Introduction à la dérivation numérique

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Structure du chapitre 5

Ce chapitre couvre la dérivation et l'intégration numériques en deux parties :

Partie A — Dérivation numérique (leçons 5.1–5.3)

Formules de dérivation, instabilité, extrapolation de Richardson

Partie B — Intégration numérique (leçons 5.4–5.11)

Introduction, Newton-Cotes, Simpson, Romberg, quadratures gaussiennes, splines, intégrales impropres et multiples

Objectifs d'apprentissage

À la fin de cette leçon, vous serez en mesure de :

Expliquer pourquoi la dérivation numérique est nécessaire en pratique
Comprendre le lien entre interpolation et dérivation numérique
Dériver le polynôme de Newton-Gregory pour obtenir des formules de dérivation
Évaluer l'ordre de l'erreur de troncature

Prérequis

Polynômes d'interpolation de Newton-Gregory (Chapitre 4)
Différences finies descendantes
Développements de Taylor

Motivation : le problème de la fusée

Reprenons le problème de la fusée introduit au chapitre 4. Une fusée est suivie par radar, et sa position est mesurée à intervalles réguliers. Mais les ingénieurs ont besoin de bien plus que la position :

Grandeur	Signification physique	Calcul
Position	Où est la fusée ?	Mesure directe
Vitesse	À quelle vitesse se déplace-t-elle ?	Dérivée première
Accélération	Comment la vitesse change-t-elle ?	Dérivée seconde
Consommation	Combien de carburant a été utilisé ?	Intégrale

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Problème fondamental

Nous connaissons la fonction uniquement en des points discrets . Comment estimer ou à partir de ces données ?

Principe général : dériver l'interpolant

L'idée centrale est simple : si nous ne connaissons pas explicitement, nous pouvons la remplacer par son polynôme d'interpolation , puis dériver ce polynôme.

Décomposition fondamentale

Rappelons que l'interpolation de par un polynôme s'écrit :

où est l'erreur d'interpolation (ou erreur de troncature).

En dérivant cette relation :

✅

Stratégie de dérivation numérique

Construire le polynôme d'interpolation passant par les points de données
Calculer analytiquement
Utiliser comme approximation de
Estimer l'erreur

De même pour les dérivées d'ordre supérieur :

Et pour l'intégration :

Dérivation du polynôme de Newton-Gregory

Nous utilisons le polynôme de Newton-Gregory avec différences descendantes, qui est particulièrement adapté aux données équidistantes.

Rappel : forme du polynôme

Pour des points équidistants , le polynôme de Newton-Gregory s'écrit :

où est la variable réduite et sont les différences finies descendantes.

Développement explicite

Calcul de la dérivée

Pour dériver par rapport à , nous utilisons la règle de chaîne :

car .

Calculons terme par terme :

Formule générale en (cas )

En évaluant en (donc ), les formules se simplifient considérablement :

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Formule de dérivation de Newton-Gregory en x₀

Cette formule exprime la dérivée comme une combinaison linéaire des différences finies, pondérées par .

Analyse de l'erreur

Forme de l'erreur de troncature

L'erreur de troncature pour la dérivée est obtenue en dérivant l'erreur d'interpolation. Pour le polynôme de Newton-Gregory de degré :

où est un point dans l'intervalle contenant les données.

⚠️

Ordre de l'erreur

L'erreur de dérivation est en , c'est-à-dire qu'elle décroît comme quand le pas diminue.

Avec 2 points () : erreur en
Avec 3 points () : erreur en
Avec 4 points () : erreur en

Interprétation

Plus on utilise de points pour l'interpolation :

Plus le polynôme est fidèle à
Plus la dérivée est proche de
Plus l'erreur décroît rapidement avec

Mais attention : augmenter indéfiniment n'est pas toujours bénéfique (phénomène de Runge, instabilité numérique).

Formules de dérivation usuelles

Dérivée première avec 2 points (différence avant)

En utilisant seulement et :

C'est la différence avant (ou différence progressive), d'ordre .

Dérivée première avec 3 points

En utilisant :

Cette formule est d'ordre .

Résumé

Dans cette leçon, nous avons établi le principe fondamental de la dérivation numérique :

La dérivation numérique consiste à dériver le polynôme d'interpolation plutôt que la fonction inconnue
Le polynôme de Newton-Gregory permet d'obtenir des formules explicites en fonction des différences finies
L'erreur de troncature est en pour un polynôme de degré
En , la formule prend une forme particulièrement simple avec des coefficients alternés

Pour aller plus loin

Dans la prochaine leçon, nous étudierons les formules de dérivation concrètes (différences avant, arrière, centrées) et analyserons un problème fondamental : l'instabilité de la dérivation numérique face aux erreurs d'arrondi.