Intégrales impropres, indéfinies et multiples

Objectifs d'apprentissage

À la fin de cette leçon, vous serez en mesure de :

• Identifier quand une intégrale pose problème pour les méthodes standard
• Traiter les intégrales à bornes infinies par troncature
• Gérer les singularités par changement de variable ou exclusion
• Calculer des intégrales doubles par la méthode itérée
• Adapter le maillage aux régions non rectangulaires

Prérequis

• Quadratures composites (trapèze, Simpson)
• Quadratures gaussiennes
• Intégrales multiples (calcul intégral)

Pourquoi cette leçon ?

Toutes les méthodes vues jusqu'ici — trapèze, Simpson, Romberg, Gauss — supposent tacitement que :

1. L'intervalle est borné : avec et finis
2. La fonction est régulière : est continue et bornée sur
3. L'intégrale est simple : une seule variable d'intégration

En pratique, ces hypothèses sont souvent violées. Quelques exemples courants en ingénierie :

• Probabilités : la loi normale a des bornes infinies
• Physique : le potentiel gravitationnel a une singularité en
• Thermique : le flux de chaleur dans une plaque est une intégrale double

Cette leçon montre comment adapter les méthodes standard à ces trois situations.

Partie 1 : Intégrales impropres

Le problème

Une intégrale est dite impropre quand l'intervalle est infini ou quand l'intégrande diverge en un point. Les méthodes de quadrature standard échouent dans ces cas :

• On ne peut pas discrétiser en un nombre fini de points équidistants
• Si en un point, les formules pondérées donnent des résultats aberrants

Type 1 : bornes infinies

Considérons . La stratégie la plus simple est de tronquer l'intervalle :

où est choisi assez grand pour que la contribution de soit négligeable.

Mais comment choisir ? Cela dépend de la vitesse de décroissance de :

• Si décroît exponentiellement (ex : ), ou 20 suffit souvent
• Si décroît lentement (ex : ), il faut un beaucoup plus grand

Exemple :

La valeur exacte est . Voyons l'effet de la troncature :

Grâce à la décroissance exponentielle de , suffit pour 3 décimales. Pour une fonction à décroissance polynomiale, il faudrait bien plus grand.

Alternative : changement de variable

Au lieu de tronquer, on peut transformer l'intervalle infini en intervalle fini. Par exemple, le changement envoie sur :

On peut alors appliquer une quadrature standard sur . Cette approche est plus élégante mais introduit un facteur qui peut créer une singularité en — on retombe alors sur le type 2 ci-dessous.

Type 2 : singularités de l'intégrande

Considérons . L'intégrande diverge en , donc évaluer est impossible. Trois stratégies :

Stratégie 1 : exclusion. On intègre sur et on fait tendre :

La convergence est lente (en ) — c'est une méthode de dernier recours.

Stratégie 2 : changement de variable. On pose , donc :

La singularité a disparu ! L'intégrande transformée est une simple constante. C'est la méthode la plus efficace quand on connaît la nature de la singularité.

Stratégie 3 : quadratures spéciales. Pour les singularités de type , des quadratures de Gauss adaptées (Gauss-Jacobi, Gauss-Laguerre) intègrent la singularité dans les poids de la formule.

Partie 2 : Intégrales doubles à limites constantes

Pourquoi c'est différent ?

Passer d'une intégrale simple à une intégrale double n'est pas juste « faire la même chose deux fois ». Le coût explose : si on utilise points par dimension, le nombre total d'évaluations est . C'est le fléau de la dimension : avec 100 points par axe, on a 10 000 évaluations en 2D et 1 000 000 en 3D.

Principe : intégration itérée

Pour une intégrale double sur un rectangle , le théorème de Fubini permet d'écrire :

On réduit ainsi le problème 2D à une séquence de problèmes 1D :

1. Pour chaque fixé, calculer l'intégrale intérieure par une quadrature en
2. Intégrer sur par une quadrature en

On peut utiliser le trapèze, Simpson ou Gauss pour chaque dimension — et même des méthodes différentes selon les axes si l'une est plus régulière que l'autre.

Exemple numérique

Calculons sur à partir de données tabulées :

Étape 1 : intégration en (trapèze composite, , 4 points → 3 intervalles)

Pour chaque colonne , on applique le trapèze composite en . Par exemple, pour :

De même pour les autres colonnes : , , , .

Étape 2 : intégration en (Simpson 1/3, , 5 points → 4 intervalles, pair)

On applique Simpson 1/3 composite aux valeurs :

Partie 3 : Intégrales doubles à limites variables

Le problème

Quand la région d'intégration n'est pas un rectangle, les limites d'une variable dépendent de l'autre :

La difficulté est que pour chaque , l'intervalle en est différent. Il faut adapter le maillage à chaque tranche.

Exemple :

La borne supérieure en est , qui varie de 1 (pour ) à 2 (pour ). La valeur exacte est .

Étape 1 : discrétiser en .

Avec intervalles en () :

Étape 2 : pour chaque , intégrer en .

L'intégrale intérieure se calcule analytiquement ici :

En pratique, si n'est pas calculable analytiquement, on utiliserait une quadrature numérique en pour chaque tranche — c'est ce qui rend la méthode coûteuse.

Étape 3 : intégrer en .

Trapèze composite avec :

Erreur : , soit environ 3%. En raffinant le maillage ou en utilisant Simpson, on améliorerait la précision.

Résumé et vue d'ensemble du chapitre

Cette leçon

• Intégrales impropres : tronquer les bornes infinies (vérifier en doublant ), régulariser les singularités par changement de variable
• Intégrales doubles rectangulaires : intégration itérée (Fubini), quadrature indépendante par axe
• Intégrales doubles à limites variables : adapter le maillage en à chaque

Vue d'ensemble du chapitre 5

Ce chapitre a couvert les techniques fondamentales de dérivation et intégration numériques :

Ces méthodes sont les briques de base pour le chapitre suivant : les équations différentielles ordinaires, où l'on combine dérivation et intégration pour simuler l'évolution de systèmes dynamiques.