Enseignement

Extrapolation de Richardson pour la dérivation

Objectifs d'apprentissage

À la fin de cette leçon, vous serez en mesure de :

  • Expliquer le principe de l'extrapolation de Richardson
  • Combiner deux approximations pour gagner un ordre de précision
  • Appliquer la méthode à un exemple numérique concret
  • Comprendre pourquoi les formules centrées permettent de gagner deux ordres

Prérequis

  • Formules de dérivation numérique (leçon précédente)
  • Phénomène d'instabilité et pas optimal
  • Notation O(hn)O(h^n)

Motivation : sortir de l'impasse

Dans la leçon précédente, nous avons découvert un dilemme fondamental :

  • Réduire hh améliore l'erreur de troncature
  • Mais réduire hh amplifie l'erreur d'arrondi

On est donc coincé : il existe un pas optimal h∗h^* en dessous duquel on ne peut plus descendre. L'idée de Richardson est de contourner ce problème : améliorer la précision sans réduire hh, en combinant deux approximations calculées avec des pas différents.

Principe de l'extrapolation

Structure de l'erreur

Supposons qu'une formule de dérivation donne une approximation fhf_h avec une erreur de la forme :

f′(x)=fh(x)+Chn+O(hn+1)f'(x) = f_h(x) + C h^n + O(h^{n+1})

où CC est une constante qui dépend de ff mais pas de hh.

Calcul avec deux pas

Calculons la même approximation avec le pas 2h2h :

f′(x)=f2h(x)+C(2h)n+O(hn+1)=f2h(x)+2nChn+O(hn+1)f'(x) = f_{2h}(x) + C (2h)^n + O(h^{n+1}) = f_{2h}(x) + 2^n C h^n + O(h^{n+1})

Élimination du terme dominant

En combinant ces deux équations pour éliminer le terme en hnh^n :

2n⋅[f′(x)=fh+Chn](premieˋre eˊquation multiplieˊe par 2n)2^n \cdot [f'(x) = f_h + C h^n] \quad \text{(première équation multipliée par } 2^n \text{)}
1⋅[f′(x)=f2h+2nChn](deuxieˋme eˊquation)1 \cdot [f'(x) = f_{2h} + 2^n C h^n] \quad \text{(deuxième équation)}

En soustrayant :

(2n−1)f′(x)=2nfh−f2h+O(hn+1)(2^n - 1) f'(x) = 2^n f_h - f_{2h} + O(h^{n+1})

D'où :

f′(x)=2nfh−f2h2n−1+O(hn+1)f'(x) = \frac{2^n f_h - f_{2h}}{2^n - 1} + O(h^{n+1})

On réécrit le numérateur en isolant fhf_h :

2nfh−f2h2n−1=(2n−1) fh+fh−f2h2n−1=fh+fh−f2h2n−1\frac{2^n f_h - f_{2h}}{2^n - 1} = \frac{(2^n - 1)\,f_h + f_h - f_{2h}}{2^n - 1} = f_h + \frac{f_h - f_{2h}}{2^n - 1}

La formule d'extrapolation de Richardson est donc :

f′(x)=fh+fh−f2h2n−1+O(hn+1)\boxed{f'(x) = f_h + \frac{f_h - f_{2h}}{2^n - 1} + O(h^{n+1})}

En combinant une approximation d'ordre O(hn)O(h^n) avec pas hh et pas 2h2h, on obtient une approximation d'ordre O(hn+1)O(h^{n+1}).

Cas particuliers

Pour une formule d'ordre O(h)O(h) (n = 1)

f′(x)=fh+fh−f2h2−1=2fh−f2h+O(h2)f'(x) = f_h + \frac{f_h - f_{2h}}{2 - 1} = 2f_h - f_{2h} + O(h^2)

On passe de O(h)O(h) à O(h2)O(h^2).

Pour une formule d'ordre O(h2)O(h^2) (n = 2)

f′(x)=fh+fh−f2h4−1=fh+fh−f2h3+O(h4)f'(x) = f_h + \frac{f_h - f_{2h}}{4 - 1} = f_h + \frac{f_h - f_{2h}}{3} + O(h^4)

On passe de O(h2)O(h^2) à O(h4)O(h^4).

Avec une formule centrée (qui n'a que des termes en puissances paires de hh), Richardson fait gagner deux ordres au lieu d'un. C'est un avantage considérable.

Exemple numérique complet

Calculons la dérivée première de ff en x=2.5x = 2.5 à partir des données suivantes :

xf(x)
2.30.34718
2.40.31729
2.50.28587
2.60.25337
2.70.22008

Étape 1 : Différences centrées avec pas h = 0.1

fh′(2.5)=f(2.6)−f(2.4)2×0.1=0.25337−0.317290.2=−0.3196f'_h(2.5) = \frac{f(2.6) - f(2.4)}{2 \times 0.1} = \frac{0.25337 - 0.31729}{0.2} = -0.3196

Cette approximation est d'ordre O(h2)O(h^2).

Étape 2 : Différences centrées avec pas 2h = 0.2

f2h′(2.5)=f(2.7)−f(2.3)2×0.2=0.22008−0.347180.4=−0.3178f'_{2h}(2.5) = \frac{f(2.7) - f(2.3)}{2 \times 0.2} = \frac{0.22008 - 0.34718}{0.4} = -0.3178

Cette approximation est aussi d'ordre O(h2)O(h^2), mais avec un pas plus grand.

Étape 3 : Extrapolation de Richardson

Puisque la formule centrée est d'ordre O(h2)O(h^2), nous avons n=2n = 2 et le terme dominant de l'erreur est en h2h^2. Mais attention : pour les formules centrées, les termes impairs s'annulent, donc le prochain terme est en h4h^4, pas h3h^3.

f′(2.5)=fh′+fh′−f2h′22−1=−0.3196+−0.3196−(−0.3178)3f'(2.5) = f'_h + \frac{f'_h - f'_{2h}}{2^2 - 1} = -0.3196 + \frac{-0.3196 - (-0.3178)}{3}
f′(2.5)=−0.3196+−0.00183=−0.3196−0.0006=−0.3202f'(2.5) = -0.3196 + \frac{-0.0018}{3} = -0.3196 - 0.0006 = -0.3202

Bilan des précisions

MéthodeApproximationOrdre
Différence centrée, h=0.1h = 0.1−0.3196-0.3196O(h2)O(h^2)
Différence centrée, h=0.2h = 0.2−0.3178-0.3178O(h2)O(h^2)
Extrapolation de Richardson−0.3202-0.3202O(h4)O(h^4)

L'extrapolation de Richardson a fait passer la précision de O(h2)O(h^2) à O(h4)O(h^4) — un gain de deux ordres — sans avoir besoin de calculer de nouvelles valeurs de ff. On a simplement réutilisé des points qu'on avait déjà.

Pourquoi ça marche mieux avec les formules centrées ?

Structure de l'erreur

Pour une formule non centrée (différence avant), l'erreur a la forme :

E=c1h+c2h2+c3h3+⋯E = c_1 h + c_2 h^2 + c_3 h^3 + \cdots

Pour une formule centrée, grâce à la symétrie, les termes impairs s'annulent :

E=c2h2+c4h4+c6h6+⋯E = c_2 h^2 + c_4 h^4 + c_6 h^6 + \cdots

Conséquence pour Richardson

  • Avec une formule non centrée d'ordre O(h)O(h) : Richardson élimine le terme en hh, laissant h2h^2 → gain d'un ordre
  • Avec une formule centrée d'ordre O(h2)O(h^2) : Richardson élimine le terme en h2h^2, le prochain terme est h4h^4 → gain de deux ordres

Application itérée

On peut appliquer Richardson plusieurs fois successivement :

  1. Partir d'approximations avec h,2h,4h,…h, 2h, 4h, \ldots
  2. Première extrapolation : gagner des ordres
  3. Deuxième extrapolation sur les résultats : gagner encore des ordres
  4. Et ainsi de suite...

Cette idée est à la base de la méthode de Romberg pour l'intégration numérique.

Résumé

  • L'extrapolation de Richardson combine deux approximations (pas hh et 2h2h) pour éliminer le terme d'erreur dominant
  • La formule générale est : f′=fh+fh−f2h2n−1f' = f_h + \frac{f_h - f_{2h}}{2^n - 1}
  • Pour les formules centrées, on gagne deux ordres car les termes impairs de l'erreur sont nuls
  • Cette technique ne nécessite pas de nouvelles évaluations de ff

Pour aller plus loin

Nous avons terminé la partie sur la dérivation numérique. Dans la prochaine leçon, nous introduisons l'intégration numérique et comparons sa stabilité à celle de la dérivation.