Formules de dérivation numérique et instabilité
Objectifs d'apprentissage
À la fin de cette leçon, vous serez en mesure de :
- Appliquer les formules de dérivation numérique (avant, arrière, centrée)
- Reconstruire ces formules à partir des séries de Taylor
- Comprendre le phénomène d'instabilité de la dérivation numérique
- Interpréter la notation pour l'ordre d'une approximation
Prérequis
- Formule générale de dérivation de Newton-Gregory (leçon précédente)
- Variable réduite et cas particuliers ()
- Développements de Taylor
Rappel et fil conducteur
Dans la leçon précédente, nous avons établi la formule générale de la dérivée du polynôme de Newton-Gregory, qui dépend du paramètre . En évaluant cette formule en , nous avons obtenu la formule compacte avec les coefficients harmoniques alternés. Nous avons aussi vu que les formules classiques — différence avant, centrée, arrière — sont des cas particuliers de cette formule générale, évalués en différents et avec différents nombres de points.
Dans cette leçon, nous allons :
- Appliquer ces formules sur un exemple numérique concret
- Redériver la formule centrée par une approche alternative (séries de Taylor)
- Découvrir un problème fondamental : l'instabilité de la dérivation numérique
Exemple numérique complet
Mettons en pratique la formule de Newton-Gregory de la leçon précédente. Considérons et calculons sa dérivée en à partir de données tabulées avec un pas .
Table des différences finies
| x | f(x) | Δf | Δ²f | Δ³f | Δ⁴f |
|---|---|---|---|---|---|
| 1.3 | 3.669 | ||||
| 0.813 | |||||
| 1.5 | 4.482 | 0.179 | |||
| 0.992 | 0.041 | ||||
| 1.7 | 5.474 | 0.220 | 0.007 | ||
| 1.212 | 0.048 | ||||
| 1.9 | 6.686 | 0.268 | 0.012 | ||
| 1.480 | 0.060 | ||||
| 2.1 | 8.166 | 0.328 | 0.012 | ||
| 1.808 | 0.072 | ||||
| 2.3 | 9.974 | 0.400 | |||
| 2.208 | |||||
| 2.5 | 12.182 |
Calcul avec différents degrés
Valeur exacte :
Avec le polynôme de degré 1 (différence avant, cas avec ) :
On applique directement la formule de la leçon précédente : .
En , nous avons .
Erreur :
Avec le polynôme de degré 2 (cas avec ) :
On utilise . Nous avons .
Erreur :
Observation
En ajoutant un seul terme (le ), l'erreur passe de 0.586 à 0.084 — une amélioration d'un facteur 7 ! C'est conforme à la théorie : l'erreur passe de à .
Bornes d'erreur théoriques
Pour le polynôme de degré 1 :
Comme , on a , donc :
Pour le polynôme de degré 2 :
Formule centrée (différences centrées)
Lien avec la leçon précédente
Dans la leçon précédente, nous avons vu que la formule de Newton-Gregory évaluée en avec 3 points donne :
C'est la différence centrée ! Si on renomme les points pour centrer sur (en posant au lieu de ), on obtient :
Formule centrée de dérivation
Cette formule utilise des points de part et d'autre de . Elle est d'ordre , soit un ordre de plus que la différence avant/arrière !
Pourquoi la formule centrée est-elle meilleure ?
Vérifions ce résultat par une approche indépendante : les séries de Taylor. Cette seconde dérivation est instructive car elle révèle pourquoi les termes impairs s'annulent.
La formule centrée bénéficie d'une annulation des termes d'erreur impairs. En développant par Taylor :
En soustrayant :
Donc :
L'erreur est bien en .
Tableau récapitulatif des formules
Voici un résumé des principales formules de dérivation numérique. Elles sont toutes des cas particuliers de la formule de Newton-Gregory (leçon précédente), mais on les présente souvent sous leur forme explicite en termes de pour un usage direct.
Dérivée première
| Formule | Nom | Ordre |
|---|---|---|
| Différence avant | ||
| Différence arrière | ||
| Différence centrée | ||
| 3 points (avant) | ||
| 5 points (centrée) |
Dérivée seconde
| Formule | Nom | Ordre |
|---|---|---|
| 3 points (avant) | ||
| 3 points (centrée) | ||
| 4 points (avant) | ||
| 5 points (centrée) |
Instabilité de la dérivation numérique
Problème fondamental
Contrairement à l'intégration, la dérivation numérique est intrinsèquement instable : les erreurs d'arrondi sont amplifiées lors du calcul.
Intuition du problème
Considérons la différence avant . Quand diminue, et deviennent de plus en plus proches. On soustrait deux nombres quasi-égaux, puis on divise par un nombre très petit. C'est une recette pour amplifier les erreurs d'arrondi.
Exemple concret : calculons pour (valeur exacte : ) avec la différence avant en double précision :
| h | Approximation | Erreur |
|---|---|---|
| 2.731372 | ||
| 2.718418 | ||
| 2.718282 | ||
| 2.718270 | ||
| 3.108624 |
L'erreur diminue d'abord (troncature), atteint un minimum vers , puis remonte violemment ! À , le résultat n'a plus aucun chiffre significatif correct.
Source mathématique du problème
Analysons formellement ce phénomène. En machine, on ne dispose pas des valeurs exactes et , mais de valeurs arrondies :
où avec la précision machine. Le calcul effectif donne :
En séparant la partie exacte et la partie erronée :
L'erreur d'arrondi propagée est bornée par :
Amplification des erreurs
L'erreur d'arrondi est divisée par . Quand , cette erreur tend vers l'infini. C'est le mécanisme d'instabilité.
Erreur totale et pas optimal
L'erreur totale comporte deux composantes qui évoluent en sens opposé :
- Erreur de troncature : — due au fait qu'on remplace par un polynôme (on tronque la série de Taylor). Elle décroît quand diminue.
- Erreur d'arrondi : — due à la représentation finie des nombres en machine. Elle croît quand diminue.
Pour trouver le pas optimal , on minimise cette borne en dérivant par rapport à :
On isole :
En ordre de grandeur, le facteur ne dépend pas de et contribue peu face à la puissance . On retient donc :
Pas optimal
où est l'ordre de la formule et la précision sur les données.
Application en double précision () :
- Différence avant () :
- Différence centrée () :
Cela explique le minimum observé dans le tableau ci-dessus : pour la différence avant, l'erreur minimale est atteinte vers .
Double précision : utile ou non ?
| Type d'erreur ε | Double précision aide ? | Explication |
|---|---|---|
| Erreur machine (arrondi) | ✅ Oui | ε passe de 10⁻⁷ (simple) à 10⁻¹⁶ (double), donc h* diminue et l'erreur minimale aussi |
| Erreur de troncature (formule) | ✅ Oui | Les calculs intermédiaires sont plus précis |
| Erreur sur les données (mesures, bruit) | ❌ Non | Si les données ont 3 chiffres significatifs, ε ≈ 10⁻³ — la double précision ne change rien |
Attention aux données expérimentales
Si vos données proviennent de mesures physiques avec une incertitude , c'est qui joue le rôle de dans la formule du pas optimal — pas la précision machine !
Par exemple, avec des données à 0.1% de précision () et une formule centrée :
Un pas plus petit qu'environ 0.1 dégraderait le résultat au lieu de l'améliorer.
Visualisation interactive
Pas optimal h*
ε^1/3 ≈ 4.6e-6
Erreur minimale
≈ 4.3e-11
Décimales exactes
≈ 11
Interprétation : Ce graphique montre le compromis entre deux sources d'erreur :
- Erreur de troncature : décroît quand h diminue (pente = n)
- Erreur d'arrondi : croît quand h diminue (pente = -1)
- Erreur totale : minimum au pas optimal h*
Formule : h* = ε^1/(n+1) où n est l'ordre de la méthode et ε la précision machine.
Notation
Définition formelle
On dit que quand s'il existe une constante et un seuil tels que :
Exemple
Donc , ou encore .
Propriétés
Interprétation pratique
Une méthode d'ordre signifie que si on divise par 2, l'erreur est divisée par environ .
- : diviser par 2 → erreur divisée par 2
- : diviser par 2 → erreur divisée par 4
- : diviser par 2 → erreur divisée par 16
Résumé
- Les formules centrées sont généralement plus précises que les formules avant/arrière (un ordre de plus)
- La dérivation numérique souffre d'un problème d'instabilité : les erreurs d'arrondi sont amplifiées par
- Il existe un pas optimal qui équilibre erreur de troncature et erreur d'arrondi
- La notation caractérise la vitesse de convergence d'une méthode
Pour aller plus loin
Dans la leçon suivante, nous verrons comment l'extrapolation de Richardson permet d'améliorer l'ordre de précision d'une formule de dérivation sans diminuer le pas .
Annexe A — Dérivation par Taylor
L'annexe A reprend toutes les formules de cette leçon par une approche alternative : au lieu de dériver Newton-Gregory, on manipule directement les développements de Taylor. Cette approche révèle pourquoi la différence centrée gagne un ordre « gratuitement » (principe de dualité soustraction/addition) et donne les expressions exactes des termes d'erreur. À lire pour consolider votre compréhension !