Quadratures simples de Newton-Cotes

Objectifs d'apprentissage

À la fin de cette leçon, vous serez en mesure de :

Construire les formules du trapèze et de Simpson à partir du polynôme de Newton-Gregory
Dériver les expressions d'erreur de troncature pour chaque méthode
Comprendre pourquoi Simpson est exact pour les polynômes de degré 3
Appliquer les formules sur un exemple numérique

Prérequis

Interpolation polynomiale et polynôme de Newton-Gregory (chapitre 4)
Principe de la quadrature et degré d'exactitude (leçon précédente)
Intégration de polynômes

De l'interpolation à l'intégration

Dans la leçon précédente, nous avons vu que toute quadrature se ramène à une somme pondérée $\sum w_i f(x_i)$ . Mais comment trouver les poids $w_i$ ?

La réponse est la même stratégie que dans tout ce chapitre : on remplace $f$ par son polynôme d'interpolation $P_n$ , puis on intègre ce polynôme :

\int_a^b f(x)\,dx \approx \int_a^b P_n(x)\,dx

Les formules de Newton-Cotes utilisent le polynôme de Newton-Gregory sur des points équidistants $x_i = x_0 + ih$ . L'intégrale du polynôme donne une combinaison linéaire des $f_i$ avec des poids qui dépendent uniquement de $n$ :

\int_{x_0}^{x_n} f(x)\,dx \approx h \sum_{i=0}^{n} w_i f_i

Voyons ce que cela donne pour $n = 1, 2, 3$ .

Règle du trapèze ( $n = 1$ )

Construction

Avec 2 points, le polynôme d'interpolation est une droite. Géométriquement, l'aire sous cette droite forme un trapèze — d'où le nom.

Le polynôme de Newton-Gregory de degré 1 est :

P_1(x) = f_0 + s \Delta f_0 \quad \text{où } s = \frac{x - x_0}{h}

On intègre de $x_0$ à $x_1$ . Puisque $dx = h\,ds$ et que $s$ va de 0 à 1 :

\int_{x_0}^{x_1} P_1(x)\,dx = h \int_0^1 (f_0 + s \Delta f_0)\,ds = h \left[f_0 s + \frac{s^2}{2} \Delta f_0\right]_0^1 = h \left[f_0 + \frac{\Delta f_0}{2}\right]

En remplaçant $\Delta f_0 = f_1 - f_0$ :

= h \left[f_0 + \frac{f_1 - f_0}{2}\right] = \frac{h}{2}(f_0 + f_1)

💡

Règle du trapèze

\int_{x_0}^{x_1} f(x)\,dx \approx \frac{h}{2}(f_0 + f_1)

C'est l'aire du trapèze de bases $f_0$ et $f_1$ et de hauteur $h$ .

Dérivation de l'erreur de troncature

D'où vient l'erreur ? De l'interpolation ! Rappelons que $f(x) = P_1(x) + E_1(x)$ , donc :

\int_{x_0}^{x_1} f(x)\,dx = \int_{x_0}^{x_1} P_1(x)\,dx + \int_{x_0}^{x_1} E_1(x)\,dx

L'erreur d'interpolation pour un polynôme de degré 1 est :

E_1(x) = \frac{f''(\xi(x))}{2!}(x - x_0)(x - x_1)

Intégrons cette erreur. Le produit $(x - x_0)(x - x_1)$ ne change pas de signe sur $[x_0, x_1]$ (il est toujours $\leq 0$ ), ce qui nous permet d'appliquer le théorème de la moyenne généralisé :

\int_{x_0}^{x_1} E_1(x)\,dx = \frac{f''(\xi)}{2} \int_{x_0}^{x_1} (x - x_0)(x - x_1)\,dx

pour un certain $\xi \in [x_0, x_1]$ . Calculons l'intégrale avec le changement $u = x - x_0$ :

\int_0^h u(u - h)\,du = \int_0^h (u^2 - hu)\,du = \left[\frac{u^3}{3} - \frac{hu^2}{2}\right]_0^h = \frac{h^3}{3} - \frac{h^3}{2} = -\frac{h^3}{6}

En injectant :

E_{\text{trapèze}} = \frac{f''(\xi)}{2} \times \left(-\frac{h^3}{6}\right) = -\frac{h^3}{12}f''(\xi)

⚠️

Erreur du trapèze simple

E_{\text{trapèze}} = -\frac{h^3}{12}f''(\xi) \quad \text{pour un certain } \xi \in [x_0, x_1]

L'erreur est en $O(h^3)$ . Le signe négatif indique que le trapèze surestime l'intégrale quand $f$ est concave vers le haut ( $f'' > 0$ ) : la corde passe alors au-dessus de la courbe.

Degré d'exactitude

Vérifions : pour $f(x) = 1$ , le trapèze donne $h/2 \times (1+1) = h$ = valeur exacte. Pour $f(x) = x$ , exact aussi. Pour $f(x) = x^2$ , ce n'est plus exact (car $f'' = 2 \neq 0$ ).

Le trapèze a un degré d'exactitude de 1 : il intègre exactement tous les polynômes de degré $\leq 1$ .

Règle de Simpson 1/3 ( $n = 2$ )

Construction

Avec 3 points, le polynôme d'interpolation est une parabole. Au lieu d'approcher la courbe par une droite (trapèze), on l'approche par une parabole qui épouse mieux les courbures de $f$ .

Le polynôme de Newton-Gregory de degré 2 est :

P_2(x) = f_0 + s\Delta f_0 + \frac{s(s-1)}{2}\Delta^2 f_0

On intègre de $x_0$ à $x_2$ , soit $s$ de 0 à 2 :

\int_{x_0}^{x_2} P_2(x)\,dx = h \int_0^2 \left(f_0 + s\Delta f_0 + \frac{s(s-1)}{2}\Delta^2 f_0\right)ds

Calculons chaque intégrale séparément :

\int_0^2 1\,ds = 2, \quad \int_0^2 s\,ds = 2, \quad \int_0^2 \frac{s(s-1)}{2}\,ds = \frac{1}{2}\left[\frac{s^3}{3} - \frac{s^2}{2}\right]_0^2 = \frac{1}{2}\left(\frac{8}{3} - 2\right) = \frac{1}{3}

Donc :

\int_{x_0}^{x_2} P_2(x)\,dx = h\left(2f_0 + 2\Delta f_0 + \frac{1}{3}\Delta^2 f_0\right)

En substituant $\Delta f_0 = f_1 - f_0$ et $\Delta^2 f_0 = f_2 - 2f_1 + f_0$ :

= h\left(2f_0 + 2(f_1 - f_0) + \frac{1}{3}(f_2 - 2f_1 + f_0)\right)

Regroupons les termes :

= h\left(\underbrace{\left(2 - 2 + \frac{1}{3}\right)}_{1/3}f_0 + \underbrace{\left(2 - \frac{2}{3}\right)}_{4/3}f_1 + \underbrace{\frac{1}{3}}_{1/3}f_2\right) = \frac{h}{3}(f_0 + 4f_1 + f_2)

💡

Règle de Simpson 1/3

\int_{x_0}^{x_2} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}(f_0 + 4f_1 + f_2)

Les coefficients 1, 4, 1 (divisés par 3) donnent le nom « Simpson 1/3 ». Le point central $f_1$ a un poids 4 fois plus grand que les extrémités.

Dérivation de l'erreur de troncature

Pour le trapèze, nous avons dérivé l'erreur en intégrant le reste d'interpolation. Pour Simpson, cette approche est plus délicate : l'intégrale du reste d'ordre 2 s'annule par symétrie (nous allons voir pourquoi juste après). Il faut donc aller un ordre plus loin.

L'approche la plus propre utilise les développements de Taylor autour du point central $x_1$ . Posons $x_1$ comme centre de symétrie et développons :

Intégrale exacte (Taylor de $f$ autour de $x_1$ , intégrée de $x_1 - h$ à $x_1 + h$ ) :

\int_{x_0}^{x_2} f(x)\,dx = 2hf_1 + \frac{h^3}{3}f''_1 + \frac{h^5}{60}f^{(iv)}_1 + O(h^7)

(Les termes impairs s'annulent par symétrie de l'intervalle autour de $x_1$ .)

Formule de Simpson : développons $f_0 = f(x_1 - h)$ et $f_2 = f(x_1 + h)$ en Taylor :

f_0 + f_2 = 2f_1 + h^2 f''_1 + \frac{h^4}{12}f^{(iv)}_1 + O(h^6)

Donc :

\frac{h}{3}(f_0 + 4f_1 + f_2) = \frac{h}{3}\left(6f_1 + h^2 f''_1 + \frac{h^4}{12}f^{(iv)}_1 + \cdots\right) = 2hf_1 + \frac{h^3}{3}f''_1 + \frac{h^5}{36}f^{(iv)}_1 + O(h^7)

Erreur = intégrale exacte − formule de Simpson :

E = \frac{h^5}{60}f^{(iv)}_1 - \frac{h^5}{36}f^{(iv)}_1 = h^5 f^{(iv)}_1\left(\frac{1}{60} - \frac{1}{36}\right) = h^5 f^{(iv)}_1 \times \frac{36 - 60}{60 \times 36}

E = -\frac{h^5}{90}f^{(iv)}(\xi)

⚠️

Erreur de Simpson 1/3

E_{\text{Simpson 1/3}} = -\frac{h^5}{90}f^{(iv)}(\xi) \quad \text{pour un certain } \xi \in [x_0, x_2]

L'erreur est en $O(h^5)$ , soit deux ordres de mieux que le trapèze ( $O(h^3)$ ) !

Pourquoi Simpson est exact pour les cubiques

Vous avez peut-être remarqué quelque chose d'étonnant : Simpson 1/3, construit sur une parabole (degré 2), a une erreur qui fait intervenir $f^{(iv)}$ , pas $f'''$ . Cela signifie que la formule est exacte pour les polynômes de degré $\leq 3$ , pas seulement $\leq 2$ .

La raison est la symétrie. L'intervalle $[x_0, x_2]$ est symétrique autour de $x_1$ . Quand on intègre l'erreur d'interpolation par $P_2$ , le reste contient le facteur $(x - x_0)(x - x_1)(x - x_2)$ . Ce produit est une fonction impaire par rapport à $x_1$ :

(x_1 + t - x_0)(t)(x_1 + t - x_2) = t(t + h)(t - h) = t(t^2 - h^2)

Cette fonction impaire intégrée sur un intervalle symétrique $[-h, h]$ donne zéro. Le terme cubique de l'erreur s'annule, et il faut aller au terme suivant ( $h^5$ ).

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La symétrie fait gagner un ordre gratuit

C'est exactement le même phénomène que pour la différence centrée en dérivation : la symétrie de la formule annule les termes d'erreur impairs. En dérivation, cela donnait $O(h^2)$ au lieu de $O(h)$ . En intégration, cela donne $O(h^5)$ au lieu de $O(h^4)$ .

Le degré d'exactitude de Simpson 1/3 est donc 3, pas 2.

Règle de Simpson 3/8 ( $n = 3$ )

Construction

Avec 4 points, on interpole par un polynôme de degré 3 :

P_3(x) = f_0 + s\Delta f_0 + \frac{s(s-1)}{2}\Delta^2 f_0 + \frac{s(s-1)(s-2)}{6}\Delta^3 f_0

On intègre de $x_0$ à $x_3$ , soit $s$ de 0 à 3. Calculons les intégrales nécessaires :

\int_0^3 1\,ds = 3, \quad \int_0^3 s\,ds = \frac{9}{2}

\int_0^3 \frac{s(s-1)}{2}\,ds = \frac{1}{2}\left[\frac{s^3}{3} - \frac{s^2}{2}\right]_0^3 = \frac{1}{2}\left(9 - \frac{9}{2}\right) = \frac{9}{4}

\int_0^3 \frac{s(s-1)(s-2)}{6}\,ds = \frac{1}{6}\int_0^3(s^3 - 3s^2 + 2s)\,ds = \frac{1}{6}\left[\frac{s^4}{4} - s^3 + s^2\right]_0^3

= \frac{1}{6}\left(\frac{81}{4} - 27 + 9\right) = \frac{1}{6} \times \frac{81 - 108 + 36}{4} = \frac{1}{6} \times \frac{9}{4} = \frac{3}{8}

Donc :

\int_{x_0}^{x_3} P_3(x)\,dx = h\left(3f_0 + \frac{9}{2}\Delta f_0 + \frac{9}{4}\Delta^2 f_0 + \frac{3}{8}\Delta^3 f_0\right)

En substituant les différences finies et en regroupant les coefficients de chaque $f_i$ :

\text{coeff. de } f_0 : 3 - \frac{9}{2} + \frac{9}{4} - \frac{3}{8} = \frac{24 - 36 + 18 - 3}{8} = \frac{3}{8}

\text{coeff. de } f_1 : \frac{9}{2} - \frac{18}{4} + \frac{9}{8} = \frac{36 - 36 + 9}{8} = \frac{9}{8}

\text{coeff. de } f_2 : \frac{9}{4} - \frac{9}{8} = \frac{18 - 9}{8} = \frac{9}{8}

\text{coeff. de } f_3 : \frac{3}{8}

D'où :

\int_{x_0}^{x_3} P_3\,dx = h\left(\frac{3}{8}f_0 + \frac{9}{8}f_1 + \frac{9}{8}f_2 + \frac{3}{8}f_3\right) = \frac{3h}{8}(f_0 + 3f_1 + 3f_2 + f_3)

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Règle de Simpson 3/8

\int_{x_0}^{x_3} f(x)\,dx \approx \frac{3h}{8}(f_0 + 3f_1 + 3f_2 + f_3)

Les coefficients 1, 3, 3, 1 (multipliés par 3/8) donnent le nom « Simpson 3/8 ».

Erreur de troncature

Par le même argument de symétrie que pour Simpson 1/3 (l'intervalle est symétrique autour de $x_{3/2}$ ), le terme d'erreur d'ordre $h^4$ s'annule, et on obtient :

E_{\text{Simpson 3/8}} = -\frac{3h^5}{80}f^{(iv)}(\xi)

L'erreur est aussi en $O(h^5)$ , comme Simpson 1/3. Le degré d'exactitude est également 3.

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Simpson 1/3 vs 3/8

Les deux formules de Simpson ont le même ordre d'erreur $O(h^5)$ , mais le coefficient de Simpson 1/3 ( $1/90$ ) est plus petit que celui de Simpson 3/8 ( $3/80$ ). À nombre de points égal, Simpson 1/3 est donc légèrement plus précis. C'est pourquoi il est plus couramment utilisé.

Exemple numérique : $\int_0^\pi \sin(x)\,dx$

Testons les trois formules sur une intégrale dont on connaît la valeur exacte :

\int_0^\pi \sin(x)\,dx = [-\cos(x)]_0^\pi = -(-1) + 1 = 2

Trapèze simple ( $h = \pi$ , 2 points)

A = \frac{\pi}{2}(\sin 0 + \sin \pi) = \frac{\pi}{2}(0 + 0) = 0

Erreur : $|0 - 2| = 2$ — catastrophique ! La droite reliant les deux points passe par zéro.

Vérifions avec la formule d'erreur : $|E| = \frac{h^3}{12}|f''(\xi)| = \frac{\pi^3}{12} \times |{-}\sin(\xi)| \leq \frac{\pi^3}{12} \approx 2.58$ . La borne est cohérente.

Simpson 1/3 simple ( $h = \pi/2$ , 3 points)

A = \frac{\pi/2}{3}\left(\sin 0 + 4\sin\frac{\pi}{2} + \sin \pi\right) = \frac{\pi}{6}(0 + 4 + 0) = \frac{2\pi}{3} \approx 2.0944

Erreur : $|2.0944 - 2| \approx 0.094$ — beaucoup mieux !

Simpson 3/8 simple ( $h = \pi/3$ , 4 points)

A = \frac{3(\pi/3)}{8}\left(\sin 0 + 3\sin\frac{\pi}{3} + 3\sin\frac{2\pi}{3} + \sin \pi\right)

= \frac{\pi}{8}\left(0 + 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} + 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} + 0\right) = \frac{\pi}{8} \times 3\sqrt{3} \approx 2.0405

Erreur : $|2.0405 - 2| \approx 0.040$ — encore mieux.

Bilan

Méthode	Points	Résultat	Erreur	Erreur théorique
Trapèze	2	0	2.000	$O(h^3) \approx 2.58$
Simpson 1/3	3	2.0944	0.094	$O(h^5) \approx 0.10$
Simpson 3/8	4	2.0405	0.040	$O(h^5) \approx 0.047$

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Les formules simples ne suffisent pas

Même Simpson 3/8, avec 4 points, donne encore une erreur de 2%. Pour des calculs d'ingénierie, on a souvent besoin de précisions de $10^{-4}$ ou mieux. Comment faire ?

La solution : appliquer ces formules par morceaux sur des sous-intervalles. C'est l'objet de la leçon suivante sur les quadratures composites.

Tableau récapitulatif

Méthode	Points	Formule	Erreur simple	Degré exact
Trapèze	2	$\frac{h}{2}(f_0 + f_1)$	$-\frac{h^3}{12}f''(\xi)$	1
Simpson 1/3	3	$\frac{h}{3}(f_0 + 4f_1 + f_2)$	$-\frac{h^5}{90}f^{(iv)}(\xi)$	3
Simpson 3/8	4	$\frac{3h}{8}(f_0 + 3f_1 + 3f_2 + f_3)$	$-\frac{3h^5}{80}f^{(iv)}(\xi)$	3

Résumé

Les formules de Newton-Cotes intègrent le polynôme d'interpolation sur des points équidistants
L'erreur du trapèze se dérive directement du reste d'interpolation : $-h^3/12 \cdot f''(\xi)$
L'erreur de Simpson se dérive par développement de Taylor : $-h^5/90 \cdot f^{(iv)}(\xi)$
La symétrie fait gagner un ordre gratuit : Simpson est exact pour les cubiques, pas seulement les paraboles
Ces formules simples sont un point de départ ; en pratique, on les combine en quadratures composites

Pour aller plus loin

Dans la leçon suivante, nous verrons comment appliquer ces formules par morceaux (quadratures composites) pour atteindre des précisions arbitraires. Nous calculerons aussi le nombre de sous-intervalles nécessaire pour une tolérance donnée — et la différence entre trapèze et Simpson sera spectaculaire.

Quadratures simples de Newton-Cotes

Objectifs d'apprentissage

Prérequis

De l'interpolation à l'intégration

Règle du trapèze (n=1n = 1n=1)

Construction

Règle du trapèze

Dérivation de l'erreur de troncature

Erreur du trapèze simple

Degré d'exactitude

Règle de Simpson 1/3 (n=2n = 2n=2)

Construction

Règle de Simpson 1/3

Dérivation de l'erreur de troncature

Erreur de Simpson 1/3

Pourquoi Simpson est exact pour les cubiques

La symétrie fait gagner un ordre gratuit

Règle de Simpson 3/8 (n=3n = 3n=3)

Construction

Règle de Simpson 3/8

Erreur de troncature

Simpson 1/3 vs 3/8

Exemple numérique : ∫0πsin⁡(x) dx\int_0^\pi \sin(x)\,dx∫0π​sin(x)dx

Trapèze simple (h=πh = \pih=π, 2 points)

Simpson 1/3 simple (h=π/2h = \pi/2h=π/2, 3 points)

Simpson 3/8 simple (h=π/3h = \pi/3h=π/3, 4 points)

Bilan

Les formules simples ne suffisent pas

Tableau récapitulatif

Résumé

Pour aller plus loin

Règle du trapèze ( $n = 1$ )

Règle de Simpson 1/3 ( $n = 2$ )

Règle de Simpson 3/8 ( $n = 3$ )

Exemple numérique : $\int_0^\pi \sin(x)\,dx$

Trapèze simple ( $h = \pi$ , 2 points)

Simpson 1/3 simple ( $h = \pi/2$ , 3 points)

Simpson 3/8 simple ( $h = \pi/3$ , 4 points)