Méthode des coefficients indéterminés
Objectifs d'apprentissage
À la fin de cette leçon, vous serez en mesure de :
- Comprendre que Newton-Cotes et Gauss sont des cas particuliers d'un même cadre général
- Construire une formule de quadrature pour des points quelconques (non équidistants)
- Appliquer la méthode à un cas pratique avec des données irrégulières
Prérequis
- Quadratures de Newton-Cotes (points équidistants)
- Quadratures gaussiennes (points optimaux)
- Résolution de systèmes linéaires
Le cadre unifié
Dans les leçons précédentes, nous avons vu deux familles de formules de quadrature :
| Méthode | Points | Poids | Système à résoudre |
|---|---|---|---|
| Newton-Cotes | Fixés, équidistants | À trouver | Linéaire ( inconnues) |
| Gauss-Legendre | À trouver (optimaux) | À trouver | Non linéaire ( inconnues) |
Mais en pratique, on rencontre souvent une troisième situation : les points sont imposés par l'expérience et ne sont pas équidistants. Par exemple :
- Un capteur qui mesure à des instants irréguliers (pannes, variations de fréquence)
- Des stations météo placées à des distances inégales
- Des données historiques avec des lacunes
Dans ces cas, Newton-Cotes ne s'applique pas (points non équidistants) et Gauss non plus (on ne peut pas choisir les points). Il faut une méthode plus générale.
Méthode des coefficients indéterminés
Points fixés (quelconques) → on cherche uniquement les poids → système linéaire.
C'est exactement le même principe que Newton-Cotes et Gauss : on impose l'exactitude sur les monômes . La seule différence est que les points ne sont ni équidistants ni optimaux — ils sont donnés par le problème.
Principe
On dispose de points (quelconques, pas forcément équidistants) et on cherche des poids tels que :
On a poids à trouver. On impose donc conditions : la formule doit être exacte pour les premiers monômes .
Chaque condition donne une équation linéaire en :
C'est un système linéaire . La matrice de ce système est une matrice de Vandermonde — elle est inversible si et seulement si les points sont tous distincts.
Comparaison avec les leçons précédentes
- Newton-Cotes : on fait exactement la même chose, mais avec des points équidistants. La symétrie simplifie la résolution et donne les formules du trapèze, Simpson, etc.
- Gauss : on fait la même chose, mais en libérant aussi les positions. Le système devient non linéaire et les polynômes de Legendre fournissent la solution.
- Coefficients indéterminés : cas général — les points sont quelconques, le système est linéaire mais n'a pas de forme « jolie ». Il faut le résoudre numériquement.
Exemple 1 : retrouver Simpson 1/3
Vérifions que la méthode retrouve bien les résultats connus. Prenons 3 points équidistants sur :
On cherche tels que :
Construction du système
Pour :
Pour :
Pour :
Résolution
De l'équation 2 : . Dans l'équation 3 : , donc . Puis .
C'est bien Simpson 1/3. La méthode fonctionne !
Exemple 2 : points non équidistants (cas pratique)
Voici le vrai intérêt de la méthode. Un capteur mesure la température à trois instants irréguliers :
| t (heures) | T(t) (°C) |
|---|---|
| 0 | 18.2 |
| 1.5 | 22.7 |
| 4 | 25.1 |
On veut estimer (les degrés-heures accumulés). Les points ne sont pas équidistants (, ), donc on ne peut pas appliquer directement Simpson.
Construction du système
On cherche avec , , :
Pour :
Pour :
Pour :
Résolution
Le système en forme matricielle :
Des équations 2 et 3, on élimine . Multiplions l'équation 2 par :
En soustrayant de l'équation 3 : , soit :
Puis :
Et :
Application
Vérification des poids
On peut vérifier que , ce qui est bien la longueur de l'intervalle . C'est un bon test de cohérence !
Attention au conditionnement
La matrice de Vandermonde peut être mal conditionnée si les points sont très rapprochés ou très éloignés. Dans ce cas, les poids calculés peuvent être très grands (en valeur absolue) et de signes alternés, ce qui amplifie les erreurs d'arrondi. C'est le même phénomène que le phénomène de Runge en interpolation.
Résumé
| Newton-Cotes | Gauss | Coeff. indéterminés | |
|---|---|---|---|
| Points | Équidistants (fixés) | Optimaux (à trouver) | Quelconques (fixés) |
| Poids | À trouver | À trouver | À trouver |
| Système | Linéaire (simplifié par symétrie) | Non linéaire → Legendre | Linéaire (Vandermonde) |
| Quand l'utiliser | Données régulières | Fonction évaluable librement | Données irrégulières |
La méthode des coefficients indéterminés est le cadre général : Newton-Cotes et Gauss en sont des cas particuliers avec des choix de points spécifiques. En pratique, elle est surtout utile quand les points de mesure sont imposés et non équidistants.
Pour aller plus loin
Dans la prochaine leçon, nous verrons comment dériver et intégrer les splines cubiques, une alternative aux polynômes d'interpolation qui évite le phénomène de Runge.