Quadratures simples de Newton-Cotes
Objectifs d'apprentissage
À la fin de cette leçon, vous serez en mesure de :
- Expliquer le principe des formules de quadrature de Newton-Cotes
- Appliquer la règle du trapèze et les règles de Simpson (1/3 et 3/8)
- Calculer les bornes d'erreur pour chaque méthode
- Comprendre pourquoi Simpson est exact pour les polynômes de degré 3
Prérequis
- Interpolation polynomiale (Chapitre 4)
- Intégration de polynômes
- Polynôme de Newton-Gregory
Motivation : retour au problème de la fusée
Reprenons notre fusée. Nous connaissons maintenant la vitesse (obtenue par dérivation numérique de la position). Mais combien de carburant a été consommé entre et ?
Si le débit de carburant est , la consommation totale est :
Problème d'intégration numérique
Nous connaissons uniquement en des points discrets . Comment estimer l'intégrale ?
Principe des quadratures de Newton-Cotes
L'idée est la même que pour la dérivation : remplacer par son polynôme d'interpolation , puis intégrer ce polynôme.
Les formules de Newton-Cotes sont obtenues en utilisant le polynôme de Newton-Gregory sur des points équidistants.
Formule générale
Pour points équidistants avec :
où les sont des poids qui dépendent uniquement de .
Règle du trapèze (n = 1)
Dérivation
Avec 2 points, le polynôme d'interpolation est une droite. L'aire sous cette droite est un trapèze.
En intégrant de à (soit de 0 à 1) :
Règle du trapèze
C'est l'aire du trapèze de bases et et de hauteur .
Erreur de troncature
L'erreur est en . La règle du trapèze est exacte pour les polynômes de degré ≤ 1.
Règle de Simpson 1/3 (n = 2)
Dérivation
Avec 3 points, le polynôme d'interpolation est une parabole. En intégrant :
Calculons chaque terme :
- , donc contribution :
Donc :
En substituant et :
Règle de Simpson 1/3
Les coefficients 1, 4, 1 (divisés par 3) expliquent le nom "Simpson 1/3".
Erreur de troncature
L'erreur est en . Fait remarquable : Simpson 1/3 est exact pour les polynômes de degré ≤ 3 (pas seulement degré 2).
Règle de Simpson 3/8 (n = 3)
Avec 4 points et un polynôme de degré 3 :
Règle de Simpson 3/8
Les coefficients 1, 3, 3, 1 (divisés par 8, multipliés par 3) expliquent le nom "Simpson 3/8".
Erreur de troncature
L'erreur est aussi en , comme Simpson 1/3.
Exemple numérique : intégration de
Calculons avec les différentes méthodes.
| x | f(x) = x³ |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 8 |
| 3 | 27 |
| 4 | 64 |
| 5 | 125 |
| 6 | 216 |
Valeur exacte :
Règle du trapèze (n = 1, h = 6)
Erreur : — très mauvais !
Règle de Simpson 1/3 (n = 2, h = 3)
Erreur : 0 — exact !
Règle de Simpson 3/8 (n = 3, h = 2)
Erreur : 0 — exact !
Pourquoi Simpson est exact pour x³ ?
Les formules de Simpson ont une erreur proportionnelle à . Or, pour , on a .
Simpson est donc exact pour tous les polynômes de degré ≤ 3, même si elle est construite sur un polynôme d'interpolation de degré 2 ou 3.
Tableau récapitulatif
| Méthode | Points | Formule | Erreur | Degré exact |
|---|---|---|---|---|
| Trapèze | 2 | ≤ 1 | ||
| Simpson 1/3 | 3 | ≤ 3 | ||
| Simpson 3/8 | 4 | ≤ 3 |
Résumé
- Les formules de Newton-Cotes intègrent le polynôme d'interpolation sur des points équidistants
- La règle du trapèze (2 points) est simple mais peu précise : erreur en
- La règle de Simpson 1/3 (3 points) : erreur en , exacte pour degré ≤ 3
- La règle de Simpson 3/8 (4 points) : même ordre d'erreur que Simpson 1/3
- Simpson est plus précis que prévu grâce à l'annulation du terme d'erreur en
Pour aller plus loin
Ces formules "simples" ne portent que sur un petit intervalle. Dans la prochaine leçon, nous verrons les quadratures composites, qui appliquent ces formules par morceaux sur tout l'intervalle d'intégration.