Intégrales impropres, indéfinies et multiples
Objectifs d'apprentissage
À la fin de cette leçon, vous serez en mesure de :
- Traiter numériquement les intégrales impropres (bornes infinies ou singularités)
- Calculer des intégrales doubles par méthodes itérées
- Adapter les méthodes aux régions non rectangulaires
Prérequis
- Quadratures composites
- Quadratures gaussiennes
- Intégrales multiples (calcul)
Intégrales impropres
Type 1 : Bornes infinies
Considérons . La stratégie est de tronquer l'intervalle :
où est choisi assez grand pour que la contribution de soit négligeable.
Choix de A
Le choix de dépend de la vitesse de décroissance de . On vérifie en doublant que le résultat ne change plus significativement.
Exemple :
| A | Approximation |
|---|---|
| 1 | 0.26424 |
| 10 | 0.99950 |
| 100 | 1.00001 |
| 1000 | 1.00001 |
| 1.00000 (exact) |
La convergence est rapide grâce à la décroissance exponentielle de .
Type 2 : Singularités
Pour une intégrale avec singularité, par exemple , on peut :
- Exclure un voisinage de la singularité :
- Utiliser un changement de variable qui régularise
- Appliquer des quadratures spéciales (Gauss-Laguerre, etc.)
Intégrales doubles à limites constantes
Principe : intégration itérée
Pour calculer sur un rectangle :
On procède en deux étapes :
- Fixer et intégrer en pour obtenir
- Intégrer sur
Exemple numérique
Calculons une intégrale double avec les données tabulées suivantes sur :
| x \ y | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.5 | 0.6 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1.5 | 0.990 | 1.524 | 2.045 | 2.549 | 3.031 |
| 2.0 | 1.568 | 2.384 | 3.177 | 3.943 | 4.672 |
| 2.5 | 2.520 | 3.800 | 5.044 | 6.241 | 7.379 |
| 3.0 | 4.090 | 6.136 | 8.122 | 10.030 | 11.841 |
Étape 1 : Intégration en x (trapèze composite, h = 0.5)
Pour chaque valeur de , on intègre en :
y = 0.2 :
y = 0.3 :
y = 0.4 :
y = 0.5 :
y = 0.6 :
Étape 2 : Intégration en y (Simpson 1/3, h = 0.1)
Intégrales doubles à limites variables
Pour une région non rectangulaire, par exemple :
La limite supérieure en dépend de .
Stratégie
- Pour chaque , déterminer les bornes en
- Adapter le maillage en à chaque tranche
- Appliquer la quadrature sur chaque tranche
Exemple
Calculons avec le trapèze (5 intervalles en et en ).
Pour chaque , la borne supérieure en est .
| i | xᵢ | Borne y | Sᵢ (intégrale en y) |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0.2 | 1.04 | 0.108 |
| 2 | 0.4 | 1.16 | 0.269 |
| 3 | 0.6 | 1.36 | 0.555 |
| 4 | 0.8 | 1.64 | 1.076 |
| 5 | 1.0 | 2.00 | 2.000 |
Intégration finale en :
Valeur analytique :
L'erreur provient de la grossièreté du maillage.
Résumé
- Intégrales impropres : tronquer les bornes infinies, traiter les singularités par changement de variable
- Intégrales doubles rectangulaires : intégration itérée (d'abord une variable, puis l'autre)
- Intégrales doubles à limites variables : adapter le maillage à la région
Conclusion du chapitre
Ce chapitre a couvert les techniques fondamentales de dérivation et intégration numériques :
- Dérivation : formules aux différences, instabilité, Richardson
- Intégration simple : Newton-Cotes, Simpson, Romberg, Gauss
- Intégration avancée : splines, impropres, multiples
Ces méthodes sont essentielles pour l'analyse numérique des équations différentielles (chapitre suivant).