Méthode des coefficients indéterminés
Objectifs d'apprentissage
À la fin de cette leçon, vous serez en mesure de :
- Appliquer la méthode des coefficients indéterminés pour construire des formules de quadrature
- Comprendre comment retrouver Simpson 1/3 par cette méthode
- Adapter la méthode à un intervalle quelconque
Prérequis
- Formules de quadrature (Newton-Cotes, Gauss)
- Résolution de systèmes linéaires
Principe de la méthode
La méthode des coefficients indéterminés est une approche directe pour construire des formules de quadrature. L'idée est simple :
- Fixer les points d'évaluation
- Chercher les poids tels que la formule soit exacte pour les polynômes de base
Forme générale
On cherche une formule de la forme :
en imposant qu'elle soit exacte pour .
Exemple : retrouver Simpson 1/3
Considérons 3 points équidistants sur :
On cherche tels que :
Construction du système
Pour (polynôme de degré 0) :
Pour (polynôme de degré 1) :
Pour (polynôme de degré 2) :
Résolution
Le système est :
De l'équation 2 :
Dans l'équation 3 : , donc
De l'équation 1 :
Résultat
On retrouve Simpson !
En factorisant par :
C'est bien la formule de Simpson 1/3 sur avec .
Adaptation à un intervalle quelconque
Pour un intervalle , on effectue le changement de variable :
Si , alors :
Avantages de la méthode
- Généralité : Fonctionne pour n'importe quels points (pas forcément équidistants)
- Systématique : Conduit toujours à un système linéaire
- Vérification : Permet de retrouver/vérifier les formules connues
Limitations
- Le système peut être mal conditionné si les points sont mal choisis
- Pour les points optimaux (Gauss), il vaut mieux utiliser les tables précalculées
- La méthode ne dit pas quels points choisir — elle suppose qu'ils sont donnés
Résumé
- La méthode des coefficients indéterminés construit les poids d'une formule de quadrature
- On impose l'exactitude pour les polynômes
- Cela conduit à un système linéaire dont les inconnues sont les poids
- La méthode retrouve naturellement les formules classiques (trapèze, Simpson)
Pour aller plus loin
Dans la prochaine leçon, nous verrons comment dériver et intégrer les splines cubiques, une alternative aux polynômes d'interpolation.