Problèmes aux limites — Méthode de tir

Objectifs d'apprentissage

À la fin de cette leçon, vous serez en mesure de :

Distinguer les problèmes à conditions initiales des problèmes à conditions aux limites
Appliquer la méthode de tir pour les ÉD linéaires
Adapter la méthode aux ÉD non linéaires
Comprendre le théorème de superposition

Prérequis

Méthodes numériques pour ÉD (Leçons 6.2–6.6)
Systèmes d'ÉD d'ordre 1
Combinaisons linéaires de solutions

Conditions initiales vs conditions aux limites

Problème à valeur initiale (PVI)

Toutes les conditions sont données au même point $t_0$ :

x''(t) = f(t, x, x'), \quad x(t_0) = \alpha, \quad x'(t_0) = \beta

Les méthodes d'Euler, RK, Adams s'appliquent directement.

Problème à valeur aux limites (PVL)

Les conditions sont données à deux points différents $t_0$ et $t_1$ :

x''(t) = f(t, x, x'), \quad x(t_0) = \alpha, \quad x(t_1) = \beta

🚨

Problème fondamental

On connaît $x(t_0)$ et $x(t_1)$ , mais pas $x'(t_0)$ . Les méthodes numériques classiques (Euler, RK) ne peuvent pas démarrer !

Exemple physique : déformation d'une poutre

Une poutre encastrée aux deux extrémités sous charge $q$ satisfait :

\frac{d^2w}{dx^2} = \frac{S}{EI}w + \frac{qx}{2EI}(x - L)

où $w(x)$ est la flèche, $S$ la charge axiale, $E$ le module d'Young, $I$ le moment d'inertie.

Conditions aux limites : $w(0) = 0$ et $w(L) = 0$ (encastrements).

Théorème de superposition (ÉD linéaires)

Pour une ÉD linéaire, si $y_1(t)$ et $y_2(t)$ sont deux solutions, alors toute combinaison linéaire :

y_3(t) = \alpha\,y_1(t) + (1-\alpha)\,y_2(t)

est aussi une solution (avec les conditions initiales combinées de la même façon).

💡

Cas homogène

Si l'ÉD est homogène ( $r(t) = 0$ ), alors $\alpha y_1 + \beta y_2$ est solution pour tout $\alpha, \beta$ .

Méthode de tir — Principe

Idée

Deviner une valeur de $x'(t_0)$
Résoudre le PVI avec RK4 ou Adams-Moulton
Vérifier si $x(t_1) = \beta$
Ajuster la valeur de $x'(t_0)$ et recommencer

Analogie du tir

C'est comme viser une cible avec un canon :

On connaît la position de départ et la cible
On ajuste l'angle de tir (= $x'(t_0)$ )
On tire et on observe où atterrit le projectile
On corrige l'angle et on recommence

Cas linéaire : convergence en 2 tirs

Pour une ÉD linéaire d'ordre 2, deux tirs suffisent grâce au théorème de superposition.

Algorithme

Tir 1 : On choisit $x'_1(t_0) = m_1$ (une valeur arbitraire) et on résout le PVI. On obtient $x_1(t_1)$ .

Tir 2 : On choisit $x'_2(t_0) = m_2 \neq m_1$ et on résout. On obtient $x_2(t_1)$ .

Combinaison : La solution cherchée est :

x_3(t) = \alpha\,x_1(t) + (1-\alpha)\,x_2(t)

où $\alpha$ est choisi pour que $x_3(t_1) = \beta$ :

\beta = \alpha\,x_1(t_1) + (1-\alpha)\,x_2(t_1)

\alpha = \frac{\beta - x_2(t_1)}{x_1(t_1) - x_2(t_1)}

Exemple détaillé (cas linéaire)

Résolvons le PVL :

x''(t) = t + (1 - 0.2t)x(t), \quad x(1) = 2, \quad x(3) = -1

Tir 1 : $x'(1) = -1.5$

On résout le PVI avec RK4 :

CI : $x(1) = 2$ , $x'(1) = -1.5$
Résultat : $x_1(3) = 4.788$ (raté ! on voulait −1)

Tir 2 : $x'(1) = -3$

On résout avec RK4 :

CI : $x(1) = 2$ , $x'(1) = -3$
Résultat : $x_2(3) = 0.436$ (raté aussi !)

Combinaison linéaire

On cherche $\alpha$ tel que :

-1 = \alpha \times 4.788 + (1-\alpha) \times 0.436

-1 = 4.788\alpha + 0.436 - 0.436\alpha = 4.352\alpha + 0.436

\alpha = \frac{-1 - 0.436}{4.352} = \frac{-1.436}{4.352} = -0.3300

La solution est :

x_3(t) = -0.3300\,x_1(t) + 1.3300\,x_2(t)

Tableau des solutions

t	x₁(t)	x₂(t)	x₃(t)
1.0	2.000	2.000	2.000
1.2	1.751	1.450	1.350
1.4	1.604	0.992	0.790
1.6	1.560	0.619	0.309
1.8	1.622	0.327	−0.100
2.0	1.798	0.116	−0.438
2.2	2.097	−0.012	−0.708
2.4	2.531	−0.052	−0.904
2.6	3.114	0.003	−1.024
2.8	3.861	0.162	−1.059
3.0	4.788	0.436	−1.000

✅

Vérification

On vérifie que $x_3(3) = -0.3300 \times 4.788 + 1.3300 \times 0.436 = -1.000$ ✓

Cas non linéaire : itérations

Pour une ÉD non linéaire, la superposition ne s'applique pas. On doit itérer.

Méthode de la sécante

On utilise l'interpolation linéaire pour estimer la prochaine valeur de $x'(t_0)$ :

m_{k+1} = m_k - (x_k(t_1) - \beta) \cdot \frac{m_k - m_{k-1}}{x_k(t_1) - x_{k-1}(t_1)}

C'est analogue à la méthode de la sécante pour trouver les zéros d'une fonction.

Exemple (cas non linéaire)

Résolvons :

x''(t) = t + (1 - 0.2t)x(t)x'(t), \quad x(1) = 2, \quad x(3) = -1

Le terme $x \cdot x'$ rend l'équation non linéaire.

Itérations successives :

Itération	x'(1)	x(3)	Erreur
1	−1.5	−0.016	0.984
2	−3.0	−2.085	1.085
3	−2.213*	−1.271	0.271
4	−1.951*	−0.901	0.099
5	−2.021*	−1.007	0.007
...	...	...	...
convergé	−2.018*	−1.000	0

*Les valeurs marquées * sont obtenues par interpolation linéaire.

⚠️

Convergence

La méthode de tir non linéaire converge comme une méthode de point fixe. La convergence n'est pas garantie — elle dépend du problème et des valeurs initiales choisies.

Algorithme

python

def shooting_linear(f, t0, t1, alpha, beta, m1, m2, h=0.01):
  """
  Méthode de tir pour ÉD linéaire d'ordre 2.

  Paramètres:
      f: fonction f(t, x, x') telle que x'' = f
      t0, t1: bornes de l'intervalle
      alpha: x(t0) = alpha
      beta: x(t1) = beta
      m1, m2: deux valeurs initiales pour x'(t0)
      h: pas pour RK4

  Retourne:
      t, x: solution du PVL
  """
  # Tir 1
  t1_result, x1_result = solve_ivp_rk4(f, t0, [alpha, m1], t1, h)
  x1_end = x1_result[-1, 0]  # x1(t1)

  # Tir 2
  t2_result, x2_result = solve_ivp_rk4(f, t0, [alpha, m2], t1, h)
  x2_end = x2_result[-1, 0]  # x2(t1)

  # Combinaison linéaire
  gamma = (beta - x2_end) / (x1_end - x2_end)

  # Solution finale
  x_final = gamma * x1_result[:, 0] + (1 - gamma) * x2_result[:, 0]

  return t1_result, x_final

Avantages et inconvénients

Avantages	Inconvénients
Utilise les méthodes PVI existantes (RK4)	Peut nécessiter plusieurs itérations (non linéaire)
Conceptuellement simple	Convergence non garantie (non linéaire)
2 tirs suffisent (linéaire)	Instabilité si solutions divergentes
Précision contrôlable via le solveur PVI	Coûteux si le domaine est grand

Résumé

Les PVL ont des conditions à deux points : $x(t_0) = \alpha$ , $x(t_1) = \beta$
La méthode de tir transforme le PVL en PVI en devinant $x'(t_0)$
Cas linéaire : 2 tirs + superposition → solution exacte
Cas non linéaire : itérations (sécante) jusqu'à convergence
La méthode réutilise les solveurs PVI standard (RK4, Adams-Moulton)

Pour aller plus loin

Dans la prochaine leçon, nous verrons la méthode des différences finies, une approche alternative qui discrétise directement le domaine et résout un système linéaire.

Problèmes aux limites — Méthode de tir

Objectifs d'apprentissage

Prérequis

Conditions initiales vs conditions aux limites

Problème à valeur initiale (PVI)

Problème à valeur aux limites (PVL)

Problème fondamental

Exemple physique : déformation d'une poutre

Théorème de superposition (ÉD linéaires)

Cas homogène

Méthode de tir — Principe

Idée

Analogie du tir

Cas linéaire : convergence en 2 tirs

Algorithme

Exemple détaillé (cas linéaire)

Tir 1 : x′(1)=−1.5x'(1) = -1.5x′(1)=−1.5

Tir 2 : x′(1)=−3x'(1) = -3x′(1)=−3

Combinaison linéaire

Tableau des solutions

Vérification

Cas non linéaire : itérations

Méthode de la sécante

Exemple (cas non linéaire)

Convergence

Algorithme

Avantages et inconvénients

Résumé

Pour aller plus loin

Tir 1 : $x'(1) = -1.5$

Tir 2 : $x'(1) = -3$