Quadratures composites (trapèze et Simpson)
Objectifs d'apprentissage
À la fin de cette leçon, vous serez en mesure de :
- Construire les formules composites à partir des formules simples
- Appliquer le trapèze composite et Simpson composite
- Calculer les bornes d'erreur et choisir le nombre de sous-intervalles
- Comprendre la relation entre Simpson 1/3 et Simpson 3/8
Prérequis
- Formules de Newton-Cotes simples
- Règle du trapèze et règles de Simpson
Principe des quadratures composites
Les formules simples de Newton-Cotes s'appliquent sur un petit intervalle avec peu de points. Pour intégrer sur un grand intervalle , on le découpe en sous-intervalles et on applique la formule simple sur chaque morceau.
Construction composite
- Diviser en sous-intervalles de largeur
- Appliquer la formule simple sur chaque sous-intervalle
- Sommer les contributions
Trapèze composite
Construction
On divise en sous-intervalles. Sur chaque sous-intervalle , on applique la règle du trapèze :
En sommant sur tous les sous-intervalles :
Chaque (sauf et ) apparaît deux fois :
Trapèze composite
Ou sous forme compacte :
Erreur de troncature
L'erreur sur chaque sous-intervalle est . En sommant sur les sous-intervalles :
Par le théorème de la moyenne, il existe tel que :
Erreur du trapèze composite
L'erreur est en , pas comme pour le trapèze simple !
Exemple : intégration de sur
Calculons avec le trapèze composite.
Valeur exacte :
Avec n = 4 sous-intervalles (h = π/4)
| i | xᵢ | sin(xᵢ) |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | ||
| 2 | 1 | |
| 3 | ||
| 4 | 0 |
Erreur :
Borne d'erreur théorique
L'erreur réelle (0.104) est bien inférieure à la borne (0.162).
Combien de sous-intervalles pour une erreur < 0.0005 ?
Il faut au moins 72 sous-intervalles.
Simpson 1/3 composite
Construction
Pour Simpson 1/3, chaque application nécessite 3 points (2 sous-intervalles). On divise donc en sous-intervalles où n est pair.
Sur chaque paire de sous-intervalles :
En sommant sur les applications :
Simpson 1/3 composite
Les coefficients alternent : 1, 4, 2, 4, 2, ..., 4, 2, 4, 1
Erreur de troncature
Erreur de Simpson composite
L'erreur est en , soit deux ordres de mieux que le trapèze composite !
Simpson 3/8 composite
Pour Simpson 3/8, chaque application nécessite 4 points (3 sous-intervalles). On divise en sous-intervalles où n est multiple de 3.
Simpson 3/8 composite
Les coefficients suivent le motif : 1, 3, 3, 2, 3, 3, 2, ..., 3, 3, 1
L'erreur est aussi en , comme Simpson 1/3.
Remarque importante : pour l'intégrale
Un résultat remarquable : l'intégrale d'une cubique sur un intervalle symétrique est égale à l'intégrale de la parabole interpolant les mêmes points extrêmes et le point central.
Pourquoi Simpson 1/3 et 3/8 ont le même ordre
Cette propriété explique pourquoi :
- Simpson 1/3 (basé sur une parabole) est exact pour les cubiques
- Simpson 1/3 et Simpson 3/8 ont tous deux une erreur en (simple) ou (composite)
Comparaison des méthodes
| Méthode | Points requis | Erreur composite | Efficacité |
|---|---|---|---|
| Trapèze | quelconque | Simple, flexible | |
| Simpson 1/3 | pair | Excellent rapport précision/effort | |
| Simpson 3/8 | multiple de 3 | Utile quand n n'est pas pair |
Quelle méthode choisir ?
- Simpson 1/3 est généralement préféré car il offre une erreur en avec peu d'évaluations
- Simpson 3/8 est utile quand le nombre de points n'est pas compatible avec Simpson 1/3
- Trapèze reste utile pour sa simplicité et sa flexibilité (tout convient)
Résumé
- Les quadratures composites appliquent les formules simples sur des sous-intervalles
- Trapèze composite : coefficients 1, 2, 2, ..., 2, 1 — erreur
- Simpson 1/3 composite : coefficients 1, 4, 2, 4, 2, ..., 4, 1 — erreur
- Simpson 3/8 composite : coefficients 1, 3, 3, 2, 3, 3, ..., 1 — erreur
- Le choix du nombre de sous-intervalles dépend de la précision souhaitée
Pour aller plus loin
Dans la prochaine leçon, nous verrons la méthode de Romberg, qui combine le trapèze composite avec l'extrapolation de Richardson pour atteindre des précisions très élevées.