Quadratures composites (trapèze et Simpson)

Objectifs d'apprentissage

À la fin de cette leçon, vous serez en mesure de :

• Construire les formules composites à partir des formules simples
• Dériver les erreurs composites à partir des erreurs simples
• Calculer le nombre de sous-intervalles nécessaire pour une tolérance donnée
• Comparer l'efficacité du trapèze et de Simpson sur un même problème

Prérequis

• Règle du trapèze et règles de Simpson (leçon précédente)
• Erreurs de troncature des formules simples

Le problème des formules simples

Dans la leçon précédente, nous avons vu que les formules de Newton-Cotes simples donnent des résultats médiocres sur un grand intervalle. Pour $\int_0^\pi \sin(x)\,dx = 2$ :

• Le trapèze simple donnait 0 (erreur de 100%)
• Simpson 1/3 donnait 2.094 (erreur de 4.7%)
• Simpson 3/8 donnait 2.040 (erreur de 2%)

Le problème n'est pas la méthode, c'est que l'intervalle $[0, \pi]$ est trop large pour être bien approximé par un seul polynôme de degré 1, 2 ou 3.

Trapèze composite

Construction

On divise $[a, b]$ en $n$ sous-intervalles de largeur $h = \frac{b-a}{n}$, avec les points $x_i = a + ih$ pour $i = 0, 1, \ldots, n$.

Sur chaque sous-intervalle $[x_i, x_{i+1}]$, on applique le trapèze simple :

En sommant les $n$ contributions :

Chaque $f_i$ intermédiaire apparaît deux fois (une fois comme borne droite, une fois comme borne gauche). Seuls $f_0$ et $f_n$ n'apparaissent qu'une fois :

Dérivation de l'erreur composite

Sur chaque sous-intervalle, l'erreur du trapèze simple est :

L'erreur totale est la somme des $n$ erreurs :

Nous avons une somme de $n$ valeurs de $f''$. Par le théorème de la valeur intermédiaire généralisé, il existe $\xi \in [a, b]$ tel que :

Donc :

Or $n = \frac{b-a}{h}$, d'où $nh^3 = (b-a)h^2$ :

Exemple : $\int_0^\pi \sin(x)\,dx$ avec $n = 4$

Avec $h = \pi/4$ et les points $x_i = 0, \pi/4, \pi/2, 3\pi/4, \pi$ :

Erreur : $|2 - 1.896| = 0.104$

Borne d'erreur théorique : pour $\sin(x)$, $f''(x) = -\sin(x)$ donc $\max|f''| = 1$.

L'erreur réelle (0.104) est bien en dessous de la borne théorique (0.162).

Combien de sous-intervalles pour une erreur $< 10^{-4}$ ?

On veut :

Pour $\int_0^\pi \sin(x)\,dx$ avec $\max|f''| = 1$ :

Simpson 1/3 composite

Construction

Pour appliquer Simpson 1/3 par morceaux, chaque application nécessite 3 points (un sous-intervalle de largeur $2h$). On regroupe donc les sous-intervalles par paires.

Conséquence : $n$ doit être pair.

Sur chaque paire $[x_{2i}, x_{2i+2}]$ :

En sommant les $n/2$ paires, on observe que :

• Les points extrêmes ($f_0$ et $f_n$) ont un coefficient 1
• Les points impairs ($f_1, f_3, f_5, \ldots$) ont un coefficient 4 — ce sont les milieux de chaque paire
• Les points pairs intérieurs ($f_2, f_4, f_6, \ldots$) ont un coefficient 2 — ce sont les frontières entre paires

Dérivation de l'erreur composite

Sur chaque paire de sous-intervalles, l'erreur de Simpson simple est :

Il y a $n/2$ paires. En sommant :

Or $n = \frac{b-a}{h}$, d'où $\frac{n}{2} h^5 = \frac{(b-a)}{2} h^4$ :

Exemple : $\int_0^\pi \sin(x)\,dx$ avec $n = 4$

Avec les mêmes 5 points que pour le trapèze ($n = 4$ est pair, tout va bien) :

Erreur : $|2 - 2.0046| = 0.0046$

Comparons : avec les mêmes 5 points, le trapèze donnait une erreur de 0.104 et Simpson donne 0.0046 — c'est 23 fois plus précis !

Borne d'erreur théorique : pour $\sin(x)$, $f^{(iv)}(x) = \sin(x)$ donc $\max|f^{(iv)}| = 1$.

L'erreur réelle (0.0046) est bien en dessous de la borne (0.0066).

Combien de sous-intervalles pour une erreur $< 10^{-4}$ ?

Comme $n$ doit être pair : $n = 12$ suffit (soit 13 évaluations de $f$).

Simpson 3/8 composite et complémentarité avec Simpson 1/3

Le problème de la parité

Simpson 1/3 composite exige que $n$ soit pair. Mais en pratique, on ne choisit pas toujours $n$ librement :

• Les données peuvent provenir de mesures avec un nombre fixe de points
• Un capteur peut fournir 8 points (7 intervalles — impair !)
• Un algorithme adaptatif peut raffiner localement et produire un nombre quelconque de sous-intervalles

C'est là que Simpson 3/8 devient utile : il nécessite que $n$ soit multiple de 3.

Construction

Pour Simpson 3/8 composite, on regroupe les sous-intervalles par triplets :

Erreur

Par le même raisonnement que pour Simpson 1/3, on somme $n/3$ erreurs simples de $-3h^5/80$ :

L'erreur est aussi en $O(h^4)$, mais avec un coefficient plus grand que Simpson 1/3 ($1/80$ vs $1/180$). À $h$ égal, Simpson 1/3 est donc environ 2.25 fois plus précis.

Combiner les deux Simpson

L'intérêt principal de Simpson 3/8 est de compléter Simpson 1/3 quand $n$ n'est ni pair ni multiple de 3. En combinant les deux, on peut traiter tout $n \geq 3$ :

Par exemple, avec $n = 7$ : on applique Simpson 3/8 sur $[x_0, x_3]$ (3 intervalles), puis Simpson 1/3 sur $[x_3, x_7]$ (4 intervalles, pair). Les deux méthodes se « raccordent » au point $x_3$ sans perte de précision.

Comparaison sur $\int_0^\pi \sin(x)\,dx$

Voici les résultats pour différentes valeurs de $n$ :

Observons le comportement quand on double $n$ (et donc divise $h$ par 2) :

• Trapèze ($O(h^2)$) : l'erreur est divisée par $2^2 = 4$ à chaque doublement
• Simpson ($O(h^4)$) : l'erreur est divisée par $2^4 = 16$ à chaque doublement

Guide pratique : déterminer $n$ pour une tolérance donnée

Méthode générale

Pour une tolérance $\varepsilon$, on résout l'inégalité de la borne d'erreur :

Trapèze composite :

(obtenue en remplaçant $h = (b-a)/n$ dans la borne d'erreur)

Simpson 1/3 composite :

et $n$ doit être arrondi au prochain entier pair.

Exemple : $\int_0^1 e^x\,dx$ avec $\varepsilon = 10^{-6}$

La valeur exacte est $e - 1 \approx 1.71828$.

Pour $f(x) = e^x$ sur $[0, 1]$ : toutes les dérivées sont $e^x$, donc $\max|f''| = \max|f^{(iv)}| = e \approx 2.718$.

Trapèze :

Simpson 1/3 :

Donc $n = 12$ (pair).

Bilan : pour une erreur de $10^{-6}$, le trapèze a besoin de 476 sous-intervalles alors que Simpson n'en a besoin que de 12. L'écart se creuse encore plus pour des tolérances plus serrées.

Résumé

Pour aller plus loin

Simpson 1/3 composite est la méthode de choix pour la plupart des applications courantes. Mais peut-on faire encore mieux sans augmenter le nombre de points ?

Dans la leçon suivante, nous verrons la méthode de Romberg, qui part du trapèze composite et applique l'extrapolation de Richardson de manière itérative. Résultat : la première étape de Richardson redonne exactement Simpson, et les étapes suivantes atteignent des précisions encore supérieures ($O(h^6), O(h^8), \ldots$).