Méthodes de Runge-Kutta

Objectifs d'apprentissage

À la fin de cette leçon, vous serez en mesure de :

Comprendre le principe des méthodes de Runge-Kutta
Appliquer la méthode RK4 classique
Comparer les différentes variantes de Runge-Kutta (ordre 2, 4, 5)
Comprendre le concept de pas adaptatif avec RK-Fehlberg

Prérequis

Méthode d'Euler modifiée
Développement de Taylor
Notion d'ordre de précision

Motivation

Discrétisation temporelle : échantillonnage de la position à intervalles réguliers ΔT

La méthode de Taylor nécessite le calcul explicite des dérivées de , ce qui est souvent fastidieux. Les méthodes de Runge-Kutta atteignent le même ordre de précision en utilisant uniquement des évaluations de en différents points.

💡

Idée clé

Au lieu de calculer analytiquement, on évalue en plusieurs points intermédiaires et on combine ces valeurs avec des poids appropriés.

Runge-Kutta d'ordre 2

Formulation générale

On cherche une formule de la forme :

où :

Détermination des coefficients

En développant par Taylor et en identifiant avec la série de Taylor d'ordre 2, on obtient le système :

Ce système a une infinité de solutions. Trois choix classiques :

Type	a	b	α	β	Nom usuel
I	1/2	1/2	1	1	Euler modifiée (Heun)
II	0	1	1/2	1/2	Point milieu
III	2/3	1/3	3/2	3/2	Ralston

✅

Euler modifiée = RK2 Type I

La méthode d'Euler modifiée de la leçon précédente est exactement la méthode RK2 de Type I !

RK2 Type III (Ralston)

Runge-Kutta d'ordre 4 (RK4)

La méthode la plus utilisée en pratique est le Runge-Kutta classique d'ordre 4.

💡

Formules RK4

Ordre local :
Ordre global :
Évaluations de f : 4 par pas

Interprétation

: pente au début de l'intervalle
: pente au milieu, estimée avec
: pente au milieu, estimée avec
: pente à la fin, estimée avec

La formule finale est une moyenne pondérée : les pentes au milieu () ont un poids double.

Algorithme

python

def rk4(f, t0, y0, h, n_steps):
  """
  Méthode de Runge-Kutta d'ordre 4.

  Paramètres:
      f: fonction f(t, y) = y'
      t0, y0: conditions initiales
      h: pas de discrétisation
      n_steps: nombre de pas

  Retourne:
      t, y: tableaux des valeurs
  """
  t = [t0]
  y = [y0]

  for j in range(n_steps):
      tj, yj = t[-1], y[-1]

      k1 = h * f(tj, yj)
      k2 = h * f(tj + h/2, yj + k1/2)
      k3 = h * f(tj + h/2, yj + k2/2)
      k4 = h * f(tj + h, yj + k3)

      y_next = yj + (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) / 6

      t.append(tj + h)
      y.append(y_next)

  return t, y

Exemple : RK4 sur l'ÉD fil rouge

Appliquons RK4 à , , avec .

Calcul du premier pas

Valeur exacte :

Erreur :

Tableau comparatif (h = 0.1)

t	RK4 yₙ	Exact y(t)	Erreur
0.0	1.0000000	1.0000000	0
0.1	0.9950249	0.9950249
0.2	0.9803922	0.9803922
0.3	0.9569377	0.9569378
0.4	0.9259258	0.9259259

✅

Précision remarquable

Avec seulement 4 évaluations de par pas, RK4 atteint une précision de l'ordre de — bien meilleure qu'Euler modifiée ().

Efficacité des méthodes RK

Méthode	Éval. de f/pas	Efficacité
Euler ordinaire	1	Faible
RK2 (Euler modifiée)	2	Modérée
RK4 classique	4	Excellente
RK5 (Fehlberg)	6	Très bonne + estimé d'erreur

⚠️

Limitation de RK4

RK4 ne fournit pas d'estimation de l'erreur. On ne sait pas si le pas choisi est approprié. Pour cela, on utilise des méthodes à pas adaptatif.

Méthodes avec estimation d'erreur

RK-Merson (ordre 4 avec estimé)

Utilise 5 évaluations de pour obtenir :

Une approximation d'ordre 4
Une estimation de l'erreur

RK-Fehlberg (ordre 5 avec estimé)

La méthode RKF45 utilise 6 évaluations de :

Approximation d'ordre 5 :

Estimation de l'erreur :

Exemple : RK-Fehlberg sur l'ÉD fil rouge

t	RKF yₙ	Exact y(t)
0.1	0.9950249	0.9950249
0.2	0.9803922	0.9803922
0.6	0.8474576	0.8474576

Pas adaptatif

L'estimation d'erreur permet d'ajuster automatiquement le pas :

Si : réduire et refaire le pas
Si : augmenter pour le prochain pas

💡

Formule d'ajustement

où l'exposant 1/5 vient de l'ordre 5 de la méthode.

Comparaison RK4 avec différents pas

h	Nombre de pas	Éval. de f
1.0	4	16
0.5	8	32
0.1	40	160

Diviser par 2 divise l'erreur par (ordre 4).

Résumé

Les méthodes de Runge-Kutta atteignent des ordres élevés sans calculer les dérivées de
RK4 classique : 4 évaluations, ordre global , excellent rapport précision/coût
RK-Fehlberg : 6 évaluations, ordre 5 + estimation d'erreur pour pas adaptatif
La pente finale est une moyenne pondérée des pentes intermédiaires
Les méthodes RK sont les plus utilisées en pratique pour les PVI

Pour aller plus loin

Dans la prochaine leçon, nous verrons les méthodes à pas multiples (Adams, Adams-Moulton), qui réutilisent les évaluations précédentes pour gagner en efficacité.