Méthodes à pas multiples (Adams et Adams-Moulton)

Objectifs d'apprentissage

À la fin de cette leçon, vous serez en mesure de :

Distinguer les méthodes à pas unique des méthodes à pas multiples
Appliquer les formules d'Adams-Bashforth (ouvertes)
Appliquer les formules d'Adams-Moulton (prédiction-correction)
Comparer l'efficacité des différentes méthodes numériques

Prérequis

Méthodes de Runge-Kutta
Interpolation polynomiale (Chapitre 4)
Polynôme de Newton-Gregory

Discrétisation temporelle : les méthodes à pas multiples réutilisent les valeurs aux instants précédents

Classification des méthodes

Pas unique vs pas multiples

Type	Utilise	Exemples
Pas unique	Seulement $(t_n, y_n)$ pour calculer $y_{n+1}$	Euler, Taylor, Runge-Kutta
Pas multiples	$(t_n, y_n), (t_{n-1}, y_{n-1}), \ldots$	Adams, Adams-Moulton

Méthodes ouvertes vs fermées

Type	Caractéristique	Exemple
Ouverte (explicite)	$y_{n+1}$ calculé directement	Adams-Bashforth
Fermée (implicite)	$y_{n+1}$ apparaît des deux côtés	Adams-Moulton (correcteur)

💡

Observation

Euler modifiée et Runge-Kutta utilisent des évaluations intermédiaires de $f$ , mais restent des méthodes à pas unique car seul $(t_n, y_n)$ est connu au départ de chaque itération.

Principe des méthodes d'Adams

L'idée est de construire un polynôme d'interpolation passant par les points $(t_n, f_n), (t_{n-1}, f_{n-1}), \ldots$ et de l'intégrer pour approximer :

y(t_{n+1}) - y(t_n) = \int_{t_n}^{t_{n+1}} f(t, y(t))\,dt \approx \int_{t_n}^{t_{n+1}} P(t)\,dt

où $P(t)$ est le polynôme de Newton-Gregory descendant.

Formules d'Adams-Bashforth (ouvertes)

Ces formules utilisent l'extrapolation — le polynôme est construit sur des points à gauche de $t_{n+1}$ .

Adams-Bashforth d'ordre 2

Utilise $f_n$ et $f_{n-1}$ :

💡

Adams-Bashforth ordre 2

y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2}(3f_n - f_{n-1})

Ordre local : $O(h^3)$
Ordre global : $O(h^2)$

Adams-Bashforth d'ordre 3

Utilise $f_n$ , $f_{n-1}$ et $f_{n-2}$ :

💡

Adams-Bashforth ordre 3

y_{n+1} = y_n + \frac{h}{12}(23f_n - 16f_{n-1} + 5f_{n-2})

Ordre local : $O(h^4)$
Ordre global : $O(h^3)$

Adams-Bashforth d'ordre 4

Utilise $f_n$ , $f_{n-1}$ , $f_{n-2}$ et $f_{n-3}$ :

💡

Adams-Bashforth ordre 4

y_{n+1} = y_n + \frac{h}{24}(55f_n - 59f_{n-1} + 37f_{n-2} - 9f_{n-3})

Ordre local : $O(h^5)$
Ordre global : $O(h^4)$

⚠️

Problème d'amorçage

Les méthodes à pas multiples nécessitent plusieurs valeurs initiales ( $y_0, y_1, y_2, \ldots$ ). On les obtient généralement en démarrant avec une méthode de Runge-Kutta pour les premiers pas.

Formules d'Adams-Moulton (fermées)

Ces formules utilisent l'interpolation — le polynôme inclut le point $(t_{n+1}, f_{n+1})$ .

Adams-Moulton d'ordre 3

y_{n+1} = y_n + \frac{h}{12}(5f_{n+1} + 8f_n - f_{n-1})

Adams-Moulton d'ordre 4

y_{n+1} = y_n + \frac{h}{24}(9f_{n+1} + 19f_n - 5f_{n-1} + f_{n-2})

✅

Remarque

Ces formules sont implicites : $f_{n+1} = f(t_{n+1}, y_{n+1})$ dépend de $y_{n+1}$ , qui est l'inconnue ! On les utilise donc en prédiction-correction.

Schéma prédiction-correction (Adams-Moulton)

Principe

Prédicteur (Adams-Bashforth) : estimer $\tilde{y}_{n+1}$
Correcteur (Adams-Moulton) : affiner avec $\tilde{f}_{n+1} = f(t_{n+1}, \tilde{y}_{n+1})$

Adams-Moulton d'ordre local $h^5$

💡

Prédicteur-Correcteur ordre 4

Prédicteur (Adams-Bashforth) :

\tilde{y}_{n+1} = y_n + \frac{h}{24}(55f_n - 59f_{n-1} + 37f_{n-2} - 9f_{n-3})

Correcteur (Adams-Moulton) :

y_{n+1} = y_n + \frac{h}{24}(9\tilde{f}_{n+1} + 19f_n - 5f_{n-1} + f_{n-2})

où $\tilde{f}_{n+1} = f(t_{n+1}, \tilde{y}_{n+1})$ .

Ordre local : $O(h^5)$
Ordre global : $O(h^4)$
Évaluations de f : 2 par pas (après amorçage)

Mesure de la précision

On peut estimer l'erreur en comparant la valeur prédite et la valeur corrigée :

y_{\text{exact}} \approx y_{\text{corrigé}} - \frac{19}{270}(y_{\text{corrigé}} - y_{\text{prédit}})

✅

Règle pratique

On a environ $N$ décimales exactes lorsque :

|y_{\text{corrigé}} - y_{\text{prédit}}| \leq 14.2 \times 10^{-N}

Algorithme

python

def adams_moulton(f, t0, y0, h, n_steps):
  """
  Méthode d'Adams-Moulton (prédicteur-correcteur) d'ordre 4.

  Nécessite un amorçage par RK4 pour les 4 premières valeurs.
  """
  # Amorçage avec RK4
  t = [t0]
  y = [y0]

  for j in range(3):  # 3 pas RK4 pour obtenir y0, y1, y2, y3
      tj, yj = t[-1], y[-1]
      k1 = h * f(tj, yj)
      k2 = h * f(tj + h/2, yj + k1/2)
      k3 = h * f(tj + h/2, yj + k2/2)
      k4 = h * f(tj + h, yj + k3)
      y_next = yj + (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) / 6
      t.append(tj + h)
      y.append(y_next)

  # Calcul des f initiaux
  F = [f(t[i], y[i]) for i in range(4)]

  # Adams-Moulton pour les pas suivants
  for n in range(3, n_steps):
      tn = t[-1]
      yn = y[-1]

      # Prédicteur (Adams-Bashforth ordre 4)
      y_pred = yn + (h/24) * (55*F[-1] - 59*F[-2] + 37*F[-3] - 9*F[-4])

      # Correcteur (Adams-Moulton ordre 4)
      f_pred = f(tn + h, y_pred)
      y_corr = yn + (h/24) * (9*f_pred + 19*F[-1] - 5*F[-2] + F[-3])

      t.append(tn + h)
      y.append(y_corr)
      F.append(f(t[-1], y[-1]))
      F.pop(0)  # Garder seulement les 4 derniers

  return t, y

Tableau comparatif de TOUTES les méthodes

Voici une comparaison complète sur $y' = -ty^2$ , $y(0) = 1$ , avec $h = 0.1$ :

Méthode	t = 0.1	t = 0.2
Solution analytique	0.995025	0.980392
Euler ordinaire $O(h)$	1.000000	0.990000
Taylor $O(h^2)$	0.995000	0.980248
Taylor $O(h^3)$	0.995000	0.980346
Euler modifiée $O(h^2)$	0.995000	0.980346
RK Type II $O(h^2)$	0.995000	0.980297
RK Type III $O(h^2)$	0.995000	0.980394
RK4 $O(h^4)$	0.995025	0.980392
Adams-Moulton $O(h^4)$	0.995025	0.980392

✅

Observation clé

RK4 et Adams-Moulton atteignent tous deux l'ordre global $O(h^4)$ et donnent des résultats quasi identiques. Mais Adams-Moulton n'utilise que 2 évaluations de $f$ par pas (après amorçage), contre 4 pour RK4.

Avantages et inconvénients

Critère	Runge-Kutta	Adams-Moulton
Évaluations de f par pas	4 (RK4)	2 (après amorçage)
Changement de pas	Facile	Difficile (recalcul des f)
Amorçage requis	Non	Oui (par RK)
Estimation d'erreur	Avec RKF	Intégrée (prédit-corrigé)
Mémoire	Faible	Stocke plusieurs f

💡

Quand choisir Adams-Moulton ?

Longues intégrations avec pas constant
Quand $f$ est coûteux à évaluer
Quand l'estimation d'erreur intégrée est utile

Pour les problèmes avec pas adaptatif ou comportement variable, RK4/RKF est souvent préféré.

Résumé

Les méthodes à pas multiples réutilisent les valeurs $f_{n-1}, f_{n-2}, \ldots$ des pas précédents
Adams-Bashforth (ouvertes) : extrapolation, utilisées comme prédicteur
Adams-Moulton (fermées) : interpolation, utilisées comme correcteur
Le schéma prédicteur-correcteur combine les deux pour l'ordre global $O(h^4)$ avec seulement 2 évaluations de $f$
L'amorçage se fait par Runge-Kutta

Pour aller plus loin

Dans la prochaine leçon, nous verrons comment adapter ces méthodes aux systèmes d'ÉD et aux ÉD d'ordre supérieur.