Quadratures composites (trapèze et Simpson)
Objectifs d'apprentissage
À la fin de cette leçon, vous serez en mesure de :
- Construire les formules composites à partir des formules simples
- Dériver les erreurs composites à partir des erreurs simples
- Calculer le nombre de sous-intervalles nécessaire pour une tolérance donnée
- Comparer l'efficacité du trapèze et de Simpson sur un même problème
Prérequis
- Règle du trapèze et règles de Simpson (leçon précédente)
- Erreurs de troncature des formules simples
Le problème des formules simples
Dans la leçon précédente, nous avons vu que les formules de Newton-Cotes simples donnent des résultats médiocres sur un grand intervalle. Pour :
- Le trapèze simple donnait 0 (erreur de 100%)
- Simpson 1/3 donnait 2.094 (erreur de 4.7%)
- Simpson 3/8 donnait 2.040 (erreur de 2%)
Le problème n'est pas la méthode, c'est que l'intervalle est trop large pour être bien approximé par un seul polynôme de degré 1, 2 ou 3.
Idée des quadratures composites
Plutôt que d'augmenter le degré du polynôme (ce qui mène au phénomène de Runge), on découpe l'intervalle en sous-intervalles suffisamment petits et on applique la formule simple sur chacun.
Trapèze composite
Construction
On divise en sous-intervalles de largeur , avec les points pour .
Sur chaque sous-intervalle , on applique le trapèze simple :
En sommant les contributions :
Chaque intermédiaire apparaît deux fois (une fois comme borne droite, une fois comme borne gauche). Seuls et n'apparaissent qu'une fois :
Trapèze composite
Les coefficients sont : 1, 2, 2, 2, ..., 2, 1 (divisés par 2).
Dérivation de l'erreur composite
Sur chaque sous-intervalle, l'erreur du trapèze simple est :
L'erreur totale est la somme des erreurs :
Nous avons une somme de valeurs de . Par le théorème de la valeur intermédiaire généralisé, il existe tel que :
Donc :
Or , d'où :
Erreur du trapèze composite
L'erreur composite est en , pas comme l'erreur simple ! On « perd » un ordre car on somme erreurs.
Exemple : avec
Avec et les points :
| i | xᵢ | sin(xᵢ) |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | ||
| 2 | 1 | |
| 3 | ||
| 4 | 0 |
Erreur :
Borne d'erreur théorique : pour , donc .
L'erreur réelle (0.104) est bien en dessous de la borne théorique (0.162).
Combien de sous-intervalles pour une erreur ?
On veut :
Pour avec :
Trapèze : n ≥ 161 sous-intervalles
Pour atteindre une erreur de avec le trapèze composite, il faut au moins 161 sous-intervalles (soit 162 évaluations de ). C'est beaucoup ! Peut-on faire mieux ?
Simpson 1/3 composite
Construction
Pour appliquer Simpson 1/3 par morceaux, chaque application nécessite 3 points (un sous-intervalle de largeur ). On regroupe donc les sous-intervalles par paires.
Conséquence : doit être pair.
Sur chaque paire :
En sommant les paires, on observe que :
- Les points extrêmes ( et ) ont un coefficient 1
- Les points impairs () ont un coefficient 4 — ce sont les milieux de chaque paire
- Les points pairs intérieurs () ont un coefficient 2 — ce sont les frontières entre paires
Simpson 1/3 composite
Les coefficients suivent le motif : 1, 4, 2, 4, 2, ..., 4, 2, 4, 1 (divisés par 3).
Condition : doit être pair.
Dérivation de l'erreur composite
Sur chaque paire de sous-intervalles, l'erreur de Simpson simple est :
Il y a paires. En sommant :
Or , d'où :
Erreur de Simpson 1/3 composite
L'erreur composite est en , soit deux ordres de mieux que le trapèze composite ().
Exemple : avec
Avec les mêmes 5 points que pour le trapèze ( est pair, tout va bien) :
Erreur :
Comparons : avec les mêmes 5 points, le trapèze donnait une erreur de 0.104 et Simpson donne 0.0046 — c'est 23 fois plus précis !
Borne d'erreur théorique : pour , donc .
L'erreur réelle (0.0046) est bien en dessous de la borne (0.0066).
Combien de sous-intervalles pour une erreur ?
Comme doit être pair : suffit (soit 13 évaluations de ).
Coût total pour une erreur de 10⁻⁴
Comparons le coût réel des deux méthodes. Chaque méthode requiert des évaluations de (le coût dominant) et des opérations arithmétiques (additions, multiplications) :
| Trapèze (n = 161) | Simpson 1/3 (n = 12) | |
|---|---|---|
| Évaluations de | ||
| Multiplications | (les coeff. ×2) | (les coeff. ×4 ou ×2) |
| Additions |
Simpson utilise des coefficients légèrement plus variés (1, 4, 2 au lieu de 1, 2), mais le surcoût par point est négligeable. Le facteur dominant est le nombre d'évaluations de : 162 contre 13, soit un facteur ~12.
En pratique, évaluer est souvent l'opération la plus coûteuse (surtout si provient d'une simulation ou d'une mesure expérimentale). L'avantage de Simpson est donc réel.
Simpson 3/8 composite et complémentarité avec Simpson 1/3
Le problème de la parité
Simpson 1/3 composite exige que soit pair. Mais en pratique, on ne choisit pas toujours librement :
- Les données peuvent provenir de mesures avec un nombre fixe de points
- Un capteur peut fournir 8 points (7 intervalles — impair !)
- Un algorithme adaptatif peut raffiner localement et produire un nombre quelconque de sous-intervalles
C'est là que Simpson 3/8 devient utile : il nécessite que soit multiple de 3.
Construction
Pour Simpson 3/8 composite, on regroupe les sous-intervalles par triplets :
Simpson 3/8 composite
Les coefficients suivent le motif : 1, 3, 3, 2, 3, 3, 2, ..., 3, 3, 1 (multipliés par 3/8).
Condition : doit être multiple de 3.
Erreur
Par le même raisonnement que pour Simpson 1/3, on somme erreurs simples de :
L'erreur est aussi en , mais avec un coefficient plus grand que Simpson 1/3 ( vs ). À égal, Simpson 1/3 est donc environ 2.25 fois plus précis.
Combiner les deux Simpson
L'intérêt principal de Simpson 3/8 est de compléter Simpson 1/3 quand n'est ni pair ni multiple de 3. En combinant les deux, on peut traiter tout :
| n | Stratégie | Explication |
|---|---|---|
| pair | Simpson 1/3 partout | Cas idéal |
| multiple de 3 | Simpson 3/8 partout | Alternatif |
| impair, non mult. de 3 | Simpson 3/8 sur les 3 premiers + Simpson 1/3 sur le reste | est pair |
Par exemple, avec : on applique Simpson 3/8 sur (3 intervalles), puis Simpson 1/3 sur (4 intervalles, pair). Les deux méthodes se « raccordent » au point sans perte de précision.
En résumé
Simpson 1/3 est la méthode de choix quand on contrôle . Simpson 3/8 est le complément qui permet de gérer les cas où n'est pas pair. Ensemble, ils couvrent tous les cas avec une erreur en .
Comparaison sur
Voici les résultats pour différentes valeurs de :
| n | Trapèze | Erreur | Simpson 1/3 | Erreur |
|---|---|---|---|---|
| 4 | 1.8961 | 0.1039 | 2.0046 | 0.0046 |
| 8 | 1.9742 | 0.0258 | 2.00027 | 0.00027 |
| 16 | 1.9936 | 0.0064 | 2.0000165 | 0.0000165 |
Observons le comportement quand on double (et donc divise par 2) :
- Trapèze () : l'erreur est divisée par à chaque doublement
- Simpson () : l'erreur est divisée par à chaque doublement
Vérification de l'ordre
C'est un test pratique pour vérifier l'ordre d'une méthode : si l'erreur est divisée par ~4 quand on double , la méthode est d'ordre 2. Si elle est divisée par ~16, elle est d'ordre 4.
Guide pratique : déterminer pour une tolérance donnée
Méthode générale
Pour une tolérance , on résout l'inégalité de la borne d'erreur :
Trapèze composite :
(obtenue en remplaçant dans la borne d'erreur)
Simpson 1/3 composite :
et doit être arrondi au prochain entier pair.
Exemple : avec
La valeur exacte est .
Pour sur : toutes les dérivées sont , donc .
Trapèze :
Simpson 1/3 :
Donc (pair).
Bilan : pour une erreur de , le trapèze a besoin de 476 sous-intervalles alors que Simpson n'en a besoin que de 12. L'écart se creuse encore plus pour des tolérances plus serrées.
Résumé
| Trapèze composite | Simpson 1/3 composite | |
|---|---|---|
| Coefficients | 1, 2, 2, ..., 2, 1 | 1, 4, 2, 4, ..., 4, 1 |
| Erreur | ||
| Borne | ||
| Contrainte | quelconque | pair |
| Quand utiliser | Simplicité, base de Romberg | Meilleur rapport précision/effort |
Pour aller plus loin
Simpson 1/3 composite est la méthode de choix pour la plupart des applications courantes. Mais peut-on faire encore mieux sans augmenter le nombre de points ?
Dans la leçon suivante, nous verrons la méthode de Romberg, qui part du trapèze composite et applique l'extrapolation de Richardson de manière itérative. Résultat : la première étape de Richardson redonne exactement Simpson, et les étapes suivantes atteignent des précisions encore supérieures ().