Intégration de Romberg

Objectifs d'apprentissage

À la fin de cette leçon, vous serez en mesure de :

• Expliquer comment Romberg combine le trapèze avec Richardson
• Construire le tableau de Romberg étape par étape
• Comprendre le lien entre Romberg et Simpson
• Appliquer la méthode sur un exemple numérique

Prérequis

• Trapèze composite
• Extrapolation de Richardson
• Formule d'Euler-Maclaurin (intuition)

Motivation

Le trapèze composite a une erreur en . Pour améliorer la précision, on peut :

1. Réduire h → plus de calculs, risque d'erreurs d'arrondi
2. Utiliser Simpson → erreur en , mais plus complexe
3. Appliquer Richardson → améliorer l'ordre sans recalculer !

La méthode de Romberg choisit l'option 3 : elle part du trapèze (simple à programmer) et applique l'extrapolation de Richardson de manière itérative.

Formule d'Euler-Maclaurin (intuition)

La clé de Romberg est que l'erreur du trapèze composite a une structure très particulière :

où est l'approximation du trapèze avec pas .

Construction du tableau de Romberg

Étape 1 : Calcul des trapèzes

On calcule le trapèze composite pour des pas successivement divisés par 2 :

• : trapèze avec intervalle (pas )
• : trapèze avec intervalles (pas )
• : trapèze avec intervalles (pas )
• Et ainsi de suite...

Étape 2 : Première extrapolation

On applique Richardson pour éliminer le terme en . Puisque l'erreur est en , avec :

Cette nouvelle approximation est d'ordre .

Étape 3 : Deuxième extrapolation

On applique Richardson sur les pour éliminer le terme en :

Cette approximation est d'ordre .

Formule générale

Lien avec Simpson

Que donne la première extrapolation de Richardson sur le trapèze ?

En développant avec les formules du trapèze :

Après simplification :

Exemple numérique complet

Calculons à partir des données suivantes :

Étape 1 : Trapèzes composites (colonne )

n = 4, h = 0.2 :

n = 2, h = 0.4 :

n = 1, h = 0.8 :

Étape 2 : Première extrapolation (colonne )

Étape 3 : Deuxième extrapolation (colonne )

Tableau de Romberg final

Algorithme de Romberg

def romberg(f, a, b, max_iter=10, tol=1e-10):
  """
  Intégration de Romberg.

  Paramètres:
      f: fonction à intégrer
      a, b: bornes d'intégration
      max_iter: nombre maximal d'itérations
      tol: tolérance pour le critère d'arrêt
  """
  R = [[0] * (max_iter + 1) for _ in range(max_iter + 1)]

  # Première colonne: trapèzes composites
  h = b - a
  R[0][0] = h * (f(a) + f(b)) / 2

  for i in range(1, max_iter + 1):
      h /= 2

      # Trapèze avec 2^i intervalles
      somme = sum(f(a + (2*k - 1) * h) for k in range(1, 2**(i-1) + 1))
      R[i][0] = R[i-1][0] / 2 + h * somme

      # Extrapolations de Richardson
      for j in range(1, i + 1):
          R[i][j] = R[i][j-1] + (R[i][j-1] - R[i-1][j-1]) / (4**j - 1)

      # Critère d'arrêt
      if i > 0 and abs(R[i][i] - R[i-1][i-1]) < tol:
          return R[i][i]

  return R[max_iter][max_iter]

Avantages de Romberg

1. Simplicité : Ne nécessite que le trapèze (très simple à programmer)
2. Efficacité : Réutilise les calculs précédents (pas de gaspillage)
3. Précision : Atteint rapidement des ordres élevés ()
4. Adaptativité : On peut s'arrêter quand la précision souhaitée est atteinte

Résumé

• La méthode de Romberg combine le trapèze composite avec l'extrapolation de Richardson
• L'erreur du trapèze ne contient que des puissances paires de , permettant de gagner 2 ordres par extrapolation
• La formule de récurrence est :
• La première extrapolation redonne Simpson 1/3
• Le tableau de Romberg converge rapidement vers la valeur exacte

Pour aller plus loin

Dans la prochaine leçon, nous étudierons les quadratures gaussiennes, une approche différente qui optimise le choix des points d'évaluation (au lieu de les prendre équidistants).