Problèmes aux limites — Méthode des différences finies

Objectifs d'apprentissage

À la fin de cette leçon, vous serez en mesure de :

• Discrétiser une ÉD par différences finies
• Construire le système linéaire tridiagonal associé
• Traiter les conditions aux limites sur les valeurs et sur les dérivées
• Comparer la méthode des différences finies à la méthode de tir

Prérequis

• Méthode de tir
• Différences finies pour la dérivation (Chapitre 5)
• Résolution de systèmes linéaires (Chapitre 3)

Principe de la méthode

La méthode des différences finies procède en deux étapes :

Discrétisation

Maillage

On divise l'intervalle $[t_0, t_1]$ en $n$ sous-intervalles de largeur $h = \frac{t_1 - t_0}{n}$.

Les points de discrétisation sont :

On note $x_i \approx x(t_i)$ les valeurs approchées de la solution.

Approximation des dérivées

Dérivée première (différence centrée) :

Dérivée seconde (différence centrée) :

Application à une ÉD linéaire d'ordre 2

Considérons l'ÉD :

avec les conditions aux limites $x(t_0) = \alpha$ et $x(t_n) = \beta$.

Substitution

En remplaçant les dérivées par leurs approximations :

où $p_i = p(t_i)$, $q_i = q(t_i)$, $r_i = r(t_i)$.

Réarrangement

En multipliant par $h^2$ et en regroupant :

Système linéaire

Pour $i = 1, 2, \ldots, n-1$ (points intérieurs), on obtient un système de $n-1$ équations à $n-1$ inconnues ($x_1, x_2, \ldots, x_{n-1}$).

Les valeurs $x_0 = \alpha$ et $x_n = \beta$ sont connues (conditions aux limites).

Exemple détaillé

Résolvons le même PVL que dans la leçon précédente :

Ici $p(t) = 0$, $q(t) = 1 - 0.2t$, $r(t) = t$.

Cas h = 0.5 (4 sous-intervalles)

Points : $t_0 = 1, t_1 = 1.5, t_2 = 2, t_3 = 2.5, t_4 = 3$

Inconnues : $x_1, x_2, x_3$ (3 équations)

Coefficients :

Pour chaque point intérieur $i$, l'équation discrétisée est :

Avec $h = 0.5$, $h^2 = 0.25$ :

• $i = 1$ ($t_1 = 1.5$) : $q_1 = 1 - 0.3 = 0.7$, $r_1 = 1.5$

  $$x_0 + (-2 - 0.25 \times 0.7)x_1 + x_2 = 0.25 \times 1.5$$
  $$2 + (-2.175)x_1 + x_2 = 0.375$$

• $i = 2$ ($t_2 = 2$) : $q_2 = 1 - 0.4 = 0.6$, $r_2 = 2$

  $$x_1 + (-2.15)x_2 + x_3 = 0.5$$

• $i = 3$ ($t_3 = 2.5$) : $q_3 = 1 - 0.5 = 0.5$, $r_3 = 2.5$

  $$x_2 + (-2.125)x_3 + x_4 = 0.625$$
  $$x_2 + (-2.125)x_3 + (-1) = 0.625$$

Système matriciel :

Solution (par élimination de Gauss ou LU) :

Cas h = 0.2 (10 sous-intervalles)

Avec un maillage plus fin, on obtient un système 9×9 :

Conditions aux limites sur les dérivées

Parfois, les conditions aux limites portent sur les dérivées :

Points fantômes

On introduit deux points supplémentaires $x_{-1}$ et $x_{n+1}$ en dehors du domaine.

Les conditions aux limites s'écrivent :

On substitue ces expressions dans les équations aux bords et on obtient un système élargi.

Exemple

Pour le problème :

Avec $h = 0.5$, le système devient 5×5 (on inclut $x_0$ et $x_4$ comme inconnues) :

Solution :

Extrapolation de Richardson

Pour améliorer la précision, on peut appliquer l'extrapolation de Richardson :

1. Résoudre avec pas $h$ → obtenir $x_i^{(1)}$
2. Résoudre avec pas $h/2$ → obtenir $x_i^{(2)}$
3. Extrapoler :

Cette formule est valide pour des différences d'ordre $O(h^2)$ et donne une approximation d'ordre $O(h^4)$.

Algorithme

import numpy as np

def finite_differences(p, q, r, t0, t1, alpha, beta, n):
  """
  Méthode des différences finies pour x'' = p(t)x' + q(t)x + r(t).

  Paramètres:
      p, q, r: fonctions de t
      t0, t1: bornes de l'intervalle
      alpha, beta: conditions aux limites x(t0), x(t1)
      n: nombre de sous-intervalles

  Retourne:
      t, x: solution approchée
  """
  h = (t1 - t0) / n
  t = np.linspace(t0, t1, n + 1)

  # Construction de la matrice tridiagonale
  # Système pour x_1, ..., x_{n-1}
  A = np.zeros((n - 1, n - 1))
  b = np.zeros(n - 1)

  for i in range(n - 1):
      ti = t[i + 1]  # t_{i+1} dans la numérotation Python
      pi, qi, ri = p(ti), q(ti), r(ti)

      # Coefficients
      c_minus = 1 + h * pi / 2
      c_center = -2 - h**2 * qi
      c_plus = 1 - h * pi / 2

      # Diagonale principale
      A[i, i] = c_center

      # Diagonales adjacentes
      if i > 0:
          A[i, i - 1] = c_minus
      if i < n - 2:
          A[i, i + 1] = c_plus

      # Second membre
      b[i] = h**2 * ri
      if i == 0:
          b[i] -= c_minus * alpha  # x_0 = alpha
      if i == n - 2:
          b[i] -= c_plus * beta    # x_n = beta

  # Résolution du système
  x_interior = np.linalg.solve(A, b)

  # Assemblage de la solution complète
  x = np.zeros(n + 1)
  x[0] = alpha
  x[1:n] = x_interior
  x[n] = beta

  return t, x

Comparaison des méthodes

Résumé

• La méthode des différences finies discrétise l'ÉD en remplaçant les dérivées par des quotients de différences
• On obtient un système linéaire tridiagonal pour les ÉD linéaires
• Les conditions sur les dérivées se traitent avec des points fantômes
• L'extrapolation de Richardson améliore la précision
• Les deux méthodes (tir et différences finies) donnent des résultats similaires

Conclusion du chapitre

Ce chapitre a couvert les principales méthodes numériques pour les équations différentielles :

Partie A — Problèmes à conditions initiales

• Taylor : base théorique
• Euler : simple mais peu précis
• Runge-Kutta : méthode recommandée (RK4)
• Adams-Moulton : efficace pour longues intégrations

Partie B — Problèmes à conditions aux limites

• Méthode de tir : transforme en PVI
• Différences finies : discrétisation directe

Ces techniques sont fondamentales en ingénierie, physique et sciences computationnelles.