Quadratures gaussiennes
Objectifs d'apprentissage
À la fin de cette leçon, vous serez en mesure de :
- Expliquer le principe des quadratures gaussiennes
- Comprendre le rôle des polynômes de Legendre
- Construire une formule de Gauss à 2 termes
- Appliquer le changement de variable pour un intervalle quelconque
Prérequis
- Formules de Newton-Cotes
- Polynômes orthogonaux (notion intuitive)
- Intégration par changement de variable
Motivation : peut-on faire mieux que Newton-Cotes ?
Les formules de Newton-Cotes utilisent des points équidistants. Mais est-ce optimal ?
Idée clé de Gauss
Si on peut choisir librement les points d'évaluation (pas seulement équidistants), peut-on atteindre une meilleure précision avec le même nombre de points ?
La réponse est oui ! Avec points, les quadratures gaussiennes sont exactes pour les polynômes de degré , contre seulement degré (ou ) pour Newton-Cotes.
Polynômes de Legendre
Les points optimaux pour les quadratures gaussiennes sur sont les racines des polynômes de Legendre.
Définition
Le polynôme de Legendre de degré est défini par la formule de Rodrigues :
Premiers polynômes de Legendre
| n | Pₙ(x) |
|---|---|
| 0 | |
| 1 | |
| 2 | |
| 3 | |
| 4 | |
| 5 | |
| 6 |
Propriété fondamentale
Racines des polynômes de Legendre
Le polynôme possède exactement racines réelles distinctes, toutes situées dans l'intervalle .
Théorème fondamental
Quadrature de Gauss-Legendre
Si sont les racines de et si sont les poids appropriés, alors :
est exacte pour tout polynôme de degré .
Comparaison avec Newton-Cotes :
- Newton-Cotes à points : exact pour degré (ou si impair)
- Gauss à points : exact pour degré
Gauss double la précision !
Construction de la formule à 2 termes
Cherchons tels que :
soit exacte pour tout polynôme de degré .
Système d'équations
Nous avons 4 inconnues (), donc nous imposons l'exactitude pour 4 polynômes de base : .
Pour :
Pour :
Pour :
Pour :
Résolution
Par symétrie, on devine et .
De l'équation 1 :
De l'équation 3 : , donc
Formule de Gauss à 2 points
avec .
Cette formule est exacte pour les polynômes de degré ≤ 3.
Table des racines et poids
| n | Racines tᵢ | Poids ωᵢ |
|---|---|---|
| 2 | 1.0000000000 | |
| 3 | 0 | 0.8888888889 |
| 0.5555555556 | ||
| 4 | 0.3478548451 | |
| 0.6521451549 | ||
| 5 | 0 | 0.5688888889 |
| 0.4786286705 | ||
| 0.2369268850 |
Changement de variable
Les formules de Gauss s'appliquent sur . Pour un intervalle quelconque, on utilise le changement de variable :
avec .
Formule de Gauss sur [a, b]
Exemple numérique
Calculons avec Gauss à 3 points.
Changement de variable
Avec et :
Évaluation aux points de Gauss
Pour : , ,
| i | tᵢ | xᵢ = (tᵢ + 1)/4 | f(xᵢ) = exp(-xᵢ²) | ωᵢ |
|---|---|---|---|---|
| 1 | −0.7746 | 0.0564 | 0.9968 | 0.5556 |
| 2 | 0 | 0.25 | 0.9394 | 0.8889 |
| 3 | 0.7746 | 0.4436 | 0.8213 | 0.5556 |
Calcul de l'intégrale
La valeur exacte (fonction d'erreur) est .
Comparaison avec Newton-Cotes
| Méthode | Points | Degré exact | Évaluations |
|---|---|---|---|
| Trapèze | 2 | 1 | 2 |
| Simpson 1/3 | 3 | 3 | 3 |
| Gauss 2 pts | 2 | 3 | 2 |
| Simpson 3/8 | 4 | 3 | 4 |
| Gauss 3 pts | 3 | 5 | 3 |
Avantage de Gauss
Gauss à 2 points atteint la même précision que Simpson à 3 points, avec une évaluation de moins !
Résumé
- Les quadratures gaussiennes optimisent le choix des points d'évaluation
- Les points sont les racines des polynômes de Legendre sur
- Avec points, Gauss est exact pour les polynômes de degré
- Un changement de variable permet de traiter n'importe quel intervalle
- Gauss est plus efficace que Newton-Cotes à nombre de points égal
Pour aller plus loin
Dans la prochaine leçon, nous verrons la méthode des coefficients indéterminés, une technique générale pour construire des formules de quadrature.