Quadratures simples de Newton-Cotes
Objectifs d'apprentissage
À la fin de cette leçon, vous serez en mesure de :
- Construire les formules du trapèze et de Simpson à partir du polynôme de Newton-Gregory
- Dériver les expressions d'erreur de troncature pour chaque méthode
- Comprendre pourquoi Simpson est exact pour les polynômes de degré 3
- Appliquer les formules sur un exemple numérique
Prérequis
- Interpolation polynomiale et polynôme de Newton-Gregory (chapitre 4)
- Principe de la quadrature et degré d'exactitude (leçon précédente)
- Intégration de polynômes
De l'interpolation à l'intégration
Dans la leçon précédente, nous avons vu que toute quadrature se ramène à une somme pondérée . Mais comment trouver les poids ?
La réponse est la même stratégie que dans tout ce chapitre : on remplace par son polynôme d'interpolation , puis on intègre ce polynôme :
Les formules de Newton-Cotes utilisent le polynôme de Newton-Gregory sur des points équidistants . L'intégrale du polynôme donne une combinaison linéaire des avec des poids qui dépendent uniquement de :
Voyons ce que cela donne pour .
Règle du trapèze ()
Construction
Avec 2 points, le polynôme d'interpolation est une droite. Géométriquement, l'aire sous cette droite forme un trapèze — d'où le nom.
Le polynôme de Newton-Gregory de degré 1 est :
On intègre de à . Puisque et que va de 0 à 1 :
En remplaçant :
Règle du trapèze
C'est l'aire du trapèze de bases et et de hauteur .
Dérivation de l'erreur de troncature
D'où vient l'erreur ? De l'interpolation ! Rappelons que , donc :
L'erreur d'interpolation pour un polynôme de degré 1 est :
Intégrons cette erreur. Le produit ne change pas de signe sur (il est toujours ), ce qui nous permet d'appliquer le théorème de la moyenne généralisé :
pour un certain . Calculons l'intégrale avec le changement :
En injectant :
Erreur du trapèze simple
L'erreur est en . Le signe négatif indique que le trapèze sous-estime l'intégrale quand est concave vers le haut ().
Degré d'exactitude
Vérifions : pour , le trapèze donne = valeur exacte. Pour , exact aussi. Pour , ce n'est plus exact (car ).
Le trapèze a un degré d'exactitude de 1 : il intègre exactement tous les polynômes de degré .
Règle de Simpson 1/3 ()
Construction
Avec 3 points, le polynôme d'interpolation est une parabole. Au lieu d'approcher la courbe par une droite (trapèze), on l'approche par une parabole qui épouse mieux les courbures de .
Le polynôme de Newton-Gregory de degré 2 est :
On intègre de à , soit de 0 à 2 :
Calculons chaque intégrale séparément :
Donc :
En substituant et :
Regroupons les termes :
Règle de Simpson 1/3
Les coefficients 1, 4, 1 (divisés par 3) donnent le nom « Simpson 1/3 ». Le point central a un poids 4 fois plus grand que les extrémités.
Dérivation de l'erreur de troncature
Pour le trapèze, nous avons dérivé l'erreur en intégrant le reste d'interpolation. Pour Simpson, cette approche est plus délicate : l'intégrale du reste d'ordre 2 s'annule par symétrie (nous allons voir pourquoi juste après). Il faut donc aller un ordre plus loin.
L'approche la plus propre utilise les développements de Taylor autour du point central . Posons comme centre de symétrie et développons :
Intégrale exacte (Taylor de autour de , intégrée de à ) :
(Les termes impairs s'annulent par symétrie de l'intervalle autour de .)
Formule de Simpson : développons et en Taylor :
Donc :
Erreur = intégrale exacte − formule de Simpson :
Erreur de Simpson 1/3
L'erreur est en , soit deux ordres de mieux que le trapèze () !
Pourquoi Simpson est exact pour les cubiques
Vous avez peut-être remarqué quelque chose d'étonnant : Simpson 1/3, construit sur une parabole (degré 2), a une erreur qui fait intervenir , pas . Cela signifie que la formule est exacte pour les polynômes de degré , pas seulement .
La raison est la symétrie. L'intervalle est symétrique autour de . Quand on intègre l'erreur d'interpolation par , le reste contient le facteur . Ce produit est une fonction impaire par rapport à :
Cette fonction impaire intégrée sur un intervalle symétrique donne zéro. Le terme cubique de l'erreur s'annule, et il faut aller au terme suivant ().
La symétrie fait gagner un ordre gratuit
C'est exactement le même phénomène que pour la différence centrée en dérivation : la symétrie de la formule annule les termes d'erreur impairs. En dérivation, cela donnait au lieu de . En intégration, cela donne au lieu de .
Le degré d'exactitude de Simpson 1/3 est donc 3, pas 2.
Règle de Simpson 3/8 ()
Construction
Avec 4 points, on interpole par un polynôme de degré 3 :
On intègre de à , soit de 0 à 3. Calculons les intégrales nécessaires :
Donc :
En substituant les différences finies et en regroupant les coefficients de chaque :
D'où :
Règle de Simpson 3/8
Les coefficients 1, 3, 3, 1 (multipliés par 3/8) donnent le nom « Simpson 3/8 ».
Erreur de troncature
Par le même argument de symétrie que pour Simpson 1/3 (l'intervalle est symétrique autour de ), le terme d'erreur d'ordre s'annule, et on obtient :
L'erreur est aussi en , comme Simpson 1/3. Le degré d'exactitude est également 3.
Simpson 1/3 vs 3/8
Les deux formules de Simpson ont le même ordre d'erreur , mais le coefficient de Simpson 1/3 () est plus petit que celui de Simpson 3/8 (). À nombre de points égal, Simpson 1/3 est donc légèrement plus précis. C'est pourquoi il est plus couramment utilisé.
Exemple numérique :
Testons les trois formules sur une intégrale dont on connaît la valeur exacte :
Trapèze simple (, 2 points)
Erreur : — catastrophique ! La droite reliant les deux points passe par zéro.
Vérifions avec la formule d'erreur : . La borne est cohérente.
Simpson 1/3 simple (, 3 points)
Erreur : — beaucoup mieux !
Simpson 3/8 simple (, 4 points)
Erreur : — encore mieux.
Bilan
| Méthode | Points | Résultat | Erreur | Erreur théorique |
|---|---|---|---|---|
| Trapèze | 2 | 0 | 2.000 | |
| Simpson 1/3 | 3 | 2.0944 | 0.094 | |
| Simpson 3/8 | 4 | 2.0404 | 0.040 |
Les formules simples ne suffisent pas
Même Simpson 3/8, avec 4 points, donne encore une erreur de 2%. Pour des calculs d'ingénierie, on a souvent besoin de précisions de ou mieux. Comment faire ?
La solution : appliquer ces formules par morceaux sur des sous-intervalles. C'est l'objet de la leçon suivante sur les quadratures composites.
Tableau récapitulatif
| Méthode | Points | Formule | Erreur simple | Degré exact |
|---|---|---|---|---|
| Trapèze | 2 | 1 | ||
| Simpson 1/3 | 3 | 3 | ||
| Simpson 3/8 | 4 | 3 |
Résumé
- Les formules de Newton-Cotes intègrent le polynôme d'interpolation sur des points équidistants
- L'erreur du trapèze se dérive directement du reste d'interpolation :
- L'erreur de Simpson se dérive par développement de Taylor :
- La symétrie fait gagner un ordre gratuit : Simpson est exact pour les cubiques, pas seulement les paraboles
- Ces formules simples sont un point de départ ; en pratique, on les combine en quadratures composites
Pour aller plus loin
Dans la leçon suivante, nous verrons comment appliquer ces formules par morceaux (quadratures composites) pour atteindre des précisions arbitraires. Nous calculerons aussi le nombre de sous-intervalles nécessaire pour une tolérance donnée — et la différence entre trapèze et Simpson sera spectaculaire.