Méthode des coefficients indéterminés

Objectifs d'apprentissage

À la fin de cette leçon, vous serez en mesure de :

Comprendre que Newton-Cotes et Gauss sont des cas particuliers d'un même cadre général
Construire une formule de quadrature pour des points quelconques (non équidistants)
Appliquer la méthode à un cas pratique avec des données irrégulières

Prérequis

Quadratures de Newton-Cotes (points équidistants)
Quadratures gaussiennes (points optimaux)
Résolution de systèmes linéaires

Le cadre unifié

Dans les leçons précédentes, nous avons vu deux familles de formules de quadrature :

Méthode	Points	Poids	Système à résoudre
Newton-Cotes	Fixés, équidistants	À trouver	Linéaire ( $n+1$ inconnues)
Gauss-Legendre	À trouver (optimaux)	À trouver	Non linéaire ( $2n$ inconnues)

Mais en pratique, on rencontre souvent une troisième situation : les points sont imposés par l'expérience et ne sont pas équidistants. Par exemple :

Un capteur qui mesure à des instants irréguliers (pannes, variations de fréquence)
Des stations météo placées à des distances inégales
Des données historiques avec des lacunes

Dans ces cas, Newton-Cotes ne s'applique pas (points non équidistants) et Gauss non plus (on ne peut pas choisir les points). Il faut une méthode plus générale.

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Méthode des coefficients indéterminés

Points fixés (quelconques) → on cherche uniquement les poids → système linéaire.

C'est exactement le même principe que Newton-Cotes et Gauss : on impose l'exactitude sur les monômes $1, x, x^2, \ldots$ . La seule différence est que les points ne sont ni équidistants ni optimaux — ils sont donnés par le problème.

Principe

On dispose de $n+1$ points $x_0, x_1, \ldots, x_n$ (quelconques, pas forcément équidistants) et on cherche des poids $a_0, a_1, \ldots, a_n$ tels que :

\int_a^b f(x)\,dx \approx a_0 f(x_0) + a_1 f(x_1) + \cdots + a_n f(x_n)

On a $n+1$ poids à trouver. On impose donc $n+1$ conditions : la formule doit être exacte pour les $n+1$ premiers monômes $f(x) = 1, x, x^2, \ldots, x^n$ .

Chaque condition donne une équation linéaire en $a_0, a_1, \ldots, a_n$ :

\begin{cases} a_0 + a_1 + \cdots + a_n = \int_a^b 1\,dx & (f = 1) \\ a_0 x_0 + a_1 x_1 + \cdots + a_n x_n = \int_a^b x\,dx & (f = x) \\ a_0 x_0^2 + a_1 x_1^2 + \cdots + a_n x_n^2 = \int_a^b x^2\,dx & (f = x^2) \\ \vdots \\ a_0 x_0^n + a_1 x_1^n + \cdots + a_n x_n^n = \int_a^b x^n\,dx & (f = x^n) \end{cases}

C'est un système linéaire $(n+1) \times (n+1)$ . La matrice de ce système est une matrice de Vandermonde — elle est inversible si et seulement si les points sont tous distincts.

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Comparaison avec les leçons précédentes

Newton-Cotes : on fait exactement la même chose, mais avec des points équidistants. La symétrie simplifie la résolution et donne les formules du trapèze, Simpson, etc.
Gauss : on fait la même chose, mais en libérant aussi les positions. Le système devient non linéaire et les polynômes de Legendre fournissent la solution.
Coefficients indéterminés : cas général — les points sont quelconques, le système est linéaire mais n'a pas de forme « jolie ». Il faut le résoudre numériquement.

Exemple 1 : retrouver Simpson 1/3

Vérifions que la méthode retrouve bien les résultats connus. Prenons 3 points équidistants sur $[-1, 1]$ :

$x_0 = -1, \quad x_1 = 0, \quad x_2 = 1$

On cherche $a, b, c$ tels que :

\int_{-1}^{1} f(x)\,dx = a\,f(-1) + b\,f(0) + c\,f(1)

Construction du système

Pour $f(x) = 1$ :

\int_{-1}^{1} 1\,dx = 2 = a + b + c

Pour $f(x) = x$ :

\int_{-1}^{1} x\,dx = 0 = -a + 0 + c

Pour $f(x) = x^2$ :

\int_{-1}^{1} x^2\,dx = \frac{2}{3} = a + 0 + c

Résolution

\begin{cases} a + b + c = 2 \\ -a + c = 0 \\ a + c = \frac{2}{3} \end{cases}

De l'équation 2 : $c = a$ . Dans l'équation 3 : $2a = \frac{2}{3}$ , donc $a = c = \frac{1}{3}$ . Puis $b = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$ .

\int_{-1}^{1} f(x)\,dx \approx \frac{1}{3}\left[f(-1) + 4f(0) + f(1)\right]

C'est bien Simpson 1/3. La méthode fonctionne !

Exemple 2 : points non équidistants (cas pratique)

Voici le vrai intérêt de la méthode. Un capteur mesure la température $T(t)$ à trois instants irréguliers :

t (heures)	T(t) (°C)
0	18.2
1.5	22.7
4	25.1

On veut estimer $\int_0^4 T(t)\,dt$ (les degrés-heures accumulés). Les points ne sont pas équidistants ( $h_1 = 1.5$ , $h_2 = 2.5$ ), donc on ne peut pas appliquer directement Simpson.

Construction du système

On cherche $a_0, a_1, a_2$ avec $x_0 = 0$ , $x_1 = 1.5$ , $x_2 = 4$ :

Pour $f(t) = 1$ :

\int_0^4 1\,dt = 4 = a_0 + a_1 + a_2

Pour $f(t) = t$ :

\int_0^4 t\,dt = 8 = a_0 \cdot 0 + a_1 \cdot 1.5 + a_2 \cdot 4 = 1.5\,a_1 + 4\,a_2

Pour $f(t) = t^2$ :

\int_0^4 t^2\,dt = \frac{64}{3} \approx 21.33 = a_0 \cdot 0 + a_1 \cdot 2.25 + a_2 \cdot 16 = 2.25\,a_1 + 16\,a_2

Résolution

Le système en forme matricielle :

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1.5 & 4 \\ 0 & 2.25 & 16 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ 64/3 \end{pmatrix}

Des équations 2 et 3, on élimine $a_1$ . Multiplions l'équation 2 par $1.5$ :

2.25\,a_1 + 6\,a_2 = 12

En soustrayant de l'équation 3 : $16\,a_2 - 6\,a_2 = \frac{64}{3} - 12$ , soit :

10\,a_2 = \frac{64 - 36}{3} = \frac{28}{3} \quad \Rightarrow \quad a_2 = \frac{28}{30} = \frac{14}{15} \approx 0.933

Puis : $a_1 = \frac{8 - 4 \times 14/15}{1.5} = \frac{8 - 56/15}{1.5} = \frac{120/15 - 56/15}{1.5} = \frac{64/15}{1.5} = \frac{64}{22.5} = \frac{128}{45} \approx 2.844$

Et : $a_0 = 4 - a_1 - a_2 = 4 - \frac{128}{45} - \frac{14}{15} = 4 - \frac{128}{45} - \frac{42}{45} = 4 - \frac{170}{45} = \frac{180 - 170}{45} = \frac{10}{45} = \frac{2}{9} \approx 0.222$

Application

\int_0^4 T(t)\,dt \approx \frac{2}{9} \times 18.2 + \frac{128}{45} \times 22.7 + \frac{14}{15} \times 25.1

\approx 4.04 + 64.57 + 23.43 = 92.04 \text{ °C·h}

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Vérification des poids

On peut vérifier que $a_0 + a_1 + a_2 = \frac{2}{9} + \frac{128}{45} + \frac{14}{15} = \frac{10 + 128 + 42}{45} = \frac{180}{45} = 4$ , ce qui est bien la longueur de l'intervalle $[0, 4]$ . C'est un bon test de cohérence !

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Attention au conditionnement

La matrice de Vandermonde peut être mal conditionnée si les points sont très rapprochés ou très éloignés. Dans ce cas, les poids calculés peuvent être très grands (en valeur absolue) et de signes alternés, ce qui amplifie les erreurs d'arrondi. C'est le même phénomène que le phénomène de Runge en interpolation.

Résumé

	Newton-Cotes	Gauss	Coeff. indéterminés
Points	Équidistants (fixés)	Optimaux (à trouver)	Quelconques (fixés)
Poids	À trouver	À trouver	À trouver
Système	Linéaire (simplifié par symétrie)	Non linéaire → Legendre	Linéaire (Vandermonde)
Quand l'utiliser	Données régulières	Fonction évaluable librement	Données irrégulières

La méthode des coefficients indéterminés est le cadre général : Newton-Cotes et Gauss en sont des cas particuliers avec des choix de points spécifiques. En pratique, elle est surtout utile quand les points de mesure sont imposés et non équidistants.

Pour aller plus loin

Dans la prochaine leçon, nous verrons comment dériver et intégrer les splines cubiques, une alternative aux polynômes d'interpolation qui évite le phénomène de Runge.