Méthode des séries de Taylor

Objectifs d'apprentissage

À la fin de cette leçon, vous serez en mesure de :

Appliquer le développement de Taylor pour approximer la solution d'une ÉD
Calculer les dérivées successives de $y(t)$ à partir de $f(t, y)$
Distinguer l'ordre local de l'ordre global d'une méthode
Implémenter la méthode de Taylor d'ordre arbitraire

Prérequis

Introduction aux équations différentielles
Développement de Taylor (Chapitre 1)
Dérivation en chaîne

Principe de la méthode

Considérons le problème à valeur initiale :

y'(t) = f(t, y(t)), \quad y(t_0) = y_0

L'idée est d'utiliser le développement de Taylor de $y(t)$ autour de $t_j$ pour approximer $y(t_{j+1})$ .

Développement de Taylor

y(t_{j+1}) = y(t_j) + h\,y'(t_j) + \frac{h^2}{2}y''(t_j) + \frac{h^3}{6}y'''(t_j) + \cdots + \frac{h^n}{n!}y^{(n)}(t_j) + O(h^{n+1})

où $h = t_{j+1} - t_j$ est le pas de discrétisation.

💡

Clé de la méthode

L'équation différentielle nous donne $y'(t) = f(t, y)$ . En dérivant cette relation, on peut exprimer toutes les dérivées supérieures $y'', y''', \ldots$ en fonction de $t$ , $y$ et des dérivées partielles de $f$ .

Calcul des dérivées successives

Dérivée première

Par définition de l'ÉD :

y'(t) = f(t, y(t))

Dérivée seconde

En dérivant par rapport à $t$ (règle de la chaîne) :

y''(t) = \frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dt} = \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot f

✅

Notation compacte

En notant $f_t = \frac{\partial f}{\partial t}$ et $f_y = \frac{\partial f}{\partial y}$ , on a :

y'' = f_t + f_y \cdot f

Dérivée troisième

En dérivant encore :

y''' = \frac{d}{dt}(f_t + f_y \cdot f) = f_{tt} + 2f_{ty}f + f_{yy}f^2 + f_y(f_t + f_y f)

Les expressions deviennent rapidement complexes pour les ordres élevés.

Formule de Taylor d'ordre n

En tronquant le développement après le terme d'ordre $n$ , on obtient la méthode de Taylor d'ordre local $h^{n+1}$ :

y_{j+1} = y_j + h\,y'_j + \frac{h^2}{2}y''_j + \frac{h^3}{6}y'''_j + \cdots + \frac{h^n}{n!}y^{(n)}_j

⚠️

Ordre local vs ordre global

Ordre local : erreur commise à chaque pas, ici $O(h^{n+1})$
Ordre global : erreur cumulée après plusieurs pas, généralement $O(h^n)$

Règle : Si l'ordre local est $h^{n+1}$ , l'ordre global est $h^n$ .

Intuition : sur l'intervalle $[t_0, T]$ , on effectue environ $N = (T-t_0)/h$ pas. L'erreur totale est donc de l'ordre de $N \times h^{n+1} = O(h^n)$ .

Exemple détaillé

Appliquons la méthode de Taylor d'ordre local $h^3$ (donc d'ordre global $h^2$ ) à notre équation de référence :

y'(t) = f(t, y) = -ty^2(t), \quad y(0) = 1

avec $h = 0.1$ .

Étape 1 : Calcul de $y''(t)$

y'' = \frac{d}{dt}(-ty^2) = -y^2 + (-t) \cdot 2y \cdot y'

En remplaçant $y' = -ty^2$ :

y'' = -y^2 + (-t) \cdot 2y \cdot (-ty^2) = -y^2 + 2t^2y^3

Étape 2 : Formule de récurrence

La méthode de Taylor d'ordre local $h^3$ donne :

y_{j+1} = y_j + h\,y'_j + \frac{h^2}{2}y''_j

Soit :

y_{j+1} = y_j + h(-t_j y_j^2) + \frac{h^2}{2}(-y_j^2 + 2t_j^2 y_j^3)

Étape 3 : Calcul de $y_1$

Au point initial : $t_0 = 0$ , $y_0 = 1$ .

y'_0 = -t_0 \cdot y_0^2 = -0 \cdot 1 = 0

y''_0 = -y_0^2 + 2t_0^2 y_0^3 = -1 + 0 = -1

Donc :

y_1 = y_0 + h \cdot y'_0 + \frac{h^2}{2} \cdot y''_0 = 1 + 0.1 \cdot 0 + \frac{0.01}{2} \cdot (-1)

y_1 = 1 - 0.005 = 0.995

Valeur exacte : $y(0.1) = \frac{2}{2 + 0.01} = \frac{2}{2.01} \approx 0.99502487$

Erreur : $|0.995 - 0.99502| \approx 2.5 \times 10^{-5}$

Étape 4 : Calcul de $y_2$

Au point $t_1 = 0.1$ , $y_1 = 0.995$ .

y'_1 = -t_1 \cdot y_1^2 = -0.1 \times 0.995^2 = -0.099003

y''_1 = -y_1^2 + 2t_1^2 y_1^3 = -0.990025 + 2 \times 0.01 \times 0.985075 = -0.970324

Donc :

y_2 = 0.995 + 0.1 \times (-0.099003) + \frac{0.01}{2} \times (-0.970324)

y_2 = 0.995 - 0.0099003 - 0.00485162 = 0.9802481

Valeur exacte : $y(0.2) = \frac{2}{2.04} \approx 0.980392156$

Erreur : $|0.9802481 - 0.9803922| \approx 1.4 \times 10^{-4}$

Tableau récapitulatif

t	yₙ (Taylor)	y(t) exact	Erreur
0.0	1.000000	1.000000	0
0.1	0.995000	0.995025	$2.5 \times 10^{-5}$
0.2	0.980248	0.980392	$1.4 \times 10^{-4}$

Algorithme général

python

def taylor_order2(f, df_dt, t0, y0, h, n_steps):
  """
  Méthode de Taylor d'ordre local h³ (ordre global h²).

  Paramètres:
      f: fonction f(t, y) = y'
      df_dt: fonction donnant y'' = f_t + f_y * f
      t0, y0: conditions initiales
      h: pas de discrétisation
      n_steps: nombre de pas

  Retourne:
      t, y: tableaux des valeurs
  """
  t = [t0]
  y = [y0]

  for j in range(n_steps):
      tj, yj = t[-1], y[-1]

      # Dérivées
      y_prime = f(tj, yj)
      y_second = df_dt(tj, yj)

      # Formule de Taylor
      y_next = yj + h * y_prime + (h**2 / 2) * y_second

      t.append(tj + h)
      y.append(y_next)

  return t, y

# Exemple d'utilisation pour y' = -t*y²
def f(t, y):
  return -t * y**2

def df_dt(t, y):
  # y'' = -y² + 2t²y³
  return -y**2 + 2 * t**2 * y**3

t, y = taylor_order2(f, df_dt, t0=0, y0=1, h=0.1, n_steps=10)

Avantages et inconvénients

Avantages	Inconvénients
Précision arbitraire (en augmentant l'ordre)	Calcul fastidieux des dérivées de $f$
Fondement théorique solide	Expressions complexes pour les ordres élevés
Base des méthodes de Runge-Kutta	Nécessite les dérivées partielles de $f$

✅

En pratique

La méthode de Taylor est rarement utilisée directement en raison de la difficulté à calculer les dérivées de $f$ . Les méthodes de Runge-Kutta atteignent le même ordre de précision sans nécessiter ces dérivées explicites.

Visualisation : effet de l'ordre de Taylor

Résumé

La méthode de Taylor utilise le développement de Taylor pour approximer $y(t_{j+1})$
Les dérivées $y'', y''', \ldots$ s'expriment via la règle de la chaîne : $y'' = f_t + f_y \cdot f$
Ordre local $h^{n+1}$ → ordre global $h^n$
La méthode est précise mais requiert le calcul explicite des dérivées de $f$

Pour aller plus loin

Dans la prochaine leçon, nous verrons la méthode d'Euler, qui est le cas particulier le plus simple de la méthode de Taylor (ordre 1).