Méthode d'Euler (ordinaire et modifiée)

Objectifs d'apprentissage

À la fin de cette leçon, vous serez en mesure de :

Appliquer la méthode d'Euler ordinaire pour résoudre une ÉD
Comprendre l'interprétation géométrique de la méthode d'Euler
Analyser l'erreur locale et globale de la méthode
Appliquer la méthode d'Euler modifiée (prédiction-correction)
Comparer les performances des deux variantes

Prérequis

Méthode des séries de Taylor
Pente d'une tangente
Notion d'erreur de troncature

Méthode d'Euler ordinaire

Principe

La méthode d'Euler est le cas le plus simple de la méthode de Taylor : on ne garde que le terme d'ordre 1.

y(t_{j+1}) = y(t_j) + h\,y'(t_j) + O(h^2)

En utilisant $y' = f(t, y)$ et en négligeant le terme d'erreur :

💡

Formule d'Euler ordinaire

y_{j+1} = y_j + h \cdot f(t_j, y_j)

Ordre local : $O(h^2)$
Ordre global : $O(h)$

Interprétation géométrique

La méthode d'Euler consiste à :

Calculer la pente $f(t_j, y_j)$ au point actuel
Suivre la tangente sur une distance $h$
Obtenir le point suivant $(t_{j+1}, y_{j+1})$

C'est une extrapolation linéaire basée sur la pente locale.

⚠️

Limitation

La tangente ne suit pas la courbe exacte — elle s'en écarte progressivement. C'est pourquoi la méthode d'Euler n'est que d'ordre 1.

Algorithme

python

def euler(f, t0, y0, h, n_steps):
  """
  Méthode d'Euler ordinaire.

  Paramètres:
      f: fonction f(t, y) = y'
      t0, y0: conditions initiales
      h: pas de discrétisation
      n_steps: nombre de pas

  Retourne:
      t, y: tableaux des valeurs
  """
  t = [t0]
  y = [y0]

  for j in range(n_steps):
      tj, yj = t[-1], y[-1]
      y_next = yj + h * f(tj, yj)
      t.append(tj + h)
      y.append(y_next)

  return t, y

Analyse de l'erreur

Erreur locale de troncature

L'erreur commise à un seul pas, en supposant que $y_j$ est exact :

\tau_{j+1} = y(t_{j+1}) - [y(t_j) + hf(t_j, y(t_j))] = \frac{h^2}{2}y''(\xi_j)

pour un certain $\xi_j \in [t_j, t_{j+1}]$ .

Erreur globale

L'erreur globale $e_n = y_n - Y_n$ (où $Y_n$ est la valeur exacte) se propage selon :

|e_{n+1}| \leq (1 + hK)|e_n| + \frac{h^2}{2}M

où $K$ est la constante de Lipschitz de $f$ et $M = \max|y''|$ .

💡

Borne d'erreur globale

Après $n$ pas (soit $t_n - t_0 = nh$ ), l'erreur globale satisfait :

|e_n| \leq \frac{hM}{2K}(e^{nhK} - 1) = O(h)

L'erreur globale est donc proportionnelle à $h$ , pas à $h^2$ .

Exemple : Euler ordinaire sur $y' = -ty^2$

Appliquons Euler à $y' = -ty^2$ , $y(0) = 1$ , avec $h = 0.1$ .

Calculs pas à pas

Pas 0 → 1 : $t_0 = 0$ , $y_0 = 1$

y_1 = y_0 + h \cdot f(t_0, y_0) = 1 + 0.1 \times (-0 \times 1^2) = 1.0000

Pas 1 → 2 : $t_1 = 0.1$ , $y_1 = 1.0000$

y_2 = y_1 + h \cdot f(t_1, y_1) = 1.0000 + 0.1 \times (-0.1 \times 1^2) = 0.9900

Pas 2 → 3 : $t_2 = 0.2$ , $y_2 = 0.9900$

y_3 = 0.9900 + 0.1 \times (-0.2 \times 0.9801) = 0.9704

Tableau comparatif (h = 0.1)

t	Euler yₙ	Exact y(t)	Erreur
0.0	1.0000	1.0000	0
0.1	1.0000	0.9950	$-5.0 \times 10^{-3}$
0.2	0.9900	0.9804	$-9.6 \times 10^{-3}$
0.3	0.9704	0.9569	$-1.3 \times 10^{-2}$
0.4	0.9421	0.9259	$-1.6 \times 10^{-2}$

⚠️

Observation

L'erreur croît à chaque pas et atteint environ 1.6% à $t = 0.4$ . C'est caractéristique d'une méthode d'ordre 1.

Méthode d'Euler modifiée (prédiction-correction)

Motivation

La méthode d'Euler utilise la pente au début de l'intervalle. On peut améliorer la précision en utilisant une moyenne des pentes au début et à la fin de l'intervalle.

Algorithme en deux étapes

💡

Formule d'Euler modifiée

1. Prédiction (Euler ordinaire) :

\tilde{y}_{j+1} = y_j + h \cdot f(t_j, y_j)

2. Correction (moyenne des pentes) :

y_{j+1} = y_j + \frac{h}{2}\left[f(t_j, y_j) + f(t_{j+1}, \tilde{y}_{j+1})\right]

Ordre local : $O(h^3)$
Ordre global : $O(h^2)$

Interprétation géométrique

On calcule une première estimation $\tilde{y}_{j+1}$ avec Euler ordinaire
On évalue la pente à ce point prédit : $f(t_{j+1}, \tilde{y}_{j+1})$
On utilise la moyenne des deux pentes pour avancer

C'est équivalent à la règle du trapèze appliquée à l'intégration de $y' = f$ .

Algorithme

python

def euler_modified(f, t0, y0, h, n_steps):
  """
  Méthode d'Euler modifiée (prédiction-correction).

  Paramètres:
      f: fonction f(t, y) = y'
      t0, y0: conditions initiales
      h: pas de discrétisation
      n_steps: nombre de pas

  Retourne:
      t, y: tableaux des valeurs
  """
  t = [t0]
  y = [y0]

  for j in range(n_steps):
      tj, yj = t[-1], y[-1]

      # Prédiction (Euler ordinaire)
      f_j = f(tj, yj)
      y_pred = yj + h * f_j

      # Correction (moyenne des pentes)
      f_pred = f(tj + h, y_pred)
      y_next = yj + (h / 2) * (f_j + f_pred)

      t.append(tj + h)
      y.append(y_next)

  return t, y

✅

Itérations multiples

L'étape de correction peut être répétée 2 à 3 fois en utilisant $y_{j+1}$ corrigé pour recalculer $f(t_{j+1}, y_{j+1})$ . Cela améliore la précision sans changer l'ordre.

Exemple : Euler modifiée sur $y' = -ty^2$

Reprenons $y' = -ty^2$ , $y(0) = 1$ , avec $h = 0.1$ .

Pas 0 → 1

Prédiction :

\tilde{y}_1 = 1 + 0.1 \times (-0 \times 1^2) = 1.0000

Correction :

f(0, 1) = 0, \quad f(0.1, 1.0000) = -0.1 \times 1^2 = -0.1

y_1 = 1 + \frac{0.1}{2}(0 + (-0.1)) = 1 - 0.005 = 0.9950

Valeur exacte : $y(0.1) = 0.995025$ . Erreur : $2.5 \times 10^{-5}$

Pas 1 → 2

Prédiction :

\tilde{y}_2 = 0.9950 + 0.1 \times (-0.1 \times 0.9950^2) = 0.9851

Correction :

f(0.1, 0.9950) = -0.09900, \quad f(0.2, 0.9851) = -0.1941

y_2 = 0.9950 + \frac{0.1}{2}(-0.09900 - 0.1941) = 0.9803

Valeur exacte : $y(0.2) = 0.980392$ . Erreur : $4.6 \times 10^{-5}$

Tableau comparatif (h = 0.1)

t	Prédit	Corrigé	Exact	Erreur
0.0	—	1.000000	1.000000	0
0.1	1.000000	0.995000	0.995025	$2.5 \times 10^{-5}$
0.2	0.985100	0.980346	0.980392	$4.6 \times 10^{-5}$
0.6	0.849348	0.847458	0.847458	$5.2 \times 10^{-8}$

Comparaison avec un pas plus grand (h = 0.5)

Pour mieux visualiser la différence entre les deux méthodes, utilisons $h = 0.5$ sur l'intervalle $[0, 4]$ .

Euler ordinaire (h = 0.5)

t	Euler ordinaire	Exact	Erreur relative
0	1.0000	1.0000	0%
0.5	1.0000	0.8889	12.5%
1.0	0.7500	0.6667	12.5%
1.5	0.4688	0.4706	0.4%
2.0	0.3040	0.3333	8.8%
2.5	0.2116	0.2424	12.7%
3.0	0.1556	0.1818	14.4%
3.5	0.1193	0.1404	15.0%
4.0	0.0944	0.1111	15.1%

L'erreur relative n'est pas monotone : entre $t = 1$ et $t = 1{,}5$ , la courbe numérique croise la solution exacte et passe en dessous. Au voisinage de ce croisement l'erreur s'effondre — 0.4 % à $t = 1{,}5$ — puis repart aussitôt. Ce creux ne dit rien de la qualité de la méthode : il signale seulement que les deux courbes se coupent là. C'est la valeur de fin d'intervalle, 15.1 %, qui est représentative.

Euler modifiée (h = 0.5)

t	Euler modifiée	Exact	Erreur relative
0	1.0000	1.0000	0%
0.5	0.8750	0.8889	1.6%
1.0	0.6625	0.6667	0.6%
1.5	0.4791	0.4706	1.8%
2.0	0.3459	0.3333	3.8%
2.5	0.2541	0.2424	4.8%
3.0	0.1912	0.1818	5.2%
3.5	0.1475	0.1404	5.1%
4.0	0.1165	0.1111	4.9%

✅

Amélioration significative

Avec le même pas $h = 0.5$ , Euler modifiée atteint une erreur de 3.8% à $t = 2$ contre 8.8% pour Euler ordinaire — une erreur environ 2.3 fois plus faible. L'écart se creuse rapidement quand $h$ diminue : facteur ~7 à $h = 0.1$ et ~70 à $h = 0.01$ , conformément aux ordres $O(h)$ et $O(h^2)$ .

Visualisation interactive

Convergence : erreur vs h

Comparaison des méthodes

Critère	Euler ordinaire	Euler modifiée
Ordre local	$O(h^2)$	$O(h^3)$
Ordre global	$O(h)$	$O(h^2)$
Évaluations de f par pas	1	2
Complexité	Simple	Modérée
Utilisation recommandée	Pédagogique uniquement	Applications simples

Résumé

Euler ordinaire : $y_{j+1} = y_j + hf(t_j, y_j)$ — ordre global $O(h)$
Euler modifiée : prédiction puis correction avec moyenne des pentes — ordre global $O(h^2)$
L'erreur globale croît avec le nombre de pas (accumulation)
Euler modifiée nécessite 2 évaluations de $f$ par pas mais gagne un ordre de précision

Pour aller plus loin

Dans la prochaine leçon, nous verrons les méthodes de Runge-Kutta, qui généralisent l'idée d'Euler modifiée pour atteindre des ordres de précision encore plus élevés.

Méthode d'Euler (ordinaire et modifiée)

Objectifs d'apprentissage

Prérequis

Méthode d'Euler ordinaire

Principe

Formule d'Euler ordinaire

Interprétation géométrique

Limitation

Algorithme

Analyse de l'erreur

Erreur locale de troncature

Erreur globale

Borne d'erreur globale

Exemple : Euler ordinaire sur y′=−ty2y' = -ty^2y′=−ty2

Calculs pas à pas

Tableau comparatif (h = 0.1)

Observation

Méthode d'Euler modifiée (prédiction-correction)

Motivation

Algorithme en deux étapes

Formule d'Euler modifiée

Interprétation géométrique

Algorithme

Itérations multiples

Exemple : Euler modifiée sur y′=−ty2y' = -ty^2y′=−ty2

Pas 0 → 1

Pas 1 → 2

Tableau comparatif (h = 0.1)

Comparaison avec un pas plus grand (h = 0.5)

Euler ordinaire (h = 0.5)

Euler modifiée (h = 0.5)

Amélioration significative

Visualisation interactive

Convergence : erreur vs h

Comparaison des méthodes

Résumé

Pour aller plus loin

Exemple : Euler ordinaire sur $y' = -ty^2$

Exemple : Euler modifiée sur $y' = -ty^2$