Dérivation et intégration des splines cubiques
Objectifs d'apprentissage
À la fin de cette leçon, vous serez en mesure de :
- Dériver un spline cubique en un point
- Intégrer un spline cubique sur un intervalle
- Comprendre les avantages des splines par rapport aux polynômes
Prérequis
- Splines cubiques (Chapitre 4, Leçons 5-6)
- Dérivation et intégration de polynômes
- Forme locale des splines
Rappel : forme du spline cubique
Un spline cubique sur l'intervalle s'écrit :
où les coefficients sont déterminés par les conditions d'interpolation et de continuité ().
Dérivation du spline
Dérivée première
En dérivant :
💡
Dérivée en xᵢ
La dérivée première au nœud est simplement le coefficient .
Dérivée seconde
En dérivant encore :
💡
Dérivée seconde en xᵢ
La dérivée seconde au nœud est .
Continuité des dérivées
Par construction du spline cubique :
- — continuité de la dérivée première
- — continuité de la dérivée seconde
Cela garantit que les dérivées calculées sont continues sur tout l'intervalle.
Intégration du spline
Intégrale sur un sous-intervalle
L'intégrale de sur se calcule directement :
Avec :
Intégrale totale
Pour intégrer sur tout l'intervalle :
💡
Intégrale du spline complet
Cas d'un pas constant
Si tous les intervalles ont la même largeur :
Avantages des splines
Pour la dérivation
- Stabilité : Contrairement aux polynômes de haut degré, les splines ne souffrent pas d'oscillations (Runge)
- Continuité : Les dérivées sont continues jusqu'à l'ordre 2
- Localité : Modifier un point n'affecte que les intervalles voisins
Pour l'intégration
- Précision : L'approximation par spline cubique est souvent meilleure qu'un polynôme global
- Flexibilité : Fonctionne bien avec des données irrégulièrement espacées
Comparaison avec les méthodes précédentes
| Méthode | Dérivée | Intégrale | Stabilité |
|---|---|---|---|
| Différences finies | Simple | N/A | Instable (amplification) |
| Polynôme global | Oscillations | Précis | Runge pour grand |
| Spline cubique | Lisse | Précis | Stable |
Résumé
- La dérivée du spline en est donnée par les coefficients : ,
- L'intégrale se calcule en sommant les contributions de chaque sous-intervalle
- Les splines offrent un bon compromis entre précision et stabilité
- Ils sont particulièrement utiles quand les données sont irrégulièrement espacées
Pour aller plus loin
Dans la prochaine leçon, nous abordons les intégrales impropres et multiples, qui nécessitent des techniques spéciales.