Introduction à l'intégration numérique
Partie B du chapitre
Nous entamons maintenant la Partie B de ce chapitre, consacrée à l'intégration numérique (quadratures). Les leçons 5.1 à 5.3 portaient sur la dérivation ; les leçons 5.4 à 5.11 portent sur l'intégration.
Objectifs d'apprentissage
À la fin de cette leçon, vous serez en mesure de :
- Comprendre pourquoi l'intégration numérique est nécessaire
- Distinguer les différentes familles de méthodes de quadrature
- Identifier les sources d'erreur en intégration numérique
- Comparer intégration et dérivation du point de vue de la stabilité
Prérequis
- Calcul intégral (intégrales définies)
- Interpolation polynomiale (Chapitre 4)
- Formules de dérivation numérique
Pourquoi l'intégration numérique ?
Limites du calcul symbolique
Beaucoup d'intégrales n'ont pas de primitive exprimable en termes de fonctions élémentaires :
Même quand une primitive existe, elle peut être :
- Trop complexe à évaluer
- Instable numériquement
- Inconnue (fonction tabulée ou données expérimentales)
Applications typiques
| Domaine | Exemple d'intégrale |
|---|---|
| Physique | Travail d'une force, énergie potentielle |
| Statistiques | Fonctions de répartition, probabilités |
| Ingénierie | Moments d'inertie, centres de masse |
| Équations différentielles | Méthodes intégrales, convolution |
| Traitement du signal | Transformées de Fourier, énergie |
Le problème de la quadrature
Formulation
Étant donné une fonction sur un intervalle , on cherche à approximer :
Idée générale
Toutes les méthodes de quadrature reposent sur le même principe :
Principe de la quadrature
On remplace l'intégrale par une somme pondérée de valeurs de en des points choisis, avec des poids .
Les différentes méthodes se distinguent par :
- Le choix des points (équidistants ou non)
- Le choix des poids (dérivés de l'interpolation)
- Le nombre de points utilisés
Familles de méthodes
Classification
| Famille | Points | Caractéristique |
|---|---|---|
| Newton-Cotes | Équidistants | Simple, formules classiques (trapèze, Simpson) |
| Gauss-Legendre | Optimaux (racines de Legendre) | Précision maximale pour n points |
| Romberg | Équidistants + Richardson | Amélioration itérative |
| Adaptatives | Selon l'erreur locale | Raffinement automatique |
Lien avec l'interpolation
La plupart des méthodes de quadrature se basent sur l'interpolation polynomiale :
- Construire un polynôme passant par les points
- Intégrer ce polynôme :
Le résultat donne les poids de la formule de quadrature.
Intégration vs Dérivation : stabilité
Comparaison fondamentale
| Propriété | Dérivation | Intégration |
|---|---|---|
| Stabilité | ❌ Instable | ✅ Stable |
| Effet du bruit | Amplifié (division par h) | Atténué (moyenne) |
| Réduire h | Améliore puis dégrade | Améliore toujours (pratiquement) |
| Pas optimal | Existe et crucial | Pas de limite inférieure pratique |
Pourquoi cette différence ?
- La dérivation est une opération de haute fréquence : elle amplifie les petites oscillations
- L'intégration est une opération de basse fréquence : elle lisse et moyenne les fluctuations
Mathématiquement : la dérivation divise par , l'intégration multiplie par .
Conséquence pratique
En intégration numérique, on peut généralement réduire le pas autant qu'on veut pour améliorer la précision, sans craindre l'amplification des erreurs d'arrondi (contrairement à la dérivation).
Sources d'erreur
Erreur de troncature
C'est l'erreur due au remplacement de par un polynôme d'interpolation. Elle dépend de :
- L'ordre de la méthode (degré du polynôme)
- La régularité de (existence des dérivées)
- La largeur de l'intervalle
Erreur d'arrondi
Beaucoup moins problématique qu'en dérivation :
- Les opérations sont des additions (stables)
- Les coefficients sont généralement positifs
- Pas de division par des petites quantités
Erreur de méthode
Certaines fonctions sont mal adaptées à certaines méthodes :
- Fonctions avec singularités aux bornes
- Fonctions oscillantes (beaucoup de points nécessaires)
- Fonctions avec pics localisés (méthodes adaptatives préférables)
Notation et conventions
Conventions utilisées
Dans ce chapitre, nous utiliserons :
- : nombre de sous-intervalles
- : pas de discrétisation
- : points équidistants
- : valeurs de la fonction
Degré d'exactitude
Définition
Une formule de quadrature a un degré d'exactitude si elle intègre exactement tous les polynômes de degré , mais pas tous les polynômes de degré .
Le degré d'exactitude est un indicateur clé de la qualité d'une méthode.
Résumé
- L'intégration numérique (quadrature) approxime par une somme pondérée
- Contrairement à la dérivation, l'intégration est stable : les erreurs sont atténuées
- Les méthodes se basent sur l'interpolation polynomiale
- Le degré d'exactitude caractérise la précision d'une formule
Pour aller plus loin
Dans la prochaine leçon, nous étudierons les formules de Newton-Cotes (trapèze, Simpson), qui sont les méthodes de quadrature les plus classiques.