Annexe A — Dérivation numérique par Taylor

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Pourquoi cette annexe ?

Dans les leçons précédentes, nous avons obtenu les formules de dérivation numérique en dérivant le polynôme de Newton-Gregory. C'est l'approche historique : on part de l'interpolation, on dérive, on évalue en $s = 0$ .

Cette annexe présente une approche alternative : partir directement des développements de Taylor de $f(x+h)$ et $f(x-h)$ , et manipuler ces séries pour isoler les dérivées. Les deux approches donnent les mêmes formules, mais l'approche Taylor a deux avantages :

Elle donne directement l'expression exacte de l'erreur de troncature (pas besoin de dériver l'erreur d'interpolation)
Elle révèle un principe de dualité élégant entre soustraction (dérivées impaires) et addition (dérivées paires)

Cette annexe complète les leçons sur la dérivation numérique. Nous vous recommandons de la lire après la leçon sur les formules et l'instabilité pour consolider votre compréhension.

1. Point de départ : dériver une interpolation

Rappelons que l'interpolation de $f$ par un polynôme $P_n$ s'écrit :

f(x) = P_n(x) + E_n(x)

où $E_n(x)$ est l'erreur d'interpolation. En dérivant :

f'(x) = P_n'(x) + E_n'(x)

Le terme $P_n'(x)$ est calculable — c'est un polynôme, on sait le dériver exactement. Toute la question est alors : quelle est la forme de l'erreur $E_n'(x)$ ? Quel est son ordre en $h$ ? Comment dépend-elle du nombre de points choisis et de leur disposition (avant, arrière, centrée) ?

Pour répondre à ces questions de façon systématique, l'outil fondamental est le développement de Taylor. Il permet de réécrire les valeurs $f(x+h)$ , $f(x-h)$ , $f(x+2h)$ , etc., en fonction des dérivées de $f$ en $x$ , et ainsi d'identifier exactement les termes d'erreur qui apparaissent dans chaque formule de différence finie.

2. Fondation : le développement de Taylor

Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction suffisamment dérivable. Le développement de Taylor de $f$ autour d'un point $x$ , évalué en $x + h$ , s'écrit :

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Développement (1) — pas positif

f(x+h) = f(x) + h\,f'(x) + \frac{h^2}{2}\,f''(x) + \frac{h^3}{6}\,f'''(x) + \frac{h^4}{24}\,f^{(4)}(x) + \frac{h^5}{120}\,f^{(5)}(x) + \cdots \quad (1)

En remplaçant $h$ par $-h$ , on obtient le développement pour le pas négatif :

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Développement (2) — pas négatif

f(x-h) = f(x) - h\,f'(x) + \frac{h^2}{2}\,f''(x) - \frac{h^3}{6}\,f'''(x) + \frac{h^4}{24}\,f^{(4)}(x) - \frac{h^5}{120}\,f^{(5)}(x) + \cdots \quad (2)

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Observation fondamentale

En passant de (1) à (2), les termes en puissance impaire de $h$ ( $h, h^3, h^5, \ldots$ ) changent de signe, tandis que les termes en puissance paire ( $h^2, h^4, h^6, \ldots$ ) restent identiques. Cette propriété de symétrie/antisymétrie est le moteur de toutes les constructions qui suivent.

3. Formules de dérivée première

3.1 Différence avant (forward difference)

On isole directement $f'(x)$ à partir de l'équation (1).

Réarrangement de (1) :

f(x+h) - f(x) = h\,f'(x) + \frac{h^2}{2}\,f''(x) + \frac{h^3}{6}\,f'''(x) + \cdots

Division par $h$ :

\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = f'(x) + \frac{h}{2}\,f''(x) + \frac{h^2}{6}\,f'''(x) + \cdots

Isolation de $f'(x)$ :

f'(x) = \frac{f(x+h) - f(x)}{h} - \frac{h}{2}\,f''(x) - \frac{h^2}{6}\,f'''(x) - \cdots

Le premier terme d'erreur est $-\frac{h}{2}f''(x)$ , proportionnel à $h$ .

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Différence avant

f'(x) = \frac{f(x+h) - f(x)}{h} + O(h)

C'est la formule obtenue en posant $s = 0$ et $n = 1$ dans Newton-Gregory. Ici, Taylor nous donne directement que le terme d'erreur dominant est $-\frac{h}{2}f''(x)$ .

3.2 Différence arrière (backward difference)

Le même raisonnement appliqué à l'équation (2) donne, après isolation :

f'(x) = \frac{f(x) - f(x-h)}{h} + \frac{h}{2}\,f''(x) - \frac{h^2}{6}\,f'''(x) + \cdots

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Différence arrière

f'(x) = \frac{f(x) - f(x-h)}{h} + O(h)

L'erreur dominante est $+\frac{h}{2}f''(x)$ : même magnitude que la différence avant, mais de signe opposé. Cette observation est la clé de la prochaine formule.

3.3 Différence centrée — la soustraction (1) - (2)

C'est ici que la magie opère. On soustrait (2) de (1), terme par terme :

Termes constants : $f(x) - f(x) = 0$
Termes en $h$ (impair) : $h\,f' - (-h\,f') = 2h\,f'$
Termes en $h^2$ (pair) — s'annulent : $\frac{h^2}{2}f'' - \frac{h^2}{2}f'' = 0$
Termes en $h^3$ (impair) : $\frac{h^3}{6}f''' - \left(-\frac{h^3}{6}f'''\right) = \frac{2h^3}{6}f'''$
Termes en $h^4$ (pair) — s'annulent : $\frac{h^4}{24}f^{(4)} - \frac{h^4}{24}f^{(4)} = 0$

Il ne reste que les puissances impaires de $h$ :

f(x+h) - f(x-h) = 2h\,f'(x) + \frac{2h^3}{6}\,f'''(x) + \frac{2h^5}{120}\,f^{(5)}(x) + \cdots

En divisant par $2h$ et en isolant $f'(x)$ :

f'(x) = \frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h} - \frac{h^2}{6}\,f'''(x) - \frac{h^4}{120}\,f^{(5)}(x) - \cdots

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Différence centrée

f'(x) = \frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h} + O(h^2)

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Pourquoi la centrée gagne un ordre de précision

La soustraction (1)-(2) élimine automatiquement tous les termes en puissances paires de $h$ . Le premier terme d'erreur survivant est en $h^2$ (provenant du $h^3$ divisé par $h$ ), et non en $h$ comme pour les formules avant et arrière.

On peut aussi voir la centrée comme la moyenne des différences avant et arrière : les erreurs dominantes $-\frac{h}{2}f''$ et $+\frac{h}{2}f''$ s'annulent mutuellement.

C'est exactement ce que nous avons observé avec le cas $s = 1$ et $n = 2$ du polynôme de Newton-Gregory dans la leçon d'introduction.

4. Dérivée seconde par addition

Au lieu de soustraire les développements, on les additionne. La logique est l'exact miroir de la section précédente.

4.1 L'addition (1) + (2), terme par terme

Termes constants : $f(x) + f(x) = 2\,f(x)$
Termes en $h$ (impair) — s'annulent : $h\,f' + (-h\,f') = 0$
Termes en $h^2$ (pair) : $\frac{h^2}{2}f'' + \frac{h^2}{2}f'' = h^2\,f''$
Termes en $h^3$ (impair) — s'annulent : $\frac{h^3}{6}f''' + \left(-\frac{h^3}{6}f'''\right) = 0$
Termes en $h^4$ (pair) : $\frac{h^4}{24}f^{(4)} + \frac{h^4}{24}f^{(4)} = \frac{h^4}{12}\,f^{(4)}$

Il ne reste que les puissances paires de $h$ :

f(x+h) + f(x-h) = 2\,f(x) + h^2\,f''(x) + \frac{h^4}{12}\,f^{(4)}(x) + \frac{h^6}{360}\,f^{(6)}(x) + \cdots

4.2 Isoler $f''(x)$

Passer $2f(x)$ de l'autre côté :

f(x+h) + f(x-h) - 2\,f(x) = h^2\,f''(x) + \frac{h^4}{12}\,f^{(4)}(x) + \cdots

Diviser par $h^2$ :

\frac{f(x+h) - 2\,f(x) + f(x-h)}{h^2} = f''(x) + \frac{h^2}{12}\,f^{(4)}(x) + \cdots

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Dérivée seconde centrée

f''(x) = \frac{f(x+h) - 2\,f(x) + f(x-h)}{h^2} + O(h^2)

Le $-2\,f(x)$ dans le numérateur provient directement du terme $2\,f(x)$ qui apparaît dans l'addition — c'est la « trace » des deux copies de $f(x)$ qu'on doit soustraire pour ne garder que les termes de dérivée.

5. La dualité soustraction / addition

Les sections 3 et 4 révèlent un principe structurel profond :

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Principe de dualité

Soustraire (1) - (2) élimine les termes en puissances paires de $h$ et donne accès aux dérivées d'ordre impair : $f', f''', f^{(5)}, \ldots$

Additionner (1) + (2) élimine les termes en puissances impaires de $h$ et donne accès aux dérivées d'ordre pair : $f'', f^{(4)}, f^{(6)}, \ldots$

Dans chaque cas, l'erreur ne contient que des termes de la même parité que la dérivée cherchée. C'est cette structure qui explique pourquoi les formules centrées sont toujours d'ordre pair en $h$ ( $O(h^2), O(h^4), \ldots$ ).

Ce principe de dualité a une conséquence directe pour l'extrapolation de Richardson : puisque l'erreur des formules centrées ne contient que des puissances paires de $h$ , Richardson élimine le terme en $h^2$ et saute directement à $O(h^4)$ . Avec des formules non-centrées, l'erreur contient des puissances consécutives et Richardson est moins efficace.

6. Formules à plus de points : augmenter la précision

6.1 Le mécanisme : combinaison linéaire

Pour améliorer la précision, on développe $f(x \pm 2h)$ , $f(x \pm 3h)$ , etc., et on forme des combinaisons linéaires des développements pour annuler les termes d'erreur un par un. Chaque nouvelle paire symétrique fournit un degré de liberté supplémentaire.

6.2 Dérivée première centrée $O(h^4)$

On dispose des développements de $f(x \pm h)$ et $f(x \pm 2h)$ . On cherche des coefficients $a$ et $b$ tels que :

f'(x) = \frac{a\bigl[f(x+h) - f(x-h)\bigr] + b\bigl[f(x+2h) - f(x-2h)\bigr]}{2h} + O(h^4)

Par soustraction, chaque crochet ne contient que des puissances impaires. On impose l'annulation du terme en $h^2$ (le terme en $f'''$ ), ce qui donne le système :

a + 2b = 1 \quad \text{(coefficient de } f' \text{)}

a + 8b = 0 \quad \text{(annuler le coefficient de } f''' \text{)}

La solution est $a = \frac{4}{3}$ , $b = -\frac{1}{6}$ , soit :

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Dérivée première centrée, 4 points

f'(x) = \frac{-f(x+2h) + 8\,f(x+h) - 8\,f(x-h) + f(x-2h)}{12\,h} + O(h^4)

6.3 Dérivée seconde centrée $O(h^4)$

De la même façon, on combine les additions $(f(x+h) + f(x-h))$ et $(f(x+2h) + f(x-2h))$ pour éliminer le terme en $f^{(4)}$ :

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Dérivée seconde centrée, 5 points

f''(x) = \frac{-f(x+2h) + 16\,f(x+h) - 30\,f(x) + 16\,f(x-h) - f(x-2h)}{12\,h^2} + O(h^4)

6.4 Pourquoi les points viennent en paires

Si on tente d'ajouter un seul point (par exemple $f(x)$ dans la formule de $f'$ ), la symétrie de la formule centrée force son coefficient à zéro — il n'apporte aucune information sur le taux de changement. Les points utiles viennent nécessairement en paires symétriques $f(x+kh)$ et $f(x-kh)$ , et chaque paire élimine un terme d'erreur supplémentaire :

2 \text{ points} \to O(h^2) \quad \longrightarrow \quad 4 \text{ points} \to O(h^4) \quad \longrightarrow \quad 6 \text{ points} \to O(h^6)

7. Retour à l'interpolation

La section 1 posait la question : si $f'(x) = P_n'(x) + E_n'(x)$ , quelle est la forme de l'erreur $E_n'(x)$ ? Les sections 2 à 6 y ont répondu par l'approche Taylor. Mais on peut aussi obtenir les formules de différences finies directement à partir de l'interpolation, sans passer par Taylor — c'est l'approche vue dans les leçons sur la dérivation numérique.

Étant donné un ensemble de $n$ points $(x_i, f(x_i))$ , on construit le polynôme d'interpolation $P_{n-1}(x)$ (par Lagrange, Newton, ou toute base équivalente). Puisque $P_{n-1}$ approxime $f$ à travers ces points, sa dérivée $P'_{n-1}(x)$ fournit une approximation de $f'(x)$ .

Pour des points équidistants $x-h, x, x+h$ , le polynôme de Lagrange de degré 2 dérivé en $x$ donne exactement la formule de différence centrée. De même, les polynômes de degré supérieur à travers $x \pm 2h, x \pm 3h, \ldots$ reproduisent les formules à plus de points.

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Équivalence des deux approches

L'approche par Taylor construit les formules en manipulant des séries et en imposant l'annulation de termes d'erreur. L'approche par interpolation construit un polynôme passant par les points, puis le dérive. Les deux mènent aux mêmes coefficients.

L'approche Taylor a l'avantage de donner directement l'expression de l'erreur de troncature — c'est-à-dire de répondre précisément à la question posée en section 1. L'approche Newton-Gregory a l'avantage d'être systématique et de se généraliser naturellement à l'intégration (Partie B de ce chapitre).

8. Tableau récapitulatif

Dérivée	Type	Formule	Erreur
$f'$	Avant	$\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$	$O(h)$
$f'$	Arrière	$\frac{f(x) - f(x-h)}{h}$	$O(h)$
$f'$	Centrée, 2 pts	$\frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}$	$O(h^2)$
$f'$	Centrée, 4 pts	$\frac{-f(x+2h) + 8f(x+h) - 8f(x-h) + f(x-2h)}{12h}$	$O(h^4)$
$f'$	Avant, 3 pts	$\frac{-3f(x) + 4f(x+h) - f(x+2h)}{2h}$	$O(h^2)$
$f''$	Centrée, 3 pts	$\frac{f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)}{h^2}$	$O(h^2)$
$f''$	Centrée, 5 pts	$\frac{-f(x+2h) + 16f(x+h) - 30f(x) + 16f(x-h) - f(x-2h)}{12h^2}$	$O(h^4)$