Systèmes d'ÉD et ÉD d'ordre supérieur

Objectifs d'apprentissage

À la fin de cette leçon, vous serez en mesure de :

Résoudre numériquement un système d'ÉD couplées
Transformer une ÉD d'ordre supérieur en système d'ordre 1
Appliquer les méthodes vues (Euler, RK, Adams-Moulton) aux systèmes
Choisir la méthode appropriée selon le contexte

Prérequis

Méthodes numériques pour ÉD scalaires (Leçons 6.2–6.5)
Notation vectorielle
Équations différentielles d'ordre 2 (pendule, oscillateurs)

Systèmes d'ÉD du premier ordre

Formulation

Un système de $n$ équations différentielles couplées s'écrit :

\begin{cases} x'_1(t) = f_1(t, x_1, x_2, \ldots, x_n) \\ x'_2(t) = f_2(t, x_1, x_2, \ldots, x_n) \\ \vdots \\ x'_n(t) = f_n(t, x_1, x_2, \ldots, x_n) \end{cases}

avec les conditions initiales $x_1(t_0) = x_{1,0}$ , $x_2(t_0) = x_{2,0}$ , etc.

Notation vectorielle

On regroupe les inconnues dans un vecteur :

\mathbf{X}(t) = \begin{pmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \\ \vdots \\ x_n(t) \end{pmatrix}, \quad \mathbf{F}(t, \mathbf{X}) = \begin{pmatrix} f_1(t, \mathbf{X}) \\ f_2(t, \mathbf{X}) \\ \vdots \\ f_n(t, \mathbf{X}) \end{pmatrix}

Le système s'écrit alors :

\mathbf{X}'(t) = \mathbf{F}(t, \mathbf{X}), \quad \mathbf{X}(t_0) = \mathbf{X}_0

💡

Principe fondamental

Toutes les méthodes numériques (Euler, RK, Adams-Moulton) s'appliquent composante par composante — il suffit de remplacer les scalaires par des vecteurs.

Exemple : système 2×2

Considérons le système :

\begin{cases} x'(t) = xy + t \\ y'(t) = ty + x \end{cases} \quad \text{avec } x(0) = 1, \; y(0) = -1

Résolution par Euler modifiée (h = 0.1)

Pas 0 → 1 : $t_0 = 0$ , $x_0 = 1$ , $y_0 = -1$

Calcul des dérivées en $t_0$ :

x'_0 = x_0 y_0 + t_0 = 1 \times (-1) + 0 = -1

y'_0 = t_0 y_0 + x_0 = 0 \times (-1) + 1 = 1

Prédiction :

\tilde{x}_1 = x_0 + h \cdot x'_0 = 1 + 0.1 \times (-1) = 0.9

\tilde{y}_1 = y_0 + h \cdot y'_0 = -1 + 0.1 \times 1 = -0.9

Calcul des dérivées au point prédit ( $t_1 = 0.1$ ) :

\tilde{x}'_1 = \tilde{x}_1 \tilde{y}_1 + t_1 = 0.9 \times (-0.9) + 0.1 = -0.71

\tilde{y}'_1 = t_1 \tilde{y}_1 + \tilde{x}_1 = 0.1 \times (-0.9) + 0.9 = 0.81

Correction :

x_1 = x_0 + \frac{h}{2}(x'_0 + \tilde{x}'_1) = 1 + \frac{0.1}{2}(-1 - 0.71) = 0.9145

y_1 = y_0 + \frac{h}{2}(y'_0 + \tilde{y}'_1) = -1 + \frac{0.1}{2}(1 + 0.81) = -0.9095

Résolution par Taylor d'ordre 4

Pour Taylor, on doit calculer $x'', x''', y'', y'''$ à partir du système.

Calcul de $x''$ :

x'' = \frac{d}{dt}(xy + t) = x'y + xy' + 1

Calcul de $y''$ :

y'' = \frac{d}{dt}(ty + x) = y + ty' + x'

Ces expressions nécessitent les valeurs de $x'$ et $y'$ , donc tout se calcule itérativement.

Transformation d'une ÉD d'ordre supérieur

Principe général

Toute ÉD d'ordre $n$ peut être transformée en un système de $n$ ÉD d'ordre 1.

💡

Méthode de transformation

Pour une ÉD d'ordre $n$ :

y^{(n)} = g(t, y, y', y'', \ldots, y^{(n-1)})

On pose :

x_1 = y, \quad x_2 = y', \quad x_3 = y'', \quad \ldots, \quad x_n = y^{(n-1)}

On obtient le système :

\begin{cases} x'_1 = x_2 \\ x'_2 = x_3 \\ \vdots \\ x'_{n-1} = x_n \\ x'_n = g(t, x_1, x_2, \ldots, x_n) \end{cases}

Exemple : ÉD d'ordre 2

Considérons l'ÉD :

y''(t) + p(t)y'(t) + q(t)y(t) = r(t)

On pose $x_1 = y$ et $x_2 = y'$ . Alors :

\begin{cases} x'_1 = x_2 \\ x'_2 = r(t) - p(t)x_2 - q(t)x_1 \end{cases}

Application au pendule

L'équation du pendule :

\theta''(t) + \frac{g}{L}\sin(\theta(t)) = 0

devient avec $x_1 = \theta$ et $x_2 = \theta'$ :

\begin{cases} x'_1 = x_2 \\ x'_2 = -\frac{g}{L}\sin(x_1) \end{cases}

✅

Solution linéarisée (petits mouvements)

Pour $\theta \ll 1$ , $\sin(\theta) \approx \theta$ , et la solution analytique est :

\theta(t) = \theta_0 \cos\left(\sqrt{\frac{g}{L}}t\right) + \theta'_0 \sqrt{\frac{L}{g}}\sin\left(\sqrt{\frac{g}{L}}t\right)

Oscillateur de Van der Pol

Un exemple classique d'ÉD non linéaire d'ordre 2 :

x''(t) - (1 - x^2(t))x'(t) + x(t) = 0

avec $x(0) = 0.5$ , $x'(0) = 0$ .

Transformation en système

On pose $x_1 = x$ , $x_2 = x'$ :

\begin{cases} x'_1 = x_2 \\ x'_2 = (1 - x_1^2)x_2 - x_1 \end{cases}

Résolution par Euler (h = 0.1)

Pas initial : $t_0 = 0$ , $x_1 = 0.5$ , $x_2 = 0$

x'_{1,0} = x_2 = 0

x'_{2,0} = (1 - 0.25) \times 0 - 0.5 = -0.5

Après un pas :

x_{1,1} = 0.5 + 0.1 \times 0 = 0.5

x_{2,1} = 0 + 0.1 \times (-0.5) = -0.05

L'oscillateur de Van der Pol exhibe un cycle limite — une solution périodique vers laquelle toutes les trajectoires convergent.

Adams-Moulton pour systèmes

Le schéma prédicteur-correcteur s'applique directement :

Prédicteur (Adams-Bashforth)

\tilde{\mathbf{X}}_{n+1} = \mathbf{X}_n + \frac{h}{24}(55\mathbf{F}_n - 59\mathbf{F}_{n-1} + 37\mathbf{F}_{n-2} - 9\mathbf{F}_{n-3})

Correcteur (Adams-Moulton)

\mathbf{X}_{n+1} = \mathbf{X}_n + \frac{h}{24}(9\tilde{\mathbf{F}}_{n+1} + 19\mathbf{F}_n - 5\mathbf{F}_{n-1} + \mathbf{F}_{n-2})

Exemple numérique

Pour le système $x' = xy + t$ , $y' = ty + x$ avec $h = 0.025$ :

t	x(t)	y(t)
0.000	1.0000	−1.0000
0.025	0.9759	−0.9756
0.050	0.9536	−0.9524
0.075	0.9330	−0.9303
0.100 (prédit)	0.91396	−0.90923
0.100 (corrigé)	0.91396	−0.90923

Algorithme RK4 pour systèmes

python

import numpy as np

def rk4_system(F, t0, X0, h, n_steps):
  """
  Méthode RK4 pour un système d'ÉD.

  Paramètres:
      F: fonction F(t, X) retournant un vecteur
      t0: temps initial
      X0: vecteur des conditions initiales
      h: pas de discrétisation
      n_steps: nombre de pas

  Retourne:
      t, X: temps et matrice des solutions
  """
  X0 = np.array(X0)
  t = [t0]
  X = [X0]

  for j in range(n_steps):
      tj = t[-1]
      Xj = X[-1]

      k1 = h * F(tj, Xj)
      k2 = h * F(tj + h/2, Xj + k1/2)
      k3 = h * F(tj + h/2, Xj + k2/2)
      k4 = h * F(tj + h, Xj + k3)

      X_next = Xj + (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) / 6

      t.append(tj + h)
      X.append(X_next)

  return np.array(t), np.array(X)

# Exemple : pendule
def pendule(t, X):
  g, L = 9.81, 1.0
  theta, omega = X
  return np.array([omega, -g/L * np.sin(theta)])

t, X = rk4_system(pendule, 0, [0.3, 0], 0.01, 1000)
# X[:, 0] = theta(t), X[:, 1] = omega(t)

Tableau comparatif final des méthodes

Critère	Euler modifiée	RK4	Adams-Moulton
Type	Pas unique	Pas unique	Pas multiple
Erreur locale	$O(h^3)$	$O(h^5)$	$O(h^5)$
Erreur globale	$O(h^2)$	$O(h^4)$	$O(h^4)$
Évaluations de f/pas	2	4	2
Stabilité	Bonne	Bonne	Bonne
Changement de pas	Facile	Facile	Difficile
Recommandée	Non	Oui	Oui

✅

Recommandations pratiques

RK4 : méthode par défaut, flexible, précise
Adams-Moulton : longues intégrations à pas constant, $f$ coûteux
Euler modifiée : à éviter sauf pour l'enseignement

Résumé

Les systèmes d'ÉD se traitent composante par composante avec les mêmes méthodes
Toute ÉD d'ordre $n$ se transforme en système de $n$ ÉD d'ordre 1
RK4 et Adams-Moulton sont les méthodes recommandées (ordre global 4)
Le choix dépend du contexte : pas adaptatif vs pas fixe, coût de $f$

Pour aller plus loin

La Partie A (conditions initiales) est terminée. Dans les prochaines leçons, nous aborderons la Partie B : les problèmes à conditions aux limites, en commençant par la méthode de tir.