Extrapolation de Richardson pour la dérivation
Objectifs d'apprentissage
À la fin de cette leçon, vous serez en mesure de :
- Expliquer le principe de l'extrapolation de Richardson
- Combiner deux approximations pour gagner un ordre de précision
- Appliquer la méthode à un exemple numérique concret
- Comprendre pourquoi les formules centrées permettent de gagner deux ordres
Prérequis
- Formules de dérivation numérique
- Notation
- Développements de Taylor
Motivation : améliorer sans réduire h
Dans la leçon précédente, nous avons vu que :
- Réduire améliore l'erreur de troncature
- Mais réduire amplifie l'erreur d'arrondi
Idée de Richardson
Et si on pouvait améliorer la précision sans réduire ? L'extrapolation de Richardson combine intelligemment deux approximations calculées avec des pas différents.
Principe de l'extrapolation
Structure de l'erreur
Supposons qu'une formule de dérivation donne une approximation avec une erreur de la forme :
où est une constante qui dépend de mais pas de .
Calcul avec deux pas
Calculons la même approximation avec le pas :
Élimination du terme dominant
En combinant ces deux équations pour éliminer le terme en :
En soustrayant :
D'où :
Formule d'extrapolation de Richardson
Cette formule combine une approximation d'ordre avec pas et pas pour obtenir une approximation d'ordre .
Cas particuliers
Pour une formule d'ordre (n = 1)
On passe de à .
Pour une formule d'ordre (n = 2)
On passe de à .
Gain double pour les formules centrées
Avec une formule centrée (qui n'a que des termes en puissances paires de ), l'extrapolation de Richardson fait gagner deux ordres au lieu d'un !
Exemple numérique complet
Calculons la dérivée première de en à partir des données suivantes :
| x | f(x) |
|---|---|
| 2.3 | 0.34718 |
| 2.4 | 0.31729 |
| 2.5 | 0.28587 |
| 2.6 | 0.25337 |
| 2.7 | 0.22008 |
Étape 1 : Différences centrées avec pas h = 0.1
Cette approximation est d'ordre .
Étape 2 : Différences centrées avec pas 2h = 0.2
Cette approximation est aussi d'ordre , mais avec un pas plus grand.
Étape 3 : Extrapolation de Richardson
Puisque la formule centrée est d'ordre , nous avons et le terme dominant de l'erreur est en . Mais attention : pour les formules centrées, les termes impairs s'annulent, donc le prochain terme est en , pas .
Bilan des précisions
| Méthode | Approximation | Ordre |
|---|---|---|
| Différence centrée, | ||
| Différence centrée, | ||
| Extrapolation de Richardson |
Observation remarquable
L'extrapolation de Richardson a fait passer la précision de à — un gain de deux ordres — sans avoir besoin de calculer de nouvelles valeurs de !
Pourquoi ça marche mieux avec les formules centrées ?
Structure de l'erreur
Pour une formule non centrée (différence avant), l'erreur a la forme :
Pour une formule centrée, grâce à la symétrie, les termes impairs s'annulent :
Conséquence pour Richardson
- Avec une formule non centrée d'ordre : Richardson élimine le terme en , laissant → gain d'un ordre
- Avec une formule centrée d'ordre : Richardson élimine le terme en , le prochain terme est → gain de deux ordres
Application itérée
On peut appliquer Richardson plusieurs fois successivement :
- Partir d'approximations avec
- Première extrapolation : gagner des ordres
- Deuxième extrapolation sur les résultats : gagner encore des ordres
- Et ainsi de suite...
Cette idée est à la base de la méthode de Romberg pour l'intégration numérique.
Résumé
- L'extrapolation de Richardson combine deux approximations (pas et ) pour éliminer le terme d'erreur dominant
- La formule générale est :
- Pour les formules centrées, on gagne deux ordres car les termes impairs de l'erreur sont nuls
- Cette technique ne nécessite pas de nouvelles évaluations de
Pour aller plus loin
Nous avons terminé la partie sur la dérivation numérique. Dans la prochaine leçon, nous introduisons l'intégration numérique et comparons sa stabilité à celle de la dérivation.