Formules de dérivation numérique et instabilité
Objectifs d'apprentissage
À la fin de cette leçon, vous serez en mesure de :
- Appliquer les formules de dérivation numérique (avant, arrière, centrée)
- Reconstruire ces formules à partir des séries de Taylor
- Comprendre le phénomène d'instabilité de la dérivation numérique
- Interpréter la notation pour l'ordre d'une approximation
Prérequis
- Principe de dérivation numérique
- Développements de Taylor
- Différences finies
Exemple numérique complet
Considérons la fonction et calculons sa dérivée en à partir de données tabulées avec un pas .
Table des différences finies
| x | f(x) | Δf | Δ²f | Δ³f | Δ⁴f |
|---|---|---|---|---|---|
| 1.3 | 3.669 | ||||
| 0.813 | |||||
| 1.5 | 4.482 | 0.179 | |||
| 0.992 | 0.041 | ||||
| 1.7 | 5.474 | 0.220 | 0.007 | ||
| 1.212 | 0.048 | ||||
| 1.9 | 6.686 | 0.268 | 0.012 | ||
| 1.480 | 0.060 | ||||
| 2.1 | 8.166 | 0.328 | 0.012 | ||
| 1.808 | 0.072 | ||||
| 2.3 | 9.974 | 0.400 | |||
| 2.208 | |||||
| 2.5 | 12.182 |
Calcul avec différents degrés
Valeur exacte :
Avec le polynôme de degré 1 (différence avant) :
En , nous avons .
Erreur :
Avec le polynôme de degré 2 :
Nous avons aussi .
Erreur :
Observation
En passant de degré 1 à degré 2, l'erreur passe de 0.586 à 0.084 — une amélioration d'un facteur 7 !
Bornes d'erreur théoriques
Pour le polynôme de degré 1 :
Comme , on a , donc :
Pour le polynôme de degré 2 :
Formule centrée (différences centrées)
Une approche plus précise consiste à utiliser des points de part et d'autre de .
Dérivation
Considérons un polynôme de degré 2 passant par , , .
En utilisant la variable réduite , nous avons au point central de l'intervalle .
La dérivée du polynôme de Newton-Gregory en (c'est-à-dire en ) donne :
Formule centrée de dérivation
Cette formule est d'ordre , soit un ordre de plus que la différence avant/arrière !
Pourquoi la formule centrée est-elle meilleure ?
La formule centrée bénéficie d'une annulation des termes d'erreur impairs. En développant par Taylor :
En soustrayant :
Donc :
L'erreur est bien en .
Tableau récapitulatif des formules
Dérivée première
| Formule | Nom | Ordre |
|---|---|---|
| Différence avant | ||
| Différence arrière | ||
| Différence centrée | ||
| 3 points (avant) | ||
| 5 points (centrée) |
Dérivée seconde
| Formule | Nom | Ordre |
|---|---|---|
| 3 points (avant) | ||
| 3 points (centrée) | ||
| 4 points (avant) | ||
| 5 points (centrée) |
Instabilité de la dérivation numérique
Problème fondamental
Contrairement à l'intégration, la dérivation numérique est intrinsèquement instable : les erreurs d'arrondi sont amplifiées lors du calcul.
Source du problème
Considérons la formule de différence avant :
Supposons que et soient entachés d'erreurs d'arrondi et :
L'erreur d'arrondi propagée est :
Comportement en fonction de h
L'erreur totale a deux composantes :
- Erreur de troncature : — décroît quand diminue
- Erreur d'arrondi : — croît quand diminue
Dilemme du pas optimal
- Si est trop grand : l'erreur de troncature domine
- Si est trop petit : l'erreur d'arrondi domine
Il existe un pas optimal qui minimise l'erreur totale.
Pas optimal
Pour une formule d'ordre avec des données en précision (machine epsilon) :
En double précision () :
- Différence avant () :
- Différence centrée () :
Double précision : utile ou non ?
| Type d'erreur ε | Double précision aide ? | Explication |
|---|---|---|
| Erreur machine (arrondi) | ✅ Oui | ε passe de 10⁻⁷ (simple) à 10⁻¹⁶ (double), donc h* diminue et l'erreur minimale aussi |
| Erreur de troncature (formule) | ✅ Oui | Les calculs intermédiaires sont plus précis |
| Erreur sur les données (mesures, bruit) | ❌ Non | Si les données ont 3 chiffres significatifs, ε ≈ 10⁻³ — la double précision ne change rien |
Attention aux données expérimentales
Si vos données proviennent de mesures physiques avec une incertitude , c'est qui joue le rôle de dans la formule du pas optimal — pas la précision machine !
Par exemple, avec des données à 0.1% de précision () et une formule centrée :
Un pas plus petit qu'environ 0.1 dégraderait le résultat au lieu de l'améliorer.
Visualisation interactive
Pas optimal h*
ε^1/3 ≈ 4.6e-6
Erreur minimale
≈ 4.3e-11
Décimales exactes
≈ 11
Interprétation : Ce graphique montre le compromis entre deux sources d'erreur :
- Erreur de troncature : décroît quand h diminue (pente = n)
- Erreur d'arrondi : croît quand h diminue (pente = -1)
- Erreur totale : minimum au pas optimal h*
Formule : h* = ε^1/(n+1) où n est l'ordre de la méthode et ε la précision machine.
Notation
Définition formelle
On dit que quand s'il existe une constante et un seuil tels que :
Exemple
Donc , ou encore .
Propriétés
Interprétation pratique
Une méthode d'ordre signifie que si on divise par 2, l'erreur est divisée par environ .
- : diviser par 2 → erreur divisée par 2
- : diviser par 2 → erreur divisée par 4
- : diviser par 2 → erreur divisée par 16
Résumé
- Les formules centrées sont généralement plus précises que les formules avant/arrière (un ordre de plus)
- La dérivation numérique souffre d'un problème d'instabilité : les erreurs d'arrondi sont amplifiées par
- Il existe un pas optimal qui équilibre erreur de troncature et erreur d'arrondi
- La notation caractérise la vitesse de convergence d'une méthode
Pour aller plus loin
Dans la prochaine leçon, nous verrons comment l'extrapolation de Richardson permet d'améliorer l'ordre de précision d'une formule de dérivation sans diminuer le pas .