Dérivation et intégration des splines cubiques
Objectifs d'apprentissage
À la fin de cette leçon, vous serez en mesure de :
- Comprendre pourquoi les splines sont une alternative intéressante aux méthodes précédentes
- Dériver un spline cubique et interpréter les coefficients
- Intégrer un spline cubique sur un intervalle (pas constant et pas variable)
- Appliquer la méthode à un exemple numérique complet
Prérequis
- Splines cubiques : construction et conditions de continuité (chapitre 4)
- Quadratures de Newton-Cotes et méthode des coefficients indéterminés (leçons précédentes)
Pourquoi les splines ?
Dans les leçons précédentes, nous avons développé plusieurs familles de méthodes pour dériver et intégrer numériquement :
- Différences finies (Newton-Gregory) pour la dérivation — mais instables pour les hauts ordres
- Newton-Cotes (trapèze, Simpson) pour l'intégration — efficaces mais basées sur des polynômes globaux
- Gauss-Legendre — très précis mais nécessite de choisir les points
- Coefficients indéterminés — flexibles mais sans garantie de lissage
Toutes ces méthodes ont un point commun : elles approximent par un polynôme unique (ou par morceaux avec des polynômes indépendants). Or, au chapitre 4, nous avons vu que les splines cubiques offrent une alternative : au lieu d'un polynôme de degré élevé, on utilise des polynômes de degré 3 raccordés de manière lisse ().
L'idée en une phrase
Si on a déjà construit un spline cubique pour interpoler les données (chapitre 4), on peut le dériver et l'intégrer directement — les formules sont exactes pour le spline, et on hérite de sa stabilité.
L'avantage est double :
- Pas de phénomène de Runge : le degré de chaque morceau est fixé à 3, peu importe le nombre de points
- Continuité garantie : les dérivées première et seconde sont continues par construction
Rappel : forme du spline cubique
Au chapitre 4, nous avons construit le spline cubique comme une suite de polynômes de degré 3 raccordés aux nœuds. Sur chaque intervalle , le spline s'écrit :
Les 4 coefficients de chaque morceau sont déterminés par :
- Interpolation : et
- Continuité :
- Continuité :
En évaluant en , on voit que (la valeur de la fonction au nœud). Les autres coefficients sont obtenus en résolvant un système tridiagonal (vu au chapitre 4).
Dérivation du spline
Dérivée première
On dérive terme par terme :
En évaluant au nœud (où ) :
Le coefficient est donc directement la pente du spline au nœud . C'est une propriété très pratique : pas besoin de calcul supplémentaire, la dérivée est déjà encodée dans les coefficients !
Pour un point entre deux nœuds, il suffit de calculer dans le bon intervalle.
Dérivée seconde
En dérivant encore :
Au nœud :
Le coefficient encode la courbure du spline au nœud. Par construction, cette dérivée seconde est continue d'un intervalle à l'autre — c'est la propriété des splines cubiques.
Résumé des dérivées aux nœuds
| Grandeur | Formule | Interprétation | |----------|---------|----------------| | | | Valeur (interpolation) | | | | Pente (tangente) | | | | Courbure | | | | Variation de courbure |
Les coefficients du spline sont les dérivées (à un facteur près). C'est l'avantage de la forme locale .
Continuité des dérivées
Par construction du spline cubique :
- — la pente est continue
- — la courbure est continue
En revanche, la dérivée troisième est constante sur chaque intervalle et fait généralement un saut aux nœuds. C'est normal : un polynôme de degré 3 a une dérivée troisième constante.
Intégration du spline
Intégrale sur un sous-intervalle
L'intégrale de sur se calcule par intégration directe de chaque terme. Posons :
où . En intégrant terme par terme :
Intégrale totale
Pour intégrer sur tout le domaine , on somme les contributions de chaque morceau :
Intégrale du spline complet
Cette formule est exacte pour le spline — il n'y a aucune erreur de quadrature ! L'erreur vient uniquement de l'écart entre le spline et la vraie fonction .
Cas d'un pas constant
Si tous les intervalles ont la même largeur , on peut factoriser :
Exemple numérique
Considérons 4 points de données avec un pas :
| i | xᵢ | fᵢ |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1.0 |
| 1 | 1 | 2.7 |
| 2 | 2 | 5.8 |
| 3 | 3 | 6.6 |
Supposons que le spline cubique naturel (conditions ) donne les coefficients suivants (obtenus en résolvant le système tridiagonal du chapitre 4) :
| Intervalle | aᵢ | bᵢ | cᵢ | dᵢ |
|---|---|---|---|---|
| 0.15 | 0 | 1.55 | 1.0 | |
| −0.90 | 0.45 | 2.45 | 2.7 | |
| 0.75 | −2.25 | 2.30 | 5.8 |
Dérivées aux nœuds
Les dérivées se lisent directement dans les coefficients :
| Nœud | S'(xᵢ) = cᵢ | S''(xᵢ) = 2bᵢ |
|---|---|---|
| 1.55 | 0 (condition naturelle) | |
| 2.45 | 0.90 | |
| 2.30 | −4.50 |
La pente augmente de à (la fonction accélère), puis diminue légèrement vers . La courbure change de signe entre et , ce qui correspond à un point d'inflexion — cohérent avec les données qui croissent vite puis ralentissent.
Intégrale
Avec , l'intégrale de chaque morceau est simplement :
Intervalle :
Intervalle :
Intervalle :
Total :
Pour comparaison, Simpson 1/3 composite (avec les mêmes 4 points, en combinant 1/3 et 3/8) donnerait une approximation différente car il ne tient pas compte de la courbure continue entre les morceaux.
Quand utiliser les splines ?
| Critère | Newton-Cotes / Simpson | Spline cubique |
|---|---|---|
| Données requises | Valeurs seulement | Valeurs + résolution du système tridiagonal |
| Points non équidistants | Nécessite la méthode des coefficients indéterminés | Gère naturellement les pas variables ( différents) |
| Dérivées | Différences finies (une seule formule) | Continues et lisses () |
| Beaucoup de points | OK (composite) | Stable (pas de Runge) |
| Coût de mise en place | Faible (formule directe) | Plus élevé (système tridiagonal) |
En pratique
Si vous avez déjà construit le spline pour interpoler vos données (par exemple pour tracer une courbe lisse), la dérivation et l'intégration sont quasi gratuites — les coefficients sont déjà là. C'est le scénario le plus courant en ingénierie.
Si vous avez juste besoin d'une intégrale rapide et que vos points sont équidistants, Simpson composite reste plus simple à implémenter.
Résumé
- Les splines cubiques permettent de dériver et intégrer les données avec une garantie de continuité () et de stabilité
- Les dérivées aux nœuds se lisent directement dans les coefficients : ,
- L'intégrale est exacte pour le spline et se calcule en sommant sur chaque intervalle
- La méthode est particulièrement intéressante quand le spline a déjà été construit pour l'interpolation
Pour aller plus loin
Dans la prochaine leçon, nous abordons les intégrales impropres et multiples, qui nécessitent des techniques spéciales pour gérer les singularités et les dimensions supplémentaires.