Systèmes d'ÉD et ÉD d'ordre supérieur

Objectifs d'apprentissage

À la fin de cette leçon, vous serez en mesure de :

• Résoudre numériquement un système d'ÉD couplées
• Transformer une ÉD d'ordre supérieur en système d'ordre 1
• Appliquer les méthodes vues (Euler, RK, Adams-Moulton) aux systèmes
• Choisir la méthode appropriée selon le contexte

Prérequis

• Méthodes numériques pour ÉD scalaires (Leçons 6.2–6.5)
• Notation vectorielle
• Équations différentielles d'ordre 2 (pendule, oscillateurs)

Systèmes d'ÉD du premier ordre

Formulation

Un système de équations différentielles couplées s'écrit :

avec les conditions initiales , , etc.

Notation vectorielle

On regroupe les inconnues dans un vecteur :

Le système s'écrit alors :

Exemple : système 2×2

Considérons le système :

Résolution par Euler modifiée (h = 0.1)

Pas 0 → 1 : , ,

Calcul des dérivées en :

Prédiction :

Calcul des dérivées au point prédit () :

Correction :

Résolution par Taylor d'ordre 4

Pour Taylor, on doit calculer à partir du système.

Calcul de :

Calcul de :

Ces expressions nécessitent les valeurs de et , donc tout se calcule itérativement.

Transformation d'une ÉD d'ordre supérieur

Principe général

Toute ÉD d'ordre peut être transformée en un système de ÉD d'ordre 1.

Exemple : ÉD d'ordre 2

Considérons l'ÉD :

On pose et . Alors :

Application au pendule

L'équation du pendule :

devient avec et :

Oscillateur de Van der Pol

Un exemple classique d'ÉD non linéaire d'ordre 2 :

avec , .

Transformation en système

On pose , :

Résolution par Euler (h = 0.1)

Pas initial : , ,

Après un pas :

L'oscillateur de Van der Pol exhibe un cycle limite — une solution périodique vers laquelle toutes les trajectoires convergent.

Adams-Moulton pour systèmes

Le schéma prédicteur-correcteur s'applique directement :

Prédicteur (Adams-Bashforth)

Correcteur (Adams-Moulton)

Exemple numérique

Pour le système , avec :

Algorithme RK4 pour systèmes

import numpy as np

def rk4_system(F, t0, X0, h, n_steps):
  """
  Méthode RK4 pour un système d'ÉD.

  Paramètres:
      F: fonction F(t, X) retournant un vecteur
      t0: temps initial
      X0: vecteur des conditions initiales
      h: pas de discrétisation
      n_steps: nombre de pas

  Retourne:
      t, X: temps et matrice des solutions
  """
  X0 = np.array(X0)
  t = [t0]
  X = [X0]

  for j in range(n_steps):
      tj = t[-1]
      Xj = X[-1]

      k1 = h * F(tj, Xj)
      k2 = h * F(tj + h/2, Xj + k1/2)
      k3 = h * F(tj + h/2, Xj + k2/2)
      k4 = h * F(tj + h, Xj + k3)

      X_next = Xj + (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) / 6

      t.append(tj + h)
      X.append(X_next)

  return np.array(t), np.array(X)

# Exemple : pendule
def pendule(t, X):
  g, L = 9.81, 1.0
  theta, omega = X
  return np.array([omega, -g/L * np.sin(theta)])

t, X = rk4_system(pendule, 0, [0.3, 0], 0.01, 1000)
# X[:, 0] = theta(t), X[:, 1] = omega(t)

Tableau comparatif final des méthodes

Résumé

• Les systèmes d'ÉD se traitent composante par composante avec les mêmes méthodes
• Toute ÉD d'ordre se transforme en système de ÉD d'ordre 1
• RK4 et Adams-Moulton sont les méthodes recommandées (ordre global 4)
• Le choix dépend du contexte : pas adaptatif vs pas fixe, coût de

Pour aller plus loin

La Partie A (conditions initiales) est terminée. Dans les prochaines leçons, nous aborderons la Partie B : les problèmes à conditions aux limites, en commençant par la méthode de tir.