Quadratures gaussiennes
Objectifs d'apprentissage
À la fin de cette leçon, vous serez en mesure de :
- Expliquer pourquoi le choix des points d'évaluation influence la précision
- Comprendre l'idée derrière les quadratures gaussiennes (sans mémoriser les preuves)
- Construire pas à pas la formule de Gauss à 2 points
- Appliquer le changement de variable pour un intervalle quelconque
- Savoir quand utiliser Gauss plutôt que Newton-Cotes
Prérequis
- Formules de Newton-Cotes et quadratures composites (leçons précédentes)
- Intégration par changement de variable
Le principe en une phrase
Idée centrale des quadratures gaussiennes
Dans Newton-Cotes, les positions des points sont fixées (équidistantes) et on ne cherche que les poids. Dans Gauss, les positions et les poids sont tous les deux des inconnues. On résout un système d'équations pour trouver les positions optimales et les poids correspondants, de manière à maximiser la précision.
Avec points, on a positions + poids = inconnues. On peut donc imposer conditions d'exactitude, ce qui rend la formule exacte pour les polynômes de degré . Newton-Cotes, avec seulement poids libres, ne peut être exact que jusqu'au degré (ou par symétrie). Gauss double la précision en libérant les positions.
Motivation : le placement des points compte
Pour bien comprendre cet avantage, comparons sur un exemple simple. Imaginons qu'on intègre sur avec 2 évaluations. Le trapèze place ses points aux extrémités :
Le trapèze est exact pour les polynômes de degré (les droites). Mais si la fonction est courbe (degré 2 ou plus), on fait une erreur parce qu'on « manque » ce qui se passe au milieu de l'intervalle.
La question de Gauss : et si, au lieu de placer les 2 points aux extrémités, on les plaçait à des positions optimales ? Comme on va le voir, avec 2 points bien choisis, on peut être exact non seulement pour les droites (degré 1), mais aussi pour les paraboles et les cubiques (degré ). C'est deux degrés de plus que le trapèze, pour le même nombre d'évaluations !
Construction de la formule à 2 points
Construisons pas à pas la formule de Gauss à 2 points. On cherche 4 inconnues : deux positions et deux poids tels que :
L'idée : imposer l'exactitude
On a 4 inconnues, donc on peut imposer 4 conditions. On demande que la formule soit exacte pour les 4 premiers monômes : .
Condition 1 : (l'intégrale d'une constante)
Les poids doivent sommer à la longueur de l'intervalle. C'est logique : si est constante, la somme pondérée doit donner l'aire du rectangle.
Condition 2 : (l'intégrale d'une fonction impaire)
L'intégrale d'une fonction impaire sur un intervalle symétrique est nulle. Cela suggère une solution symétrique.
Condition 3 : (l'intégrale d'une parabole)
Condition 4 : (l'intégrale d'une cubique)
Résolution du système
Les conditions 2 et 4 (fonctions impaires) donnent zéro à droite. Cela suggère fortement une solution symétrique :
Vérifions : avec , la condition 1 donne :
Les deux poids sont égaux à 1. Avec , la condition 2 donne (automatiquement satisfaite), et la condition 3 :
On peut vérifier que la condition 4 est aussi satisfaite (par symétrie).
Formule de Gauss à 2 points
Avec seulement 2 évaluations, cette formule est exacte pour tout polynôme de degré .
À comparer avec le trapèze (2 points, exact degré ) : Gauss gagne 2 degrés de précision gratuitement, simplement en déplaçant les points !
Où sont ces points ?
Les points ne sont ni aux extrémités (comme le trapèze) ni au centre (comme le point milieu). Ils sont situés à environ 58% de la distance entre le centre et les bords. Intuitivement, ils « échantillonnent » l'intervalle de manière à capter à la fois le comportement central et le comportement aux bords.
Construction pour points
Refaisons le même exercice avec 3 points. On cherche 6 inconnues : et . On impose l'exactitude pour les 6 monômes .
Le système
C'est un système non linéaire à 6 équations et 6 inconnues — beaucoup plus difficile que pour . Mais la symétrie nous aide encore.
Résolution par symétrie
Les équations pour les monômes impairs () donnent zéro à droite. Cela suggère une configuration symétrique :
Avec cette hypothèse, notons , et . Le système se simplifie :
- Eq. 1 :
- Eq. 3 : , soit
- Eq. 5 : , soit
En divisant l'équation 5 par l'équation 3 :
Puis : et .
Formule de Gauss à 3 points
Exacte pour tout polynôme de degré . Le point central a le poids le plus fort (), les points latéraux ont des poids plus faibles ().
Généralisation à points
Le principe
Pour quelconque, on a inconnues ( positions + poids) et on impose l'exactitude pour les monômes .
Quadrature de Gauss-Legendre à n points
est exacte pour tout polynôme de degré .
Le problème : le système devient vite insoluble à la main
Pour et , la symétrie nous a permis de résoudre le système. Mais pour , le système non linéaire est trop complexe pour être résolu directement. Il faut une approche plus puissante.
La solution : les polynômes de Legendre
Il existe un résultat mathématique remarquable qui résout le problème d'un seul coup :
Les positions optimales sont exactement les racines du polynôme de Legendre de degré .
Que sont les polynômes de Legendre ? Ce sont des polynômes orthogonaux sur , définis par la relation de récurrence :
en partant de et . Cette récurrence permet de calculer pour tout :
Une propriété fondamentale : possède exactement racines réelles, toutes dans l'intervalle ouvert . Ce sont ces racines qui donnent les positions optimales pour la quadrature.
Autrement dit, au lieu de résoudre un système non linéaire à équations, il suffit de :
- Trouver les racines de — c'est un problème beaucoup plus simple (trouver les zéros d'un seul polynôme)
- Calculer les poids par la formule :
Vérification sur nos exemples
Pour : donne , donc — exactement ce qu'on a trouvé !
Pour : donne ou , soit — encore une fois, exactement notre résultat !
Les polynômes de Legendre ne tombent donc pas du ciel : ils encodent la solution du système d'exactitude.
L'essentiel à retenir
Les polynômes de Legendre sont un outil pour trouver les points optimaux sans résoudre le système non linéaire à la main. En pratique, il suffit de :
- Savoir que a exactement racines dans
- Consulter une table de racines et de poids précalculés
- Appliquer la formule de quadrature avec ces valeurs
Table des racines et poids
En pratique, on utilise cette table :
| n | Points tᵢ | Poids ωᵢ | Degré exact |
|---|---|---|---|
| 2 | 1.0000000000 | 3 | |
| 3 | 0 | 0.8888888889 | 5 |
| 0.5555555556 | |||
| 4 | 0.6521451549 | 7 | |
| 0.3478548451 | |||
| 5 | 0 | 0.5688888889 | 9 |
| 0.4786286705 | |||
| 0.2369268850 |
Remarquons que les poids sont toujours positifs et que les points sont toujours symétriques par rapport à l'origine. Ce n'est pas un hasard : c'est une conséquence de la symétrie de l'intervalle .
Changement de variable pour quelconque
Les formules de Gauss sont définies sur . Pour intégrer sur un intervalle quelconque, on effectue un changement de variable linéaire :
Ce changement envoie sur et sur . Le Jacobien est .
En substituant :
On applique alors la formule de Gauss à l'intégrale sur :
Formule de Gauss-Legendre sur [a, b]
où et sont lus dans la table ci-dessus.
Recette pratique
Pour appliquer Gauss à points sur :
- Choisir (nombre de points) dans la table
- Pour chaque point , calculer
- Évaluer
- Calculer
Exemple détaillé :
Cette intégrale est la fonction d'erreur , qui n'a pas de forme analytique simple. C'est exactement le type de problème où les méthodes numériques sont indispensables.
Étape 1 : changement de variable
Avec et :
Étape 2 : points de Gauss ()
On lit dans la table les 3 points et poids, puis on calcule les :
| i | tᵢ (table) | ωᵢ (table) | xᵢ = (tᵢ + 1)/4 | f(xᵢ) = (2/√π)·exp(−xᵢ²) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | −0.7746 | 0.5556 | 0.0564 | 1.1245 |
| 2 | 0 | 0.8889 | 0.2500 | 1.0600 |
| 3 | 0.7746 | 0.5556 | 0.4436 | 0.9268 |
Étape 3 : calcul
Étape 4 : vérification
La valeur exacte est . Avec seulement 3 évaluations, Gauss donne un résultat correct à 4 décimales ! Pour obtenir la même précision avec le trapèze composite, il faudrait des dizaines de sous-intervalles.
Erreur de la quadrature gaussienne
Pour une fonction suffisamment dérivable, l'erreur de Gauss-Legendre à points est :
pour un certain .
Ce qu'il faut retenir sur l'erreur
La formule exacte est complexe, mais l'essentiel est :
- L'erreur dépend de la dérivée d'ordre de
- Pour : l'erreur dépend de , comme Simpson — mais avec moins de points
- Pour : l'erreur dépend de — Gauss atteint un ordre très élevé rapidement
- Le coefficient devant décroît très vite avec
Gauss vs Newton-Cotes : quand utiliser quoi ?
| Critère | Newton-Cotes | Gauss |
|---|---|---|
| Points imposés (mesures) | Oui — on prend les données telles quelles | Non — on ne peut pas choisir où mesurer |
| On peut évaluer f librement | Possible mais sous-optimal | Oui — c'est le cas idéal pour Gauss |
| Points équidistants | Requis | Non — les points sont irréguliers |
| Précision par point | Degré (ou ) | Degré |
| Raffinement facile | Oui (doubler n, réutiliser les points) | Non (les points changent complètement) |
Limitation importante de Gauss
Quand on passe de Gauss à points à Gauss à points, tous les points changent. On ne peut pas réutiliser les évaluations précédentes. Avec Newton-Cotes composite, doubler permet de réutiliser les points déjà calculés. C'est un avantage pratique important de Newton-Cotes pour le raffinement adaptatif (cf. Romberg).
En résumé
- Données expérimentales (points imposés, équidistants) → Newton-Cotes
- Fonction évaluable et on veut maximiser la précision par évaluation → Gauss
- Raffinement progressif (on ne sait pas combien de points seront nécessaires) → Newton-Cotes composite ou Romberg
Résumé
- Les quadratures gaussiennes optimisent le placement des points d'évaluation
- Avec points, Gauss est exact pour les polynômes de degré , soit le double de Newton-Cotes
- Les points optimaux sont les racines des polynômes de Legendre — en pratique, on les lit dans une table
- Un changement de variable linéaire permet de passer de à n'importe quel
- Gauss est idéal quand on peut choisir librement les points d'évaluation ; Newton-Cotes reste préférable quand les points sont imposés par les données