Introduction aux équations différentielles
Objectifs d'apprentissage
À la fin de cette leçon, vous serez en mesure de :
- Classifier les équations différentielles (ordinaires vs partielles, linéaires vs non linéaires)
- Identifier l'ordre d'une équation différentielle
- Comprendre le rôle des conditions initiales dans l'unicité de la solution
- Reconnaître des applications physiques classiques des ÉD
Prérequis
- Calcul différentiel et intégral
- Dérivées partielles (notions de base)
Qu'est-ce qu'une équation différentielle ?
Une équation différentielle (ÉD) est une équation reliant une fonction inconnue à ses dérivées. Ces équations modélisent des phénomènes où le taux de variation d'une quantité dépend de la quantité elle-même ou d'autres variables.
Définition formelle
Une équation différentielle est une relation de la forme :
où est la fonction inconnue et désigne sa dérivée d'ordre .
Classification des équations différentielles
ÉD ordinaires (ÉDO) vs ÉD aux dérivées partielles (ÉDP)
| Type | Caractéristique | Exemple |
|---|---|---|
| ÉDO | Une seule variable indépendante | |
| ÉDP | Plusieurs variables indépendantes |
Dans ce chapitre, nous nous concentrons sur les ÉDO.
Ordre d'une ÉD
L'ordre d'une équation différentielle est le degré de la dérivée la plus élevée qui y apparaît.
| Équation | Ordre |
|---|---|
| 1 | |
| 2 | |
| 3 |
Linéaire vs non linéaire
Une ÉD est linéaire si la fonction inconnue et ses dérivées n'apparaissent qu'au premier degré, sans produits entre elles.
Test de linéarité
- Linéaire :
- Non linéaire : présence de , , , etc.
Exemples d'applications physiques
1. Émission radioactive (linéaire, ordre 1)
La désintégration radioactive suit une loi de décroissance proportionnelle à la quantité présente :
où est la constante de désintégration.
Solution analytique :
Caractéristiques
- Ordre : 1
- Type : linéaire, homogène
- Solution explicite : oui
2. Variation de population (non linéaire, ordre 1)
Un modèle de dynamique de population avec mortalité non linéaire :
où est le taux de natalité et modélise une mortalité dépendant de la densité.
Caractéristiques
- Ordre : 1
- Type : non linéaire (à cause de )
- Solution explicite : difficile ou impossible
3. Convection thermique (non linéaire, ordre 1)
Le refroidissement par convection naturelle :
où est la température du corps, la température ambiante, et un coefficient de transfert.
Caractéristiques
- Ordre : 1
- Type : non linéaire (exposant 5/4)
- Solution explicite : possible par séparation de variables
4. Pendule simple (non linéaire, ordre 2)
L'équation du mouvement d'un pendule de longueur :
avec les conditions initiales et .
Caractéristiques
- Ordre : 2
- Type : non linéaire (à cause de )
- Solution explicite : impossible en termes de fonctions élémentaires
Pour les petits mouvements (), on approxime , ce qui donne l'équation linéarisée :
dont la solution est avec .
Nécessité des conditions initiales
Pour déterminer une solution unique, une ÉD d'ordre nécessite conditions supplémentaires.
Conditions initiales (CI)
On spécifie la valeur de et de ses premières dérivées en un point :
Problème à valeur initiale (PVI)
Un problème à valeur initiale (ou problème de Cauchy) consiste en :
- Une équation différentielle
- Des conditions initiales en un point
Sous des conditions appropriées (théorème de Cauchy-Lipschitz), la solution existe et est unique.
Exemple : l'ÉD fil rouge du chapitre
Tout au long de ce chapitre, nous utiliserons l'équation différentielle suivante comme exemple récurrent :
Solution analytique
Cette équation admet la solution exacte :
Cette solution nous servira de référence pour évaluer la précision des méthodes numériques.
Vérification :
- ✓
- ✓
Pourquoi des méthodes numériques ?
La plupart des équations différentielles rencontrées en pratique n'admettent pas de solution analytique exprimable en termes de fonctions élémentaires.
| Situation | Solution analytique ? | Approche |
|---|---|---|
| ÉD linéaire à coefficients constants | Oui (exponentielles, sinus, cosinus) | Méthodes analytiques |
| ÉD linéaire à coefficients variables | Parfois (fonctions spéciales) | Séries, fonctions spéciales |
| ÉD non linéaire générale | Rarement | Méthodes numériques |
Les méthodes numériques permettent d'obtenir une approximation de la solution en un ensemble discret de points.
Plan du chapitre
Ce chapitre se divise en deux grandes parties :
Partie A — Problèmes à conditions initiales (PVI)
- Leçon 6.2 : Méthode des séries de Taylor
- Leçon 6.3 : Méthode d'Euler (ordinaire et modifiée)
- Leçon 6.4 : Méthodes de Runge-Kutta
- Leçon 6.5 : Méthodes à pas multiples (Adams, Adams-Moulton)
- Leçon 6.6 : Systèmes d'ÉD et ÉD d'ordre supérieur
Partie B — Problèmes à conditions aux limites (PCL)
- Leçon 6.7 : Méthode de tir
- Leçon 6.8 : Méthode des différences finies
Résumé
- Une équation différentielle relie une fonction à ses dérivées
- L'ordre est déterminé par la dérivée la plus élevée
- Une ÉD est linéaire si et ses dérivées apparaissent au premier degré sans produits
- Les conditions initiales (ordre 1 : une CI, ordre 2 : deux CI, etc.) garantissent l'unicité de la solution
- La plupart des ÉD non linéaires nécessitent des méthodes numériques
Pour aller plus loin
Dans la prochaine leçon, nous verrons la méthode des séries de Taylor, qui constitue le fondement théorique de nombreuses méthodes numériques pour les ÉD.