Méthode d'Euler (ordinaire et modifiée)

Objectifs d'apprentissage

À la fin de cette leçon, vous serez en mesure de :

• Appliquer la méthode d'Euler ordinaire pour résoudre une ÉD
• Comprendre l'interprétation géométrique de la méthode d'Euler
• Analyser l'erreur locale et globale de la méthode
• Appliquer la méthode d'Euler modifiée (prédiction-correction)
• Comparer les performances des deux variantes

Prérequis

• Méthode des séries de Taylor
• Pente d'une tangente
• Notion d'erreur de troncature

Méthode d'Euler ordinaire

Principe

La méthode d'Euler est le cas le plus simple de la méthode de Taylor : on ne garde que le terme d'ordre 1.

En utilisant et en négligeant le terme d'erreur :

Interprétation géométrique

La méthode d'Euler consiste à :

1. Calculer la pente au point actuel
2. Suivre la tangente sur une distance
3. Obtenir le point suivant

C'est une extrapolation linéaire basée sur la pente locale.

Algorithme

def euler(f, t0, y0, h, n_steps):
  """
  Méthode d'Euler ordinaire.

  Paramètres:
      f: fonction f(t, y) = y'
      t0, y0: conditions initiales
      h: pas de discrétisation
      n_steps: nombre de pas

  Retourne:
      t, y: tableaux des valeurs
  """
  t = [t0]
  y = [y0]

  for j in range(n_steps):
      tj, yj = t[-1], y[-1]
      y_next = yj + h * f(tj, yj)
      t.append(tj + h)
      y.append(y_next)

  return t, y

Analyse de l'erreur

Erreur locale de troncature

L'erreur commise à un seul pas, en supposant que est exact :

pour un certain .

Erreur globale

L'erreur globale (où est la valeur exacte) se propage selon :

où est la constante de Lipschitz de et .

Exemple : Euler ordinaire sur l'ÉD fil rouge

Appliquons Euler à , , avec .

Calculs pas à pas

Pas 0 → 1 : ,

Pas 1 → 2 : ,

Pas 2 → 3 : ,

Tableau comparatif (h = 0.1)

Méthode d'Euler modifiée (prédiction-correction)

Motivation

La méthode d'Euler utilise la pente au début de l'intervalle. On peut améliorer la précision en utilisant une moyenne des pentes au début et à la fin de l'intervalle.

Algorithme en deux étapes

Interprétation géométrique

1. On calcule une première estimation avec Euler ordinaire
2. On évalue la pente à ce point prédit :
3. On utilise la moyenne des deux pentes pour avancer

C'est équivalent à la règle du trapèze appliquée à l'intégration de .

Algorithme

def euler_modified(f, t0, y0, h, n_steps):
  """
  Méthode d'Euler modifiée (prédiction-correction).

  Paramètres:
      f: fonction f(t, y) = y'
      t0, y0: conditions initiales
      h: pas de discrétisation
      n_steps: nombre de pas

  Retourne:
      t, y: tableaux des valeurs
  """
  t = [t0]
  y = [y0]

  for j in range(n_steps):
      tj, yj = t[-1], y[-1]

      # Prédiction (Euler ordinaire)
      f_j = f(tj, yj)
      y_pred = yj + h * f_j

      # Correction (moyenne des pentes)
      f_pred = f(tj + h, y_pred)
      y_next = yj + (h / 2) * (f_j + f_pred)

      t.append(tj + h)
      y.append(y_next)

  return t, y

Exemple : Euler modifiée sur l'ÉD fil rouge

Reprenons , , avec .

Pas 0 → 1

Prédiction :

Correction :

Valeur exacte : . Erreur :

Pas 1 → 2

Prédiction :

Correction :

Valeur exacte : . Erreur :

Tableau comparatif (h = 0.1)

Comparaison avec un pas plus grand (h = 0.5)

Pour mieux visualiser la différence entre les deux méthodes, utilisons sur l'intervalle .

Euler ordinaire (h = 0.5)

Euler modifiée (h = 0.5)

Comparaison des méthodes

Résumé

• Euler ordinaire : — ordre global
• Euler modifiée : prédiction puis correction avec moyenne des pentes — ordre global
• L'erreur globale croît avec le nombre de pas (accumulation)
• Euler modifiée nécessite 2 évaluations de par pas mais gagne un ordre de précision

Pour aller plus loin

Dans la prochaine leçon, nous verrons les méthodes de Runge-Kutta, qui généralisent l'idée d'Euler modifiée pour atteindre des ordres de précision encore plus élevés.