Méthode des séries de Taylor
Objectifs d'apprentissage
À la fin de cette leçon, vous serez en mesure de :
- Appliquer le développement de Taylor pour approximer la solution d'une ÉD
- Calculer les dérivées successives de à partir de
- Distinguer l'ordre local de l'ordre global d'une méthode
- Implémenter la méthode de Taylor d'ordre arbitraire
Prérequis
- Introduction aux équations différentielles
- Développement de Taylor (Chapitre 4)
- Dérivation en chaîne
Principe de la méthode
Considérons le problème à valeur initiale :
L'idée est d'utiliser le développement de Taylor de autour de pour approximer .
Développement de Taylor
où est le pas de discrétisation.
Clé de la méthode
L'équation différentielle nous donne . En dérivant cette relation, on peut exprimer toutes les dérivées supérieures en fonction de , et des dérivées partielles de .
Calcul des dérivées successives
Dérivée première
Par définition de l'ÉD :
Dérivée seconde
En dérivant par rapport à (règle de la chaîne) :
Notation compacte
En notant et , on a :
Dérivée troisième
En dérivant encore :
Les expressions deviennent rapidement complexes pour les ordres élevés.
Formule de Taylor d'ordre n
En tronquant le développement après le terme d'ordre , on obtient la méthode de Taylor d'ordre local :
Ordre local vs ordre global
- Ordre local : erreur commise à chaque pas, ici
- Ordre global : erreur cumulée après plusieurs pas, généralement
Règle : Si l'ordre local est , l'ordre global est .
Intuition : sur l'intervalle , on effectue environ pas. L'erreur totale est donc de l'ordre de .
Exemple détaillé : ÉD fil rouge
Appliquons la méthode de Taylor d'ordre local (donc d'ordre global ) à notre ÉD fil rouge :
avec .
Étape 1 : Calcul de
En remplaçant :
Étape 2 : Formule de récurrence
La méthode de Taylor d'ordre local donne :
Soit :
Étape 3 : Calcul de
Au point initial : , .
Donc :
Valeur exacte :
Erreur :
Étape 4 : Calcul de
Au point , .
Donc :
Valeur exacte :
Erreur :
Tableau récapitulatif
| t | yₙ (Taylor) | y(t) exact | Erreur |
|---|---|---|---|
| 0.0 | 1.000000 | 1.000000 | 0 |
| 0.1 | 0.995000 | 0.995025 | |
| 0.2 | 0.980249 | 0.980392 |
Algorithme général
def taylor_order2(f, df_dt, t0, y0, h, n_steps):
"""
Méthode de Taylor d'ordre local h³ (ordre global h²).
Paramètres:
f: fonction f(t, y) = y'
df_dt: fonction donnant y'' = f_t + f_y * f
t0, y0: conditions initiales
h: pas de discrétisation
n_steps: nombre de pas
Retourne:
t, y: tableaux des valeurs
"""
t = [t0]
y = [y0]
for j in range(n_steps):
tj, yj = t[-1], y[-1]
# Dérivées
y_prime = f(tj, yj)
y_second = df_dt(tj, yj)
# Formule de Taylor
y_next = yj + h * y_prime + (h**2 / 2) * y_second
t.append(tj + h)
y.append(y_next)
return t, y
# Exemple d'utilisation pour y' = -t*y²
def f(t, y):
return -t * y**2
def df_dt(t, y):
# y'' = -y² + 2t²y³
return -y**2 + 2 * t**2 * y**3
t, y = taylor_order2(f, df_dt, t0=0, y0=1, h=0.1, n_steps=10)Avantages et inconvénients
| Avantages | Inconvénients |
|---|---|
| Précision arbitraire (en augmentant l'ordre) | Calcul fastidieux des dérivées de |
| Fondement théorique solide | Expressions complexes pour les ordres élevés |
| Base des méthodes de Runge-Kutta | Nécessite les dérivées partielles de |
En pratique
La méthode de Taylor est rarement utilisée directement en raison de la difficulté à calculer les dérivées de . Les méthodes de Runge-Kutta atteignent le même ordre de précision sans nécessiter ces dérivées explicites.
Résumé
- La méthode de Taylor utilise le développement de Taylor pour approximer
- Les dérivées s'expriment via la règle de la chaîne :
- Ordre local → ordre global
- La méthode est précise mais requiert le calcul explicite des dérivées de
Pour aller plus loin
Dans la prochaine leçon, nous verrons la méthode d'Euler, qui est le cas particulier le plus simple de la méthode de Taylor (ordre 1).