Formules de dérivation numérique et instabilité

Objectifs d'apprentissage

À la fin de cette leçon, vous serez en mesure de :

• Appliquer les formules de dérivation numérique (avant, arrière, centrée)
• Reconstruire ces formules à partir des séries de Taylor
• Comprendre le phénomène d'instabilité de la dérivation numérique
• Interpréter la notation $O(h^n)$ pour l'ordre d'une approximation

Prérequis

• Formule générale de dérivation de Newton-Gregory (leçon précédente)
• Variable réduite $s$ et cas particuliers ($s = 0, 1, -1$)
• Développements de Taylor

Rappel et fil conducteur

Dans la leçon précédente, nous avons établi la formule générale de la dérivée du polynôme de Newton-Gregory, qui dépend du paramètre $s = (x - x_0)/h$. En évaluant cette formule en $s = 0$, nous avons obtenu la formule compacte avec les coefficients harmoniques alternés. Nous avons aussi vu que les formules classiques — différence avant, centrée, arrière — sont des cas particuliers de cette formule générale, évalués en différents $s$ et avec différents nombres de points.

Dans cette leçon, nous allons :

1. Appliquer ces formules sur un exemple numérique concret
2. Redériver la formule centrée par une approche alternative (séries de Taylor)
3. Découvrir un problème fondamental : l'instabilité de la dérivation numérique

Exemple numérique complet

Mettons en pratique la formule de Newton-Gregory de la leçon précédente. Considérons $f(x) = e^x$ et calculons sa dérivée en $x_0 = 1.7$ à partir de données tabulées avec un pas $h = 0.2$.

Table des différences finies

Calcul avec différents degrés

Valeur exacte : $f'(1.7) = e^{1.7} \approx 5.4739$

Avec le polynôme de degré 1 (différence avant, cas $s = 0$ avec $n = 1$) :

On applique directement la formule de la leçon précédente : $P_1'(x_0) = \frac{\Delta f_0}{h}$.

En $x_0 = 1.7$, nous avons $\Delta f_0 = f(1.9) - f(1.7) = 6.686 - 5.474 = 1.212$.

Erreur : $|6.06 - 5.4739| \approx 0.586$

Avec le polynôme de degré 2 (cas $s = 0$ avec $n = 2$) :

On utilise $P_2'(x_0) = \frac{1}{h}\left[\Delta f_0 - \frac{1}{2}\Delta^2 f_0\right]$. Nous avons $\Delta^2 f_0 = \Delta f_1 - \Delta f_0 = 1.480 - 1.212 = 0.268$.

Erreur : $|5.390 - 5.4739| \approx 0.084$

Bornes d'erreur théoriques

Pour le polynôme de degré 1 :

Comme $\xi \in [1.7, 1.9]$, on a $e^{1.7} \leq e^\xi \leq e^{1.9}$, donc :

Pour le polynôme de degré 2 :

Formule centrée (différences centrées)

Lien avec la leçon précédente

Dans la leçon précédente, nous avons vu que la formule de Newton-Gregory évaluée en $s = 1$ avec 3 points donne :

C'est la différence centrée ! Si on renomme les points pour centrer sur $x_0$ (en posant $x_{-1}, x_0, x_1$ au lieu de $x_0, x_1, x_2$), on obtient :

Pourquoi la formule centrée est-elle meilleure ?

Vérifions ce résultat par une approche indépendante : les séries de Taylor. Cette seconde dérivation est instructive car elle révèle pourquoi les termes impairs s'annulent.

La formule centrée bénéficie d'une annulation des termes d'erreur impairs. En développant par Taylor :

En soustrayant :

Donc :

L'erreur est bien en $O(h^2)$.

Tableau récapitulatif des formules

Voici un résumé des principales formules de dérivation numérique. Elles sont toutes des cas particuliers de la formule de Newton-Gregory (leçon précédente), mais on les présente souvent sous leur forme explicite en termes de $f_i$ pour un usage direct.

Dérivée première

Dérivée seconde

Instabilité de la dérivation numérique

Intuition du problème

Considérons la différence avant $\frac{f_1 - f_0}{h}$. Quand $h$ diminue, $f_1$ et $f_0$ deviennent de plus en plus proches. On soustrait deux nombres quasi-égaux, puis on divise par un nombre très petit. C'est une recette pour amplifier les erreurs d'arrondi.

Exemple concret : calculons $f'(1)$ pour $f(x) = e^x$ (valeur exacte : $e \approx 2.718282$) avec la différence avant en double précision :

L'erreur diminue d'abord (troncature), atteint un minimum vers $h \approx 10^{-8}$, puis remonte violemment ! À $h = 10^{-15}$, le résultat n'a plus aucun chiffre significatif correct.

Source mathématique du problème

Analysons formellement ce phénomène. En machine, on ne dispose pas des valeurs exactes $f_0$ et $f_1$, mais de valeurs arrondies :

où $|\epsilon_0|, |\epsilon_1| \leq \epsilon$ avec $\epsilon$ la précision machine. Le calcul effectif donne :

En séparant la partie exacte et la partie erronée :

L'erreur d'arrondi propagée est bornée par :

Erreur totale et pas optimal

L'erreur totale comporte deux composantes qui évoluent en sens opposé :

1. Erreur de troncature : $E_{\text{tronc}} \approx C_1 h^n$ — due au fait qu'on remplace $f$ par un polynôme $P_n$ (on tronque la série de Taylor). Elle décroît quand $h$ diminue.
2. Erreur d'arrondi : $E_{\text{arrondi}} \leq \frac{2\epsilon}{h}$ — due à la représentation finie des nombres en machine. Elle croît quand $h$ diminue.

Pour trouver le pas optimal $h^*$, on minimise cette borne en dérivant par rapport à $h$ :

On isole $h$ :

En ordre de grandeur, le facteur $\frac{2}{nC_1}$ ne dépend pas de $\epsilon$ et contribue peu face à la puissance $1/(n+1)$. On retient donc :

Application en double précision ($\epsilon \approx 10^{-16}$) :

• Différence avant ($n=1$) : $h^* \approx (10^{-16})^{1/2} = 10^{-8}$
• Différence centrée ($n=2$) : $h^* \approx (10^{-16})^{1/3} \approx 10^{-5.3}$

Cela explique le minimum observé dans le tableau ci-dessus : pour la différence avant, l'erreur minimale est atteinte vers $h \approx 10^{-8}$.

Double précision : utile ou non ?

Visualisation interactive

Notation $O(h^n)$

Définition formelle

On dit que $g(h) = O(h^n)$ quand $h \to 0$ s'il existe une constante $C > 0$ et un seuil $h_0 > 0$ tels que :

Exemple

Donc $\sin(x) = x + O(x^3)$, ou encore $\sin(x) = O(x)$.

Propriétés

• $O(h^m) + O(h^n) = O(h^{\min(m,n)})$
• $O(h^m) \cdot O(h^n) = O(h^{m+n})$
• $O(1) \supseteq O(h) \supseteq O(h^2) \supseteq O(h^3) \supseteq \cdots$

Résumé

• Les formules centrées sont généralement plus précises que les formules avant/arrière (un ordre de plus)
• La dérivation numérique souffre d'un problème d'instabilité : les erreurs d'arrondi sont amplifiées par $1/h$
• Il existe un pas optimal qui équilibre erreur de troncature et erreur d'arrondi
• La notation $O(h^n)$ caractérise la vitesse de convergence d'une méthode

Pour aller plus loin

Dans la leçon suivante, nous verrons comment l'extrapolation de Richardson permet d'améliorer l'ordre de précision d'une formule de dérivation sans diminuer le pas $h$.