Introduction aux équations différentielles

Objectifs d'apprentissage

À la fin de cette leçon, vous serez en mesure de :

Classifier les équations différentielles (ordinaires vs partielles, linéaires vs non linéaires)
Identifier l'ordre d'une équation différentielle
Comprendre le rôle des conditions initiales dans l'unicité de la solution
Reconnaître des applications physiques classiques des ÉD

Prérequis

Calcul différentiel et intégral
Dérivées partielles (notions de base)

Qu'est-ce qu'une équation différentielle ?

Une équation différentielle (ÉD) est une équation reliant une fonction inconnue à ses dérivées. Ces équations modélisent des phénomènes où le taux de variation d'une quantité dépend de la quantité elle-même ou d'autres variables.

💡

Définition formelle

Une équation différentielle est une relation de la forme :

F\left(t, y(t), y'(t), y''(t), \ldots, y^{(n)}(t)\right) = 0

où $y(t)$ est la fonction inconnue et $y^{(k)}(t)$ désigne sa dérivée d'ordre $k$ .

Classification des équations différentielles

ÉD ordinaires (ÉDO) vs ÉD aux dérivées partielles (ÉDP)

Type	Caractéristique	Exemple
ÉDO	Une seule variable indépendante	$\frac{dy}{dt} = -ty^2$
ÉDP	Plusieurs variables indépendantes	$\frac{\partial u}{\partial t} = k\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$

Dans ce chapitre, nous nous concentrons sur les ÉDO.

Ordre d'une ÉD

L'ordre d'une équation différentielle est le degré de la dérivée la plus élevée qui y apparaît.

Équation	Ordre
$y'(t) = -ty^2(t)$	1
$y''(t) + y(t) = 0$	2
$y'''(t) - 2y''(t) + y'(t) = e^t$	3

Linéaire vs non linéaire

Une ÉD est linéaire si la fonction inconnue et ses dérivées n'apparaissent qu'au premier degré, sans produits entre elles.

✅

Test de linéarité

Linéaire : $y''(t) + p(t)y'(t) + q(t)y(t) = g(t)$
Non linéaire : présence de $y^2$ , $yy'$ , $\sin(y)$ , etc.

Exemples d'applications physiques

1. Émission radioactive (linéaire, ordre 1)

La désintégration radioactive suit une loi de décroissance proportionnelle à la quantité présente :

\frac{dR(t)}{dt} = -\lambda R(t)

où $\lambda > 0$ est la constante de désintégration.

Solution analytique : $R(t) = R_0 e^{-\lambda t}$

💡

Caractéristiques

Ordre : 1
Type : linéaire, homogène
Solution explicite : oui

2. Variation de population (non linéaire, ordre 1)

Un modèle de dynamique de population avec mortalité non linéaire :

\frac{dN(t)}{dt} = aN(t) - bN^{1.7}(t)

où $a$ est le taux de natalité et $b$ modélise une mortalité dépendant de la densité.

⚠️

Caractéristiques

Ordre : 1
Type : non linéaire (à cause de $N^{1.7}$ )
Solution explicite : difficile ou impossible

3. Convection thermique (non linéaire, ordre 1)

Le refroidissement par convection naturelle :

\frac{du(t)}{dt} = -k(u(t) - T)^{5/4}

où $u(t)$ est la température du corps, $T$ la température ambiante, et $k > 0$ un coefficient de transfert.

⚠️

Caractéristiques

Ordre : 1
Type : non linéaire (exposant 5/4)
Solution explicite : possible par séparation de variables

4. Pendule simple (non linéaire, ordre 2)

L'équation du mouvement d'un pendule de longueur $L$ :

\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L}\sin(\theta) = 0

avec les conditions initiales $\theta(t_0) = \theta_0$ et $\theta'(t_0) = \theta'_0$ .

🚨

Caractéristiques

Ordre : 2
Type : non linéaire (à cause de $\sin(\theta)$ )
Solution explicite : impossible en termes de fonctions élémentaires

Pour les petits mouvements ( $\theta \ll 1$ ), on approxime $\sin(\theta) \approx \theta$ , ce qui donne l'équation linéarisée :

\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L}\theta = 0

dont la solution est $\theta(t) = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t)$ avec $\omega = \sqrt{g/L}$ .

Nécessité des conditions initiales

Pour déterminer une solution unique, une ÉD d'ordre $n$ nécessite $n$ conditions supplémentaires.

Conditions initiales (CI)

On spécifie la valeur de $y$ et de ses $n-1$ premières dérivées en un point $t_0$ :

y(t_0) = y_0, \quad y'(t_0) = y'_0, \quad \ldots, \quad y^{(n-1)}(t_0) = y^{(n-1)}_0

💡

Problème à valeur initiale (PVI)

Un problème à valeur initiale (ou problème de Cauchy) consiste en :

Une équation différentielle
Des conditions initiales en un point $t_0$

Sous des conditions appropriées (théorème de Cauchy-Lipschitz), la solution existe et est unique.

Exemple de référence

Tout au long de ce chapitre, nous utiliserons la même équation différentielle pour comparer les méthodes :

y'(t) = -t\,y^2(t), \quad y(0) = 1

✅

Solution analytique

Cette équation admet la solution exacte :

y(t) = \frac{2}{2 + t^2}

Cette solution nous servira de référence pour évaluer la précision des méthodes numériques.

Vérification :

$y(0) = \frac{2}{2 + 0} = 1$ ✓
$y'(t) = \frac{-4t}{(2 + t^2)^2} = -t \cdot \frac{4}{(2 + t^2)^2} = -t \cdot y^2(t)$ ✓

Visualisation : le champ de directions

Pour comprendre géométriquement une ÉD, on peut tracer son champ de directions : en chaque point $(t, y)$ du plan, on dessine un petit segment de pente $f(t, y)$ . La solution est alors la courbe qui « suit le courant » des segments.

Pourquoi des méthodes numériques ?

La plupart des équations différentielles rencontrées en pratique n'admettent pas de solution analytique exprimable en termes de fonctions élémentaires.

Situation	Solution analytique ?	Approche
ÉD linéaire à coefficients constants	Oui (exponentielles, sinus, cosinus)	Méthodes analytiques
ÉD linéaire à coefficients variables	Parfois (fonctions spéciales)	Séries, fonctions spéciales
ÉD non linéaire générale	Rarement	Méthodes numériques

Les méthodes numériques permettent d'obtenir une approximation de la solution en un ensemble discret de points.

Plan du chapitre

Ce chapitre se divise en deux grandes parties :

Partie A — Problèmes à conditions initiales (PVI)

Leçon 6.2 : Méthode des séries de Taylor
Leçon 6.3 : Méthode d'Euler (ordinaire et modifiée)
Leçon 6.4 : Méthodes de Runge-Kutta
Leçon 6.5 : Méthodes à pas multiples (Adams, Adams-Moulton)
Leçon 6.6 : Systèmes d'ÉD et ÉD d'ordre supérieur

Partie B — Problèmes à conditions aux limites (PCL)

Leçon 6.7 : Méthode de tir
Leçon 6.8 : Méthode des différences finies

Résumé

Une équation différentielle relie une fonction à ses dérivées
L'ordre est déterminé par la dérivée la plus élevée
Une ÉD est linéaire si $y$ et ses dérivées apparaissent au premier degré sans produits
Les conditions initiales (ordre 1 : une CI, ordre 2 : deux CI, etc.) garantissent l'unicité de la solution
La plupart des ÉD non linéaires nécessitent des méthodes numériques

Pour aller plus loin

Dans la prochaine leçon, nous verrons la méthode des séries de Taylor, qui constitue le fondement théorique de nombreuses méthodes numériques pour les ÉD.