avec 3 points ( $n = 2$ ) :

P_2'(x_1) = \frac{1}{h}\left[\Delta f_0 + \frac{1}{2}\Delta^2 f_0\right] = \frac{-f_0 + f_2}{2h} = \frac{f_2 - f_0}{2h}

On retrouve la différence centrée ! C'est logique : $x_1$ est au milieu de $x_0$ et $x_2$ .

Cas $s = -1$ (dérivée en $x_{-1} = x_0 - h$ ) : avec 2 points, en remplaçant $s = -1$ :

P_1'(x_{-1}) = \frac{1}{h}\Delta f_0 = \frac{f_1 - f_0}{h}

Ce n'est qu'une extrapolation — peu fiable car on sort de l'intervalle des données. En pratique, on préférerait relabeler les points pour rester en $s = 0$ .

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Lien avec les formules classiques

Les formules de différence avant, différence arrière et différence centrée que nous verrons en détail dans la leçon suivante ne sont que des cas particuliers de la formule générale de Newton-Gregory, évaluée en différents $s$ et avec différents nombres de points $n$ .

Analyse de l'erreur

Forme de l'erreur de troncature

Rappel : l'erreur d'interpolation de Newton-Gregory de degré $n$ est :

E_n(x) = \frac{s(s-1)(s-2)\cdots(s-n)}{(n+1)!}\,h^{n+1}\,f^{(n+1)}(\xi)

où $s = \frac{x - x_0}{h}$ et $\xi$ est un point dans l'intervalle contenant les données.

En notation compacte, le numérateur est le symbole de Pochhammer descendant :

E_n(x) = \binom{s}{n+1}\,h^{n+1}\,f^{(n+1)}(\xi)

Dérivation : pour obtenir l'erreur sur la dérivée, on dérive $E_n(x)$ par rapport à $x$ . Par la règle de chaîne :

E_n'(x) = \frac{dE_n}{ds}\cdot\frac{ds}{dx} = \frac{1}{h}\frac{dE_n}{ds}

Il faut dériver le produit $s(s-1)(s-2)\cdots(s-n)$ par rapport à $s$ . Ce produit comporte $n+1$ facteurs linéaires. Par la règle du produit généralisée, sa dérivée est la somme de $n+1$ termes, où chaque terme omet un facteur :

\frac{d}{ds}\left[s(s-1)\cdots(s-n)\right] = \sum_{j=0}^{n}\prod_{\substack{i=0 \\ i\neq j}}^{n}(s-i)

Évaluation en $s = 0$ : quand $s = 0$ , chaque produit $\prod_{i \neq j}(0 - i) = \prod_{i \neq j}(-i)$ contient le facteur $(0 - 0) = 0$ sauf lorsque $j = 0$ (car c'est le terme $s$ qui est omis). Donc le seul terme survivant est celui pour $j = 0$ :

\left.\frac{d}{ds}\left[s(s-1)\cdots(s-n)\right]\right|_{s=0} = \prod_{i=1}^{n}(0-i) = (-1)(-2)\cdots(-n) = (-1)^n\,n!

On injecte dans l'expression de $E_n'(x_0)$ :

E_n'(x_0) = \frac{1}{h}\cdot\frac{(-1)^n\,n!}{(n+1)!}\cdot h^{n+1}\cdot f^{(n+1)}(\xi) = \frac{(-1)^n}{n+1}\,h^n\,f^{(n+1)}(\xi)

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Erreur de troncature de la dérivation

E_n'(x_0) = \frac{(-1)^n}{n+1}\,h^n\,f^{(n+1)}(\xi)

L'erreur est en $O(h^n)$ : elle décroît comme la puissance $n$ -ième du pas.

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Ordre de l'erreur

L'erreur de dérivation est en $O(h^n)$ , c'est-à-dire qu'elle décroît comme $h^n$ quand le pas $h$ diminue.

Avec 2 points ( $n=1$ ) : erreur en $O(h)$
Avec 3 points ( $n=2$ ) : erreur en $O(h^2)$
Avec 4 points ( $n=3$ ) : erreur en $O(h^3)$

Interprétation

Plus on utilise de points pour l'interpolation :

Plus le polynôme $P_n$ est fidèle à $f$
Plus la dérivée $P_n'$ est proche de $f'$
Plus l'erreur décroît rapidement avec $h$

Mais attention : augmenter $n$ indéfiniment n'est pas toujours bénéfique (phénomène de Runge, instabilité numérique).

Résumé

Dans cette leçon, nous avons établi le principe fondamental de la dérivation numérique :

La dérivation numérique consiste à dériver le polynôme d'interpolation plutôt que la fonction inconnue
Le polynôme de Newton-Gregory donne une formule générale en $s$ , valide en tout point
En $s = 0$ (au point $x_0$ ), la formule se simplifie avec des coefficients harmoniques alternés
Le point $x_0$ est mobile : on peut le déplacer pour calculer la dérivée partout
Les formules classiques (différences avant, centrée, arrière) sont des cas particuliers
L'erreur de troncature est en $O(h^n)$ pour un polynôme de degré $n$

Pour aller plus loin

Dans la leçon suivante, nous étudierons les formules de dérivation concrètes (différences avant, arrière, centrées) et analyserons un problème fondamental : l'instabilité de la dérivation numérique face aux erreurs d'arrondi.

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Annexe A — Approche alternative par Taylor

L'annexe A présente une autre façon d'obtenir les mêmes formules : au lieu de dériver le polynôme de Newton-Gregory, on manipule directement les développements de Taylor de $f(x+h)$ et $f(x-h)$ . Cette approche révèle un élégant principe de dualité entre soustraction (dérivées impaires) et addition (dérivées paires), et donne directement les termes d'erreur exacts. Nous vous recommandons de la lire après la leçon sur les formules et l'instabilité.